投影表現

リフティング問題の解析には群コホモロジーが関係する。実際、 Gの各gに対して、 PGL( V )からGL( V )へのリフティングにおいてリフティングされた要素L ( g )を固定すると、リフティングは次の式を満たす。

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

F ^∗内の何らかのスカラーc ( g , h )に対して、2-コサイクルまたはシュール乗数cはコサイクル方程式を満たす。

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

Gのすべてのg、h、kに対して。このc はリフトLの選択に依存します。リフトL ′ ( g ) = f ( g ) L ( g )の選択が異なると、異なるコサイクルが得られます。

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

cと同相である。したがって、L はH ² ( G , F ^∗ )の一意のクラスを定義する。このクラスは自明ではないかもしれない。たとえば、対称群と交代群の場合、Schur は、自明でない Schur 乗数のクラスがちょうど 1 つ存在することを確立し、対応するすべての既約表現を完全に決定した。^{[ 2 ]}

一般に、非自明なクラスはGの拡張問題につながる。G が正しく拡張されると、拡張群の線形表現が得られ、これをGに押し戻すと元の射影表現が誘導される。解は常に中心拡張である。シューアの補題から、 Gの中心拡張の既約表現とGの既約射影表現は本質的に同じ対象であることがわかる。

まずグループについて考えてみましょう${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2}$2 つの要素は、${\displaystyle e,\sigma }$、 どこ${\displaystyle e}$は自明な要素であり、群は単位元によって定義される。${\displaystyle \sigma ^{2}=e}$あらゆる射影表現において${\displaystyle e}$はアイデンティティマップに送られるため、表現は完全に のイメージによって決定されます${\displaystyle \sigma }$この群には、2つの（既約な）線形表現があり、どちらも1次元である。

• 自明な表現：${\displaystyle \sigma \mapsto 1}$
• 非自明な表現：${\displaystyle \sigma \mapsto -1}$

これらは線形表現としては区別される、つまり点に対する作用が異なるが、射影表現としては同じである。1次元空間には1本の直線があり、どちらもその直線を自身に写像する。より一般的には、イメージの選択は${\displaystyle \sigma \mapsto c}$同じ1次元射影表現が生成されます。つまり、一意の1次元射影表現が存在し、それは自明な表現です（これは任意の群について成り立ちます）。

2次元平面上$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$送ることができます${\displaystyle \sigma }$へ$90°$回転：

$${\displaystyle \rho$$ :\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}

二$90°$回転、すなわち$180°$回転は、平面上の線をそれ自身に戻すので、射影表現を定義します。より厳密には、${\displaystyle \rho (\sigma ^{2}),\rho (\sigma )^{2}}$記号を除いて同じです。

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{2}=-Id=-\rho (e)=-\rho (\sigma ^{2}).}$$

1次元の場合とは異なり、この射影表現は標準的な線形表現から生じるものではありません。しかし、複素数上で作業すると${\displaystyle \mathbb {C} }$実数の代わりに、この射影表現は以下と同じです。

$${\displaystyle \rho ':\sigma \mapsto i\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$この場合、それは線形表現である。${\displaystyle \rho '(\sigma )^{2}=\rho '(\sigma ^{2})=Id}$。

さあ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n}$これを乗法的に書くと次​​のようになる。${\displaystyle G=\{e,\sigma ,\sigma ^{2},...,\sigma ^{n-1}\}}$、そして${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$射影表現のための代表者の選択となる。

• 些細な要素：${\displaystyle \rho (e)\rho (e)=c(e,e)\rho (e^{2})=c(e,e)\rho (e)}$、 そして${\displaystyle \rho (e)}$可逆であれば、スカラーでなければならない${\displaystyle \rho (e)=c(e,e)\cdot Id}$したがって、選択肢を次のように変更できます。${\displaystyle \rho (e)=Id}$表現方法を変更することなく。
• 非自明な要素：${\displaystyle \rho (\sigma )^{k},\rho (\sigma ^{k})}$スカラーを除いて同じなので、同様に代表者を選択して、${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=\rho (\sigma )^{k}}$のために${\displaystyle k=0,...,n-1}$。

これらの削減の後、私たちは次の選択肢を残します。${\displaystyle \rho (\sigma )}$そしてスカラー${\displaystyle c}$そのため

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c\cdot \rho (\sigma ^{n})=c\cdot \rho (e)=c\cdot Id.}$$

一方、根の選択は${\displaystyle A^{n}=c\cdot Id}$あるスカラーに対して${\displaystyle c\neq 0}$射影表現を定義するには、$${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=A^{k},\;k=0,...,n-1.}$$

複素数体 (または一般に代数的に閉じた体) 上で、${\displaystyle \rho (\sigma )}$の中へ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{c}}}\rho (\sigma )}$標準的な線形表現を生成する、言い換えれば、すべての射影表現は通常の線形表現から生じる。

2つの環状基の生成物において${\displaystyle G=\{e,\sigma ,...\sigma ^{n-1}\}\times \{e,\tau ,...,\tau ^{m-1}\}}$同様に、代表者の選定を変更することで、以下の要件を満たすようにプロセスを進めることができます。

$${\displaystyle \rho (\sigma ^{k}\cdot \tau ^{\ell }):=\rho (\sigma )^{k}\rho (\tau )^{\ell },\;\;0\leq k<n,\;0\leq \ell <m.}$$

これは以下の3つの条件に帰着する。

1. ${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c_{\sigma }\cdot Id}$ 、 ${\displaystyle \rho (\tau )^{m}=c_{\tau }\cdot Id}$、 そして
2. ${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma \tau )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$。

この新しいスカラーは以下を満たさなければならない：

• ${\displaystyle c_{\tau }\rho (\sigma )=\rho (\tau )^{m}\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )\rho (\tau )^{m}=c_{\tau }c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )}$、 となることによって${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{m}=1}$。
• 同様に、${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$。

両方を合わせると、${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$.そのような選択肢は${\displaystyle \rho (\sigma ),\rho (\tau )}$これら３つの条件を満たすものが射影表現を定義する。

複素数については、前述のように、${\displaystyle c_{\tau }=c_{\sigma }=1}$パラメータは1つだけです${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$。

例えば、${\displaystyle n=m}$条件は3つあります${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$そして${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$どこ${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$これらの方程式は解を持ちます${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$いかなる場合でも${\displaystyle n}$そして統一の根源の任意の選択${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$より具体的には、${\displaystyle \zeta _{n}}$統一の根源となる、定義せよ：

${\displaystyle \rho (\sigma )\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\zeta _{n}&0&&\vdots \\0&0&\zeta _{n}^{2}&&\\\vdots &&&\ddots &0\\0&\cdots &&0&\zeta _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}\;\;;\;\;\rho (\tau )\mapsto {\begin{pmatrix}0&1&0&&\\&0&1&\ddots &\\\vdots &&0&\ddots &0\\0&&&\ddots &1\\1&0&\cdots &&0\end{pmatrix}}}$。

両方の行列は「${\displaystyle n}$-回転"：${\displaystyle \rho (\sigma )}$各座標を複素数として個別に回転させながら、${\displaystyle \rho (\tau )}$ベクトルの座標を回転させ、特に${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$さらに、${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=\zeta _{n}\rho (\sigma )\rho (\tau )}$。

ご了承ください${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }=\rho (\tau )\rho (\sigma )\rho (\tau )^{-1}\rho (\sigma )^{-1}}$代表者の選択とは無関係である。したがって、${\displaystyle n}$上記で定義された射影表現${\displaystyle n}$統一の根源が異なると、表現も異なる。

巡回群の一般積に対する射影表現も同様の方法で行われる。

上記の構成の物理的に重要な例は、普遍被覆がSU(2)である回転群SO(3)の場合から得られます。SU (2)の表現論によれば、 SU(2)の既約表現は各次元にちょうど 1 つ存在します。次元が奇数 (「整数スピン」の場合) の場合、表現はSO(3)の通常の表現に降下します。^{[ 3 ]}次元が偶数 (「分数スピン」の場合) の場合、表現はSO(3)の通常の表現には降下しませんが、(上記の結果により) SO(3)の射影表現に降下します。SO (3)のこのような射影表現(通常の表現から得られないもの) は「スピノール表現」と呼ばれ、その要素 (ベクトル) はスピノールと呼ばれます。

後述する議論により、SO(3)の有限次元既約射影表現はすべて、 SU(2)の有限次元既約通常表現から得られる。

興味深い射影表現を与える被覆群の注目すべき事例：

• 特殊直交群SO( n , F )は、スピン群Spin( n , F )によって二重に覆われています。
• 特に、SO(3)群（3次元の回転群）はSU(2)によって二重にカバーされます。これは量子力学において重要な応用があり、SU(2)の表現の研究は非相対論的（低速度）スピン理論につながります。
• メビウス群と同型である群SO ⁺ (3;1)も同様にSL ₂ ( C )によって二重に覆われています。これらはそれぞれ前述のSO(3)とSU(2)の超群であり、相対論的スピン理論を形成します。
• ポアンカレ群の普遍被覆は二重被覆（SL ₂ ( C )とR ⁴の半直積）である。この被覆の既約ユニタリ表現は、ウィグナーの分類にあるように、ポアンカレ群の射影表現を生み出す。分数スピンの場合を含めるためには、被覆への移行が不可欠である。
• 直交群 O ( n )はPin 群Pin _± ( n )によって二重に覆われている。
• シンプレクティック群Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (シンプレクティック群のコンパクト実形式(Sp( m )とも表記されることがある) と混同しないように注意) は、メタプレクティック群Mp(2 n )によって二重に覆われている。Sp (2 n )の重要な射影表現は、Mp(2 n )のメタプレクティック表現から得られる。

量子物理学では、物理系の対称性は通常、射影ユニタリ表現によって実現される。${\displaystyle \rho }$嘘のグループ${\displaystyle G}$量子ヒルベルト空間上、すなわち連続準同型

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

どこ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$はユニタリ群の商である${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$フォームのオペレーターによって${\displaystyle cI,\,|c|=1}$商を取る理由は、物理的には、ヒルベルト空間において比例関係にある2つのベクトルが同じ物理状態を表すからである。[つまり、(純粋)状態の空間は単位ベクトルの同値類の集合であり、2つの単位ベクトルは比例関係にある場合に同値であるとみなされる。] したがって、単位ベクトルの倍数であるユニタリ演算子は、物理状態のレベルでは実際には単位ベクトルとして作用する。

有限次元射影表現${\displaystyle G}$すると射影的なユニタリ表現が生じる${\displaystyle \rho _{*}}$リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$の${\displaystyle G}$有限次元の場合、リー代数表現を「非射影化」することは常に可能である。${\displaystyle \rho _{*}}$それぞれの代表者を選ぶだけで${\displaystyle \rho _{*}(X)}$トレースがゼロである。^{[ 4 ]}準同型定理を考慮すると、非射影化が可能となる。${\displaystyle \rho }$それ自体だが、普遍的なカバーへの移行を犠牲にする${\displaystyle {\tilde {G}}}$の${\displaystyle G}$^{[ 5 ]}つまり、すべての有限次元射影ユニタリ表現は${\displaystyle G}$通常のユニタリ表現から生じる${\displaystyle {\tilde {G}}}$本項の冒頭で述べた手順に従ってください。

具体的には、リー代数表現はトレースゼロ表現を選択することによって非射影化されているため、${\displaystyle G}$は、通常のユニタリ表現である決定因子1から生じる。${\displaystyle {\tilde {G}}}$（つまり、各要素が${\displaystyle {\tilde {G}}}$行列式が1の演算子として機能します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は半単純であり、その場合、すべての要素は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は交換子の線形結合であり、その場合、すべての表現は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$トレースがゼロの演算子によって表されます。したがって、半単純なケースでは、関連する線形表現は次のようになります。${\displaystyle {\tilde {G}}}$ユニークです。

逆に、${\displaystyle \rho }$普遍カバーの還元不可能な統一表現である${\displaystyle {\tilde {G}}}$の${\displaystyle G}$すると、シューアの補題により、中心は${\displaystyle {\tilde {G}}}$は恒等式のスカラー倍数として作用する。したがって、射影レベルでは、${\displaystyle \rho }$元のグループの投影表現へと降下する${\displaystyle G}$したがって、既約射影表現の間には自然な一対一対応が存在する。${\displaystyle G}$そして、還元不可能な、決定因子１の通常の表現${\displaystyle {\tilde {G}}}$（半単純な場合、「行列式１」という修飾語は省略できます。なぜなら、その場合、すべての表現は${\displaystyle {\tilde {G}}}$自動的に決定論的な1となる。）

重要な例として、普遍被覆がSU(2)であるSO(3)の場合が挙げられる。さて、リー代数は${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$は半単純である。さらに、SU(2)はコンパクト群であるため、その有限次元表現はすべて、表現がユニタリとなる内積を持つ。^{[ 6 ]}したがって、SO(3)の既約射影表現は、SU(2)の既約通常表現と1対1に対応する。

前の小節の結果は無限次元の場合には成り立たない。なぜなら、${\displaystyle \rho _{*}(X)}$は、通常、明確に定義されていません。実際、結果は失敗します。たとえば、量子粒子が運動する際の位置空間と運動量空間における並進を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ヒルベルト空間上で作用する${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$^{[ 7 ]}これらの演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

すべての人々のために${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$これらの演算子は、単に演算子の連続バージョンです。${\displaystyle T_{a}}$そして${\displaystyle S_{a}}$上記の「最初の例」のセクションで説明したとおりです。そのセクションと同様に、射影ユニタリ表現を定義することができます。${\displaystyle \rho }$の${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$:

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

なぜなら、演算子は位相因子を除いて可換だからである。しかし、位相因子の選択によって通常のユニタリ表現が得られることはない。なぜなら、位置の並進は運動量の並進と可換ではないからである（そして、ゼロでない定数を掛けてもこれは変わらない）。ただし、これらの演算子は、ハイゼンベルク群の通常のユニタリ表現から得られるものであり、これは の 1 次元中心拡張である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$[ ^{8 ]} （ストーン・フォン・ノイマンの定理^も参照。）

一方、バーグマンの定理によれば、第2リー代数コホモロジー群が${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が自明であれば、すべての射影ユニタリ表現${\displaystyle G}$普遍被覆に移行した後、非射影化することができる。^{[ 9 ] [ 10 ]}より正確には、射影ユニタリ表現から始めると仮定する。${\displaystyle \rho }$嘘のグループ${\displaystyle G}$すると、定理は次のように述べている。${\displaystyle \rho }$通常のユニタリ表現に持ち上げることができる${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ユニバーサルカバーの${\displaystyle {\hat {G}}}$の${\displaystyle G}$これはつまり${\displaystyle {\hat {\rho }}}$被覆マップの核の各要素を恒等写像のスカラー倍に写像する。したがって、射影レベルでは、${\displaystyle {\hat {\rho }}}$下降して${\displaystyle G}$—そして、関連する射影表現${\displaystyle G}$に等しい${\displaystyle \rho }$。

この定理はグループには適用されません${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$前述の例が示すように、関連する可換リー代数の第2コホモロジー群が非自明であるため、この結果は成り立ちません。この結果が適用される例としては、半単純群（例えば、SL(2,R)）やポアンカレ群が挙げられます。この最後の結果は、ポアンカレ群の射影ユニタリ表現に関するウィグナーの分類にとって重要です。

バーグマンの定理の証明は、中心拡張を考えることによって行われる。${\displaystyle H}$の${\displaystyle G}$線形表現と射影表現に関する上記のセクションと同様に構築され、直積群の部分群として${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$、 どこ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$は、${\displaystyle \rho }$行為と${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$は、上のユニタリ作用素の群である。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$そのグループ${\displaystyle H}$は次のように定義される。

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

前のセクションと同様に、地図${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$によって与えられた${\displaystyle \phi (g,U)=g}$は、核が全射準同型である。${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$となることによって${\displaystyle H}$は、${\displaystyle G}$前述のセクションと同様に、ここでも線形表現を定義できます。${\displaystyle \sigma }$の${\displaystyle H}$設定することで${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$。 それから${\displaystyle \sigma }$リフト${\displaystyle \rho }$そういう意味で${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$、 どこ${\displaystyle \pi }$商マップは${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$に${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$。

重要な技術的ポイントは、${\displaystyle H}$は嘘のグループです。（この主張はそれほど明白ではありません。なぜなら、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$無限次元の群${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$（無限次元位相群である。）この結果が確立されると、次のことがわかる。${\displaystyle H}$は、 の 1 次元リー群中心拡張である。${\displaystyle G}$リー代数が${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$の${\displaystyle H}$また、一次元の中心拡張でもある${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（ここで「一次元」という形容詞は、${\displaystyle H}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$むしろ、それらのオブジェクトから投影マップの核へ${\displaystyle G}$そして${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$それぞれ）。しかし、コホモロジー群は${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$は、一次元（前述の意味で）中心拡張の空間と同一視できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; もし${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$は自明であり、その場合、すべての一次元中心拡張は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$些細なことです。その場合、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$実際のラインのコピー付き。したがって、ユニバーサルカバー${\displaystyle {\tilde {H}}}$の${\displaystyle H}$普遍的なカバーの直接的な産物であるに違いない${\displaystyle G}$実際の線のコピーを使用すれば、${\displaystyle \sigma }$から${\displaystyle H}$に${\displaystyle {\tilde {H}}}$（カバーマップと組み合わせることで）最終的にこのリフトをユニバーサルカバーに限定する${\displaystyle {\tilde {G}}}$の${\displaystyle G}$。