ディラック随伴

量子場理論において、ディラック随伴はディラックスピノルの双対演算を定義する。ディラック随伴は、ディラックスピノルから扱いやすく測定可能な量を生成する必要性から生まれたものであり、エルミート随伴の通常の役割を置き換えるものである。

通常のエルミート随伴との混同を避けるためか、一部の教科書ではディラック随伴に名前をつけず、単に「ψ-バー」と呼んでいる。

させて${\displaystyle \psi }$ディラックスピノルとする。そのディラック随伴は次のように定義される。

$\displaystyle \bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

どこ$\displaystyle \psi ^{\dagger }}$スピノルのエルミート随伴を表す${\displaystyle \psi }$、 そして$\displaystyle \gamma ^{0}}$は時間的ガンマ行列である。

特殊相対性理論のローレンツ群はコンパクトではないため、ローレンツ変換のスピノル表現は一般にユニタリーではない。つまり、${\displaystyle \lambda }$これは、あるローレンツ変換の射影表現であり、

${\displaystyle \psi \mapsto \lambda \psi ,}$

そして一般的には、

${\displaystyle \lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}.}$

スピノルのエルミート随伴は次のように変換される。

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }.}$

したがって、${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ローレンツスカラーではなく、${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi }$エルミート行列ですらない。

一方、ディラック随伴は、

$\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}.}$

IDを使用して${\displaystyle \gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}}$変換は以下のように簡略化される。

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1},}$

したがって、${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$ローレンツスカラーとして変換され、${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$4次元ベクトルとして。

ディラック随伴を用いると、スピン1/2粒子場の確率4電流Jは次のように書ける。

${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

ここで、cは光速であり、Jの成分は確率密度ρと確率 3-電流jを表します。

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}}).}$

μ = 0とし、ガンマ行列の関係式を用いると

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I,}$

確率密度は次のようになる

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi .}$

• ディラック方程式
• ラリタ・シュウィンガー方程式

• B.ブランズデン。 C. ジョアチェーン (2000)。量子力学(第 2 版)。ピアソン。ISBN 0-582-35691-1。
• M. ペスキン、D. シュローダー (1995) 『量子場理論入門』ウェストビュー・プレス。ISBN 0-201-50397-2。
• A. Zee (2003).量子場理論の要点. プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-01019-6。