電位

電位（静電ポテンシャルまたは電場ポテンシャルとも呼ばれる）は、空間におけるスカラー量の場であり、しばしば文字で表される。${\displaystyle \varphi }$または${\displaystyle V}$これは、空間の各点について、点電荷がその点にある場合に持つであろう単位電荷あたりの電気ポテンシャルエネルギーを与えるものです。$\displaystyle q_{\text{particle}}}$電気ポテンシャルエネルギーを持つ${\displaystyle U_{\text{点における粒子}}=q_{\text{粒子}}\,V_{\text{点}}}$電気ポテンシャルエネルギーUの差は、${\displaystyle U=U_{B}-U_{A}}$電荷を帯びた粒子${\displaystyle q}$2点間に${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$静電場においては、${\displaystyle q}$差を倍する${\displaystyle V_{B}-V_{A}}$A点とB点における電位について：${\displaystyle U_{B}-U_{A}=q\times (V_{B}-V_{A})}$より正確には、電位とは、静電場において、基準点から特定の点まで試験電荷を移動させるのに必要な仕事量を、単位電荷で正規化した値である。試験電荷は、場を生成する電荷への影響がほとんどないほど小さく、場を横切る際の加速度も無視できる程度に抑えられているため、試験電荷が運動エネルギーを獲得したり、放射を生じたりすることはない。定義上、基準点における電位はゼロ単位である。通常、基準点は地球または無限遠点であるが、任意の点を用いることができる。

古典静電気学では、静電場はベクトル量であり、静電ポテンシャルの勾配として表されます。静電ポテンシャルはスカラー量であり、V または場合によっては φ で表されます[ 1 ] 。^これは、任意の場所にある任意の荷電粒子の電気ポテンシャルエネルギー(ジュール単位) をその粒子の電荷(クーロン単位)で割った値に等しくなります。粒子の電荷で割ると、電場自体の性質である商が得られます。つまり、電位とは単位電荷あたりの電気ポテンシャルエネルギーのことです。

この値は、特定の時刻における静的（時間不変）または動的（時間変動）な電場において、単位ジュール/クーロン（J⋅C⁻¹ ^）またはボルト（V）で計算できます。無限遠における電位はゼロと仮定します。

電気力学では、時間的に変化する場が存在する場合、電場はスカラーポテンシャルとしてのみ表現することはできません。代わりに、電場はスカラー電位と磁気ベクトルポテンシャルの両方として表現できます。^{[ 2 ]}電位と磁気ベクトルポテンシャルは一緒に4次元ベクトルを形成するため、2種類のポテンシャルはローレンツ変換の下で混合されます。

実際には、電位は空間全体で連続関数です。なぜなら、不連続な電位の空間微分は、あり得ないほど無限大の大きさの電場を生み出すからです。特に、理想化された点電荷による電位（点電荷からの距離をrとしたとき、1 ⁄ rに比例）は、点電荷の位置を除いて空間全体で連続です。電場は理想化された表面電荷全体で連続ではありませんが、どの点でも無限ではありません。したがって、電位は理想化された表面電荷全体で連続です。さらに、理想化された線電荷の電位（線電荷からの半径方向の距離をrとしたとき、ln( r )に比例）は、線電荷上を除いてどこでも連続です。

古典力学では、力、エネルギー、位置などの概念を探求します。^{[ 3 ]}力と位置エネルギーは直接関係しています。物体に作用する正味の力は、物体を加速させます。物体が作用する力の方向に移動すると、その位置エネルギーは減少します。たとえば、丘の頂上にある砲弾の重力による位置エネルギーは、丘の麓にある場合よりも大きくなります。砲弾が丘を下って転がると、位置エネルギーは減少し、運動エネルギーである運動エネルギーに変換されます。

特定の力場のポテンシャルを定義することで、その力場における物体の位置エネルギーが、物体と力場の位置関係のみに依存するようにすることが可能です。そのような力場の例としては、重力場と電場（時間的に変化する磁場が存在しない場合）が挙げられます。これらの力場は、物体の固有の性質（質量や電荷など）と位置に基づいて物体に影響を与えます。

物体は電荷と呼ばれる性質を持つことがあります。電場は帯電した物体に力を及ぼすため、物体が正の電荷を持つ場合、その力は電荷の位置における電場ベクトルの方向と同じ方向になります。電荷が負の場合、力は反対方向になります。

力の大きさは、電荷の量に電場ベクトルの大きさを掛けたもので与えられる。

$${\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}$$

正負の点電荷それぞれの周囲の電位は、マゼンタ（+）、黄色（0）、シアン（−）の順に色分けして示されています。円形の等電位線は等電位線です。電場線は正電荷から出て負電荷に入ります。

互いに反対の2つの点電荷の近傍における電位。

静電場E中の点rにおける電位は、線積分によって与えられる。

ここで、Cはある固定された基準点からrまでの任意の経路であり、積分に加算または減算される定数を除いて一意に決定されます。静電気学では、マクスウェル・ファラデー方程式は回転が${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }$はゼロなので、電場は保存的になります。したがって、上記の線積分は選択された特定の経路Cには依存せず、その端点のみに依存するため、${\textstyle V_{\mathbf {E} }}$どこでも明確に定義される。勾配定理を用いると、次のように書ける。

これは、電場が低電圧の方向、つまり「下り坂」を向いていることを示しています。ガウスの法則によれば、電位はポアソン方程式を満たすこともわかります。 $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}}$$

ここでρは全電荷密度であり、${\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }$は発散を表します。

電位の概念は位置エネルギーと密接に関連している。試験電荷qの電気位置エネルギーU _Eは、次式で与えられる。

$${\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}$$

位置エネルギー、ひいては電位は、加算定数を除いてのみ定義される。つまり、位置エネルギーと電位がゼロになる位置を任意に選択する必要がある。

これらの方程式は、以下の場合には使用できません。${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$すなわち、非保存的な電場（変化する磁場によって引き起こされる。マクスウェル方程式を参照）の場合である。この場合の電位の一般化については、§ 電気力学への一般化のセクションで説明する。

点電荷による電位

点電荷Qから距離r離れた位置にある点電荷Qから生じる電位は、次のように観測される。 $${\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}$$ ここで、ε₀_は真空の誘電率^{[ 4 ]}であり、VE_はクーロン電位として知られています。点電荷による電場の大きさとは対照的に、電位は半径の2乗ではなく、半径の逆数に比例することに注意してください。

点電荷系における任意の位置rでの電位は、系内のすべての点電荷による個々の電位の合計に等しくなります。この事実は、電位（スカラー）場の加算が電場（ベクトル）場の加算よりもはるかに容易であるため、計算を大幅に簡略化します。具体的には、点r _iにおける一連の離散点電荷q _iの電位は次のようになります。

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,}$$

どこ

• rは電位が評価される点である。
• r _{i は}ゼロでない電荷が存在する点であり、
• q _iは点r _iにおける電荷です。

そして、連続電荷分布ρ ( r )の電位は次のようになる。

$${\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}$$

どこ

• rは電位が評価される点である。
• Rは、電荷密度がゼロでないすべての点を含む領域である。
• r 'はRの内部にある点であり、
• ρ ( r ' )は点r 'における電荷密度である。

上記に示した電位に関する方程式（およびここで使用されているすべての方程式）は、SI単位系で要求される形式です。CGSガウス単位系など、他の（あまり一般的ではない）単位系では、これらの方程式の多くは変更されます。

時間的に変化する磁場が存在する場合（これは時間的に変化する電場が存在する場合に常に当てはまり、その逆もまた同様である）、電場はもはや保存的ではなくなるため、電場を単にスカラーポテンシャルVとして記述することはできない。${\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$経路依存である理由は${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$（マクスウェル・ファラデー方程式による）。

その代わりに、磁気ベクトルポテンシャルAも含めることで、スカラーポテンシャルを定義することができる。具体的には、Aは以下を満たすように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

ここで、Bは磁場である。ベクトル解析の基本定理によれば、磁気単極子が存在しないため磁場の発散は常にゼロであり、このようなAは常に見つけることができる。さて、量 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$は保守的な分野です。${\displaystyle \mathbf {E} }$は、${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$マクスウェル・ファラデー方程式によれば、次のように書ける。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$

ここで、Vは保存場Fによって定義されるスカラーポテンシャルである。

静電ポテンシャルは、Aが時間不変である場合のこの定義の特殊なケースにすぎません。一方、時間変動場の場合、 $${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}}$$ 静電気とは異なります。

SI誘導単位系における電位はボルト(アレッサンドロ・ボルタにちなんで) であり、V と表記されます。そのため、空間内の 2 点間の電位差は電圧として知られています。古い単位は現在ではほとんど使用されていません。センチメートル・グラム・秒単位系の変種には、アブボルトやスタットボルトなど、電位を表すさまざまな単位が含まれていました。

金属（およびその他の固体や液体）内部では、電子のエネルギーは電位だけでなく、電子が存在する特定の原子環境にも影響されます。2種類の異なる金属の間に電圧計を接続すると、異なる原子環境に合わせて補正された電位差が測定されます。 ^{[ 6 ]}電圧計で測定される量は電気化学ポテンシャルまたはフェルミ準位と呼ばれ、純粋な未調整の電位Vはガルバニ電位ϕと呼ばれることもあります。「電圧」と「電位」という用語はやや曖昧ですが、異なる文脈でどちらか一方を指すことがあります。

• 絶対電極電位
• 電気化学ポテンシャル
• 電極電位