行列の平方根

数学において、行列の平方根は平方根の概念を数値から行列に拡張する。行列積BBがAに等しい 場合、行列BはAの平方根であると言われる。^[1]

著者によっては、 Aが半正定値行列である特定のケースに限り、平方根という名前またはA ^1/2という表記を使用して、半正定値行列であり、BB = B ^T B = Aとなる唯一の行列Bを表します(実数値行列の場合、B ^{T は}Bの転置行列です)。

あまり一般的ではありませんが、平方根という名前は、 B ^T B = Aのような正の半定値行列Aの因数分解にも使用されることがあります。これは、 BB ≠ Aであっても、コレスキー分解で当てはまります。この明確な意味については、 「正定値行列 § 分解」で説明されています。

一般に、行列には​​複数の平方根が存在する可能性があります。特に、 の場合は平方根も存在します。 ${\displaystyle A=B^{2}}$${\displaystyle A=(-B)^{2}}$

2×2単位行列には 無限の平方根があります。平方根は次のように表されます。 ${\displaystyle \textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$そして${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

ここで はとなる任意の数（実数または複素数）である。特に が任意のピタゴラス数列、つまり となる任意の正の整数の集合である場合、 は 対称で有理数の要素を持つ平方根行列である。 ^[2] したがって ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+bc=1}$${\displaystyle (a,b,t)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=t^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{2}.}$

マイナス単位元には平方根があります。例:

${\displaystyle -{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2},}$

これは、虚数単位 iと、したがって2×2 実行行列を使用してすべての複素数を表すために使用できます。複素数の行列表現を参照してください。

実数と同様に、実数行列は実数の平方根を持たないが、複素数値の要素を持つ平方根を持つ場合があります。一部の行列には平方根がありません。例として、次の行列があります。${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

非負整数の平方根は整数または無理数のいずれかですが、対照的に、整数行列は、上記の例のように、要素が有理数でありながら非整数である平方根を持つことができます。

対称な実n × n行列は、すべての に対してとなるとき、半正定値行列と呼ばれます(ここで は転置 を表し、列ベクトルxを行ベクトルに変更します)。実数正方行列が半正定値行列となるのは、ある行列Bに対してとなるときのみです。このような行列B は多数存在します。半正定値行列Aには、 となる行列Bも多数存在します。ただし、 Aには、半正定値かつ対称である平方根 B が常に 1 つだけ存在します。特に、 B は対称である必要があるため、またはの2つの条件は同等です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}Ax\geq 0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$${\displaystyle A=BB}$${\displaystyle B=B^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A=BB}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$

複素数値行列の場合、代わりに共役転置 が使用され、半正定値行列はエルミート、つまり になります。 ${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B^{*}=B}$

この一意の行列は、主、非負、または正の平方根（正定値行列の場合は後者）と呼ばれます。

実正半定値行列の主平方根は実数である。^{[3]正定値行列の主平方根は正定値である。より一般的には、} A の主平方根の階数はAの階数と同じである。^[3]

主平方根を取る演算は、この行列の集合上で連続的である。^[4]これらの性質は、行列に適用された正則関数計算の結果である。 ^{[5] [6]主平方根の存在と一意性は、}ジョルダン正規形 から直接推測できる（以下を参照）。

n 個の異なる非ゼロの固有値を持つn × n行列には、 2 ^{n 個}の平方根があります。このような行列Aには、固有値分解VDV ⁻¹があります。ここで、 VはAの固有ベクトルを列に持つ行列、D は、対応するn 個の固有値λ _iを対角要素に持つ対角行列です。したがって、 Aの平方根はVD ^1/2 V ⁻¹で与えられます。ここで、D ^1/2はDの任意の平方根行列で、異なる固有値の場合、対角要素がDの対角要素の平方根に等しい対角要素を持つ対角行列でなければなりません 。 Dの各対角要素の平方根には 2 つの選択肢があるため、行列D ^{1/2には 2 n 通りの}選択肢があります。

これは、正定値行列には正定値の平方根が 1 つだけあるという上記の観察の証明にもつながります。正定値行列には正の固有値のみがあり、これらの固有値のそれぞれには正の平方根が 1 つだけあります。平方根行列の固有値はD ^1/2の対角要素であるため、平方根行列自体が正定値であるためには、元の固有値の一意の正の平方根のみを使用する必要があります。

行列がべき等である場合、つまり である場合、定義によりその平方根の 1 つは行列そのものです。 ${\displaystyle A^{2}=A}$

D がn × n対角 行列である場合、その平方根のいくつかは対角行列 であり、ここで です。 Dの対角要素が実数かつ非負である場合、それは半正定値であり、平方根が非負の符号でとられる場合、結果として得られる行列はDの主根です。 対角行列は、上記の単位行列で例示されているように、対角要素のいくつかが等しい場合、追加の非対角根を持つことがあります。 ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$${\displaystyle \mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$

Uが上三角行列（つまり、その要素がの場合）であり、その対角要素の 1 つが 0 である場合、方程式の上三角解は次のようにして 1 つ見つかります。方程式は満たされるはずなので、を複素数 の主平方根とします。仮定 により、すべてのi,jに対してが保証されます（複素数 の主平方根はすべて複素平面の半分にあるため）。方程式から ${\displaystyle u_{i,j}=0}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle B^{2}=U}$${\displaystyle u_{i,i}=b_{i,i}^{2}}$${\displaystyle b_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}\neq 0}$${\displaystyle b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0}$

${\displaystyle u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}}$

1からn -1まで増加した場合、次のように再帰的に計算できることが分かります。 ${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle j-i}$

${\displaystyle b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).}$

Uが上三角行列であっても対角要素に複数のゼロがある場合、 で例示されているように平方根が存在しない可能性があります。三角行列の対角要素はまさにその固有値であることに注意してください(三角行列#プロパティ を参照)。 ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

n × n行列Aが対角化可能であるとは、行列Vと対角行列Dが存在し、 A = VDV ⁻¹となる場合である。これは、 A がC n^の基底を構成するn 個の固有ベクトル を持つ場合にのみ成立する。この場合、V はn 個の固有ベクトルを列として持つ行列として選択することができ、したがってAの平方根 は

${\displaystyle R=VSV^{-1}~,}$

ここでSはDの平方根である。実際、

${\displaystyle \left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.}$

例えば、行列はVDV ⁻¹のように対角化することができ 、ここで ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}}$そして。${\displaystyle D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}}$

Dは主平方根を持つ

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}}$、

平方根を求める

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}}$。

Aが対称な場合、対角化行列Vは固有ベクトルを適切に選択することで直交行列にすることができます（スペクトル定理を参照）。すると、 Vの逆行列 は単純に転置行列となり、

${\displaystyle R=VSV^{\textsf {T}}~.}$

複素数値正方行列は、対角化可能性に関わらず、次式で与えられるシューア分解を持つ。ここで、は上三角行列であり、ユニタリ行列（つまり）である。の固有値は の 対角要素とまったく同じである。そのうちの1つでもゼロであれば、次式は平方根である^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle A=QUQ^{*}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.}$

ここで、上三角行列の平方根は、上記のように求められます。 ${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle U}$

が正定値である場合、固有値はすべて正の実数であるため、 の選択された対角要素も正の実数で構成されます。したがって、 の固有値は正の実数であり、結果として得られる行列は の主根であることを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}}$${\displaystyle A}$

シューア分解と同様に、すべての正方行列はとして分解できます。ここで、 Pは可逆であり、Jはジョルダン標準形です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A=P^{-1}JP}$

正の固有値を持つ任意の複素行列が同じ形式の平方根を持つことを確認するには、ジョルダン ブロックに対してこれを確認すれば十分です。このようなブロックはいずれも、λ > 0 かつNがべき零である λ( I + N ) という形式を持ちます。(1 + z ) ^1/2 = 1 + a ₁ z + a ₂ z ² + ⋯が平方根の二項展開である場合 (| z | < 1 で有効)、形式的なべき級数としてその平方は 1 + zに等しくなります。zをNに置き換えると、有限個の項のみがゼロ以外になり、 S = √λ ( I + a ₁ N + a ₂ N ² + ⋯) は、固有値√λを持つジョルダン ブロックの平方根を与えます。

λ = 1 のジョルダン ブロックの一意性を確認すれば十分です。上で構築した平方は、形式S = I + Lを持ちます。ここで、L は定数項のないNの多項式です。正の固有値を持つその他の平方根T は、形式T = I + Mを持ち、 Mは冪零で、Nと可換であるためLです。しかし、0 = S ² − T ² = 2( L − M )( I + ( L + M )/2)です。LとM は可換であるため、行列L + Mは冪零であり、I + ( L + M )/2は逆行列がノイマン級数で与えられる逆行列で可逆です。したがって、L = Mです。

A が正の固有値と最小多項式 p ( t ) を持つ行列である場合 、 p ( t ) ⁻¹の部分分数展開からAの一般化固有空間へのジョルダン分解を演繹できます。一般化固有空間への対応する射影は、 Aの実数多項式によって与えられます。各固有空間では、A は上記のようにλ ( I + N )の形をとります。固有空間上の平方根のべき級数表現は、 Aの主平方根がq ( A ) の形をとり、 q ( t ) が実係数の多項式であることを示しています。

形式的な冪級数を思い出してください。これは、（冪級数の係数は加算可能であるため）が与えられれば収束します。この式に代入すると、次の式が得られます。 ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}}$${\displaystyle \|z\|\leq 1}$${\displaystyle z=I-A}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(I-A)^{n}}$

ただし、 である。ゲルファントの公式により、その条件は、 のスペクトルが円板 内に含まれるという要件と同等である。この定義または計算方法は、が半正定値である場合に特に有用である。その場合、 となり、したがって となり、式はの平方根を定義し、さらにその平方根は唯一の半正定値根となる。この方法は、無限次元のバナッハ空間またはヒルベルト空間、または (C*) バナッハ代数の特定の要素上の演算子の平方根を定義する場合にも有効である。 ${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(1,1)\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$${\displaystyle A}$

n × n行列Aの平方根を求めるもう一つの方法は、デンマン・ビーバーズの平方根反復法である。^[8]

Y ₀ = A、Z ₀ = Iとする。ここでI はn × n 単位行列 である。反復は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

これは、後の要素が比較的変化が少ない逆行列のシーケンスのペアを使用するため、残りの部分は、逆行列を計算するためのニュートン法の変形を数回実行するだけで前の要素から計算できるため、最初の要素のみの計算コストが高くなります。

${\displaystyle X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.}$

これを用いて、後のkの値については、およびを設定し、ある小さな値（おそらく1だけ）に対して使用し、同様に${\displaystyle X_{0}=Z_{k-1}^{-1}}$${\displaystyle B=Z_{k},}$${\displaystyle Z_{k}^{-1}=X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{k}^{-1}.}$

平方根を持つ行列であっても収束は保証されませんが、プロセスが収束する場合、行列は平方根A ^1/2に二次収束し、その逆行列A ^−1/2に収束します。 ${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle Z_{k}}$

さらに別の反復法は、実数の平方根を計算するためのバビロニア法のよく知られた公式を行列に適用することで得られる。X ₀ = I （Iは 単位行列）とする。反復は次のように定義される。

${\displaystyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.}$

収束は保証されていないが、プロセスが収束する場合、行列は平方根A ^1/2に二次収束する。デンマン-ビーバーズ反復法と比較すると、バビロニア法の利点は、反復ステップごとに計算する必要がある逆行列が 1 つだけであることだ。一方、デンマン-ビーバーズ反復法では、後の要素が比較的変化が少ない逆行列のシーケンスのペアを使用するため、残りの要素は、逆行列を計算するためのニュートン法の変形を数回パスするだけで前の要素から計算できるため、最初の要素のみの計算コストが高くなります(上記のデンマン-ビーバーズ反復法を参照)。もちろん、同じアプローチを使用して、バビロニア法に必要な逆行列のシーケンスを 1 つ取得できます。ただし、デンマン-ビーバーズ反復法とは異なり、バビロニア法は数値的に不安定であり、収束に失敗する可能性が高くなります。^[1]${\displaystyle X_{k}}$

バビロニアの方法は、ニュートン法の方程式から導かれ、すべての^[9]に対して${\displaystyle X^{2}-A=0}$${\displaystyle AX_{k}=X_{k}A}$${\displaystyle k.}$

線型代数学と作用素理論では、複素ヒルベルト空間上の有界 正半定値作用素（非負作用素）Tが与えられたとき、 B がTの平方根となるのは、 T = B* B （ B*はBのエルミート随伴関数を表す）である場合である。^[要出典]スペクトル定理によれば、連続関数計算を適用して、 T ^1/2自体が正で ( T ^1/2 ) ² = Tとなるような 作用素T ^1/2を得ることができる。作用素T ^1/2は、 Tの唯一の非負平方根である。 ^[要出典]

複素ヒルベルト空間上の有界非負演算子は、定義により自己随伴です。したがって、T = ( T ^1/2 )* T ^1/2です。逆に、形式B* Bのすべての演算子が非負であることは自明です。したがって、演算子Tが非負となるのは、あるBに対してT = B* Bである場合(つまり、あるCに対してT = CC* である場合) のみです。

コレスキー分解は平方根の別の特定の例を提供しますが、これを唯一の非負平方根と混同しないでください。

T が有限次元ヒルベルト空間上の非負演算子である場合、 Tのすべての平方根はユニタリ変換によって関連付けられます。より正確には、T = A*A = B*Bの場合、 A = UBとなるユニタリ U が存在します。

実際、B = T ^{⁠1/2⁠ は}Tの唯一の非負平方根です。T が正であれば、 Bは逆数であり、したがってU = AB ⁻¹はユニタリです。

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}}$

Tが非負だが厳密に正ではない場合、 Bの逆は定義できませんが、ムーア・ペンローズ擬似逆 B ⁺は定義できます。その場合、演算子B ⁺ Aは部分等長変換、つまりTの値域からそれ自身へのユニタリ演算子 です。これをTの核上の単位元 と等しく設定することで、空間全体のユニタリ演算子Uに拡張できます。より一般的には、 T が閉値域を持つ場合、これは無限次元ヒルベルト空間上でも当てはまります。一般に、A、Bがヒルベルト空間H上の閉じた稠密定義演算子であり、A* A = B* Bである場合、A = UBであり、 U は部分等長変換です。

平方根、および平方根のユニタリ自由度は、関数解析と線形代数全体にわたって応用されます。

Aが有限次元ヒルベルト空間上の可逆作用素ならば、唯一のユニタリ作用素Uと正作用素Pが存在し、

${\displaystyle A=UP;}$

これはAの極分解です。正演算子P は正演算子A ^∗ Aの唯一の正の平方根であり、U はU = AP ⁻¹で定義されます。

Aが逆でない場合でも、 P が同じように定義される（そして一意である）極性合成が存在します。ユニタリ演算子Uは一意ではありません。むしろ、次のように「自然な」ユニタリ演算子を決定することが可能です。AP ^+は、 Aの範囲からそれ自体までのユニタリ演算子であり、 A ^∗の核上の恒等式によって拡張できます。結果として得られるユニタリ演算子U は、 Aの極性分解をもたらします。

チェイの結果によれば、線形写像

${\displaystyle \Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}}$

が完全に正であるのは、次の形式の場合のみである。

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}}$

ここでk ≤ nmである。{ E _pq } ⊂ C ^{n × n}をn ^{2 の}基本行列単位とする。正の行列

${\displaystyle M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq}\in C^{nm\times nm}}$

は Φ のChoi 行列と呼ばれます。クラウス演算子は、必ずしも平方ではないM _{Φの平方根に対応します。} M _Φの任意の平方根Bに対して、 Bの各列b _iに対する Vec 操作を元に戻すことで、クラウス演算子の族V _{i を}取得できます。したがって、クラウス演算子のすべてのセットは、部分等長変換によって関連付けられています。

量子物理学では、 nレベル量子システムの密度行列は、トレース1の半正定値のn × n複素行列ρである。ρが次のように表せる 場合、

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}}$

ここで、Σ p _i = 1 の場合、集合 ${\displaystyle p_{i}>0}$

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

は混合状態ρ を記述する集団であると言われる。{ v _i } は直交する必要はないことに注意。状態ρを記述する異なる集団は、 ρの平方根を介してユニタリ演算子によって関連付けられる。例えば、

${\displaystyle \rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.}$

トレース1の条件は

${\displaystyle \sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.}$

させて

${\displaystyle p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},}$

そしてv _{i は}正規化されたa _iである。

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

混合状態ρ を与える。

• 行列関数
• 正則関数計算
• 行列の対数
• シルベスターの公式
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