クラインのパラドックス

相対論的量子力学において、クラインのパラドックス（クラインのトンネル効果とも呼ばれる）は、高エネルギーのポテンシャル障壁に遭遇する粒子に関連する量子現象である。これは、 1929年に発見した物理学者オスカー・クラインにちなんで名付けられた。 ^[1]もともと、クラインは、ポテンシャル障壁による電子の散乱というよく知られた問題にディラック方程式を適用することで、逆説的な結果を得た。非相対論的量子力学では、指数関数的な減衰を伴って、障壁への電子のトンネル効果が観察される。しかし、クラインの結果は、ポテンシャルが少なくとも電子質量のオーダーであれば（Vは電位、eは素電荷、mは電子の質量、cは光速）、障壁はほぼ透明であることを示した。さらに、ポテンシャルが無限大に近づくにつれて、反射は減少し、電子は常に透過する。 ${\displaystyle Ve\approx mc^{2}}$

このパラドックスは、中性子の発見以前に、原子核内の中性粒子に対するラザフォードの陽子-電子モデルに直接適用された。このパラドックスは、原子核内に閉じ込められた電子という概念に対する量子力学的な反論を提示した。 [ ^2] この明確で正確なパラドックスは、電子はいかなるポテンシャル井戸によっても原子核内に閉じ込められないことを示唆した。このパラドックスの意味は、当時ニールス・ボーアらによって激しく議論された。 ^[2]

クラインのパラドックスは、量子粒子と静電ポテンシャルの相互作用に関する相対論の予期せぬ結果である。自由粒子が静電ステップポテンシャルに衝突するという量子力学の問題には、相対論を無視すると 2 つの解決法がある。1 つの解決法は、障壁に近づく粒子の運動エネルギーがステップより小さい場合に適用される。粒子は反射される。粒子のエネルギーがステップより大きい場合、一部はステップを通過し、一部は反射される。反射と透過の比率はエネルギー差によって決まる。相対論は 3 番目の解決法を追加する。非常に急峻なポテンシャル ステップにより粒子と反粒子が生成され、計算された透過と反射の比率が変化するように見える。量子力学と呼ばれる理論ツールは粒子の生成を処理できないため、相対論的ケースの分析は疑わしいものとなる。^[3] 反粒子が発見され、量子場理論が開発されるまで、この 3 番目の解決法は理解されていなかった。このパズルはクラインのパラドックスと呼ばれるようになった。^[4]

質量の大きい粒子の場合、この効果を観測するために必要な電場強度は膨大である。入射粒子の静止エネルギー と同様の電位エネルギー変化が、粒子のコンプトン波長にわたって発生する必要があり、これは電子の場合 10 ¹⁶ V/cmとなる。^{[5]電子の場合、このような極端な電場は}Z >170 の核またはブラックホールの事象の地平線での蒸発にのみ関係する可能性があるが、グラフェン pn 接合部の 2 次元準粒子の場合、この効果は実験的に研究することができる。^{[5] [6] : 421}${\displaystyle mc^{2}}$${\displaystyle \hbar m/c}$

オスカー・クラインは、後にクラインのパラドックスと呼ばれることになる論文を1929年に発表した^[1]。ちょうど物理学者が2つの問題に取り組んでいた頃だった。相対性理論と量子力学の理論をどのように組み合わせるか、そして電磁力学として知られる物質と光の結合をどのように理解するかである。このパラドックスは、ディラックの最初の試みで相対性理論が量子力学にどのように追加されたのかという疑問を提起した。このパラドックスを解決するには、電磁力学のために開発された新しい量子場理論の開発が必要であった。したがって、このパラドックスの背景には、量子力学と量子電磁力学の発展という2つの流れがある。^{[7] : 350}

1913 年に発表された原子のボーア モデルでは、コンパクトな正電荷の原子核の周りを電子が運動していると想定されていました。正電荷の原子核が存在する場合、古典力学に従う原子電子はローレンツ力を受けます。つまり、電子はエネルギーを放射し、原子核に向かって加速するはずです。原子スペクトルの予測におけるボーア モデルの成功は、古典​​力学が正しくないことを示唆していました。

1926年、エドウィン・シュレーディンガーは電子の新しい力学、ボーアの結果を再現する量子力学を開発した。シュレーディンガーと他の物理学者たちは、この力学が不完全であることを知っていた。特殊相対性理論の効果も、物質と放射線の相互作用も考慮されていなかったのだ。 ポール・ディラックは1928年、電子の相対論的量子理論で最初の問題を解決した。この組み合わせはより正確で、電子スピンも予測できた。しかし、これには予想の2倍の状態が含まれており、そのすべては原子物理学に含まれるものよりもエネルギーが低いものだった。

クラインは、これらの余分な状態が、静電ポテンシャルの大きく急激な変化に遭遇する電子のモデルから不合理な結果、つまり障壁の向こう側に負の電流が現れるという結果を引き起こすことを発見しました。重要なことに、ディラックの理論は単一粒子状態のみを予測していました。単一粒子理論では、粒子の生成または消滅を正しく分析できませんでした。

クラインの結果は発表直後から広く議論された。ニールス・ボーアは、この結果が急激なステップに関連していると考え、その結果、アーノルド・ゾンマーフェルトはフリッツ・ザウターに傾斜したステップの調査を依頼した。ザウターはボーアの予想を確認することができた。この逆説的な結果は、電子のコンプトン波長（約2 x 10 ^-12 m）に近い距離を超えるステップでのみ現れた。^[8]${\displaystyle \Delta V>2mc^{2}}$${\displaystyle \lambda =h/mc}$

1929年から1930年にかけて、様々な物理学者による一連の論文がディラックの余剰状態を理解しようと試みられた。^{[7] : 351} ヘルマン・ワイルは、それらが当時電子以外に知られていた唯一の素粒子である、最近発見された陽子に対応すると示唆した。ディラックは、クラインの負の電子は正の陽子に変換できないことを指摘し、余剰状態はすべてすでに電子で満たされていると示唆した。そうすると、陽子はこれらの低い状態で失われた電子に相当することになる。ロバート・オッペンハイマーとイゴール・タムはそれぞれ、これが原子を不安定にすることを示した。最終的に1931年にディラックは、これらの状態は新しい「反電子」粒子に対応するに違いないと結論付けた。1932年に カール・アンダーソンは実験的にこれらの粒子を観察し、陽電子と改名した。

このパラドックスを解決するには量子場理論が必要であり、量子力学と並行して発展したが、その複雑さゆえにその発展は遅いものであった。この概念は、 多くの応用で成功したマクスウェルの古典的電気力学が黒体スペクトルを予測できないというマックス・プランクの実証に遡る。プランクは、黒体振動子は量子遷移に制限されなければならないことを示した。^{[7] : 332} 1927年、ディラックは量子場理論を用いた量子電気力学に関する最初の論文を発表した。これを基礎として、ハイゼンベルク、ジョーダン、パウリは1928年と1929年に量子化されたマクスウェル方程式に相対論的不変性を取り入れた。^{[7] : 341}

しかし、この理論がクラインのパラドックスの問題に応用されるまでにはさらに10年を要した。1941年にフリードリヒ・フントは、^[9]パラドックスの条件下では、2つの反対電荷の電流がステップで自発的に生成されることを示した。現代の用語では、電子と陽電子のペアがステップポテンシャルで自発的に生成される。これらの結果は、1981年にハンセンとラヴァンダルによってより一般的な処理を使用して確認された。^{[10] [8] : 316}

質量のない相対論的粒子がエネルギー と運動量 を持って高さの潜在的なステップに近づくことを考えてみましょう。 ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E_{0}<V_{0}e}$${\displaystyle p}$

粒子の波動関数は、時間に依存しないディラック方程式に従います。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left(\sigma _{x}p+V\right)\psi =E_{0}\psi ,\quad V={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x>0\end{cases}}}$

そしてパウリ行列は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$

${\displaystyle \sigma _{x}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)}$

粒子が左から伝播していると仮定すると、2つの解が得られます。1つはステップ前の領域(1)、もう1つはポテンシャル下の領域(2)です。

${\displaystyle \psi _{1}=Ae^{ipx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right)+A'e^{-ipx}\left({\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}}\right),\quad p=E_{0}\,}$

${\displaystyle \psi _{2}=Be^{ikx}\left({\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right),\quad \left|k\right|=V_{0}-E_{0}\,}$

ここで、係数A、A′、Bは複素数です。入射波動関数と透過波動関数は両方とも正の群速度に関連付けられています (図 1 の青線)。一方、反射波動関数は負の群速度に関連付けられています (図 1 の緑線)。

ここで、透過係数と反射係数を計算します。これらは確率振幅電流 から導き出されます。 ${\displaystyle T,R.}$

ディラック方程式に関連する確率電流の定義は次のとおりです。

${\displaystyle J_{i}=\psi _{i}^{\dagger }\sigma _{x}\psi _{i},\ i=1,2\,}$

この場合：

${\displaystyle J_{1}=2\left[\left|A\right|^{2}-\left|A'\right|^{2}\right],\quad J_{2}=2\left|B\right|^{2}\,}$

透過係数と反射係数は次のとおりです。

${\displaystyle R={\frac {\left|A'\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}},\quad T={\frac {\left|B\right|^{2}}{\left|A\right|^{2}}}\,}$

における波動関数の連続性は次式を生む: ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \left|A\right|^{2}=\left|B\right|^{2}\,}$

${\displaystyle \left|A'\right|^{2}=0\,}$

したがって透過係数は 1 となり、反射はありません。

このパラドックスの解釈の 1 つは、ポテンシャル ステップでは質量のない相対論的粒子の群速度の方向を逆転させることができないというものです。この説明は、上記の単一粒子の解決法に最も適しています。文献では、ポテンシャルでの粒子と反粒子のペアの存在により、制限のないトンネル効果が発生することが示されている量子場理論の文脈で、他のより複雑な解釈が提案されています。

質量がある場合の計算は上記と同様です。結果は質量がない場合と同様に驚くべきものです。透過係数は常にゼロより大きく、ポテンシャルステップが無限大に近づくにつれて 1 に近づきます。

粒子のエネルギーが範囲内にある場合、全反射ではなく部分反射が発生します。 ${\displaystyle mc^{2}<E<Ve-mc^{2}}$

伝統的な解決法は、量子場理論の文脈における粒子-反粒子対生成を利用する。^[10]

これらの結果は、高次元、線形ステップ、正方形バリア、滑らかなポテンシャルなどの他のタイプのポテンシャルに拡張されました。グラフェンにおける電子輸送の多くの実験は、質量のない粒子に対するクラインのパラドックスに依存しています。^{[5] [11]}

• パラドックスのリスト

• Cheng, T.; Su, Q.; Grobe, R. (2010 年 7 月). 「空間時間分解能を備えた量子場理論の入門レビュー」. Contemporary Physics . 51 (4): 315–330. Bibcode :2010ConPh..51..315C. doi :10.1080/00107510903450559. ISSN  0010-7514.
• Dombey, N; Calogeracos, A. (1999年7月). 「クラインのパラドックスの70年」.物理学レポート. 315 (1–3): 41–58. Bibcode :1999PhR...315...41D. doi :10.1016/S0370-1573(99)00023-X.
• Robinson, TR (2012). 「グラフェンのクライントンネル効果について」. American Journal of Physics . 80 (2): 141–147. Bibcode :2012AmJPh..80..141R. doi :10.1119/1.3658629.