4つの電流

特殊相対性理論と一般相対性理論において、四元電流（専門的には四元電流密度）^[1]は、単位面積あたり単位時間あたりの電荷の単位を持つ、電流密度の4次元類似体である。ベクトル電流としても知られ、時間を3次元空間から分離するのではなく、4次元時空の幾何学的コンテキストで使用されます。数学的には4元ベクトルであり、ローレンツ共変です。

この記事では、インデックスの合計規則を使用します。上げ下げインデックスの背景についてはベクトルの共変性と反変性を参照してください。また、上げ下げインデックスと下げ下げインデックスを切り替える方法については、上げ下げインデックスを参照してください。

メトリックシグネチャ(+ − − −)のミンコフスキーメトリック を使用すると、4つの電流成分は次のように表されます。 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

どこ：

• c は光の速度です。
• ρは体積電荷密度である。
• jは従来の電流密度である。
• ダミーインデックス αは時空 次元を表します。

これは4速度の観点から次の式で表すこともできる: ^{[2] [3]}

${\displaystyle J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }}$

どこ：

• ${\displaystyle \rho _{u}}$は、速度u ( 3 速度の大きさ)で移動する電流を観測する慣性観測者 O によって測定された電荷密度です。
• ${\displaystyle \rho _{0}}$は「静止電荷密度」、つまり共動観測者（慣性観測者 O に対して電荷とともに速度uで移動する観測者）の電荷密度です。

定性的には、電荷密度（単位体積あたりの電荷）の変化は、ローレンツ収縮による電荷の体積の収縮によるものです。

静止している電荷（自由電荷または分布電荷）は、一定時間（静止している限り）同じ空間位置に留まっているように見えます。電荷が移動すると、位置の変化に対応するため、電荷には速度があり、電荷の動きが電流を構成します。つまり、電荷密度は時間に関連し、電流密度は空間に関連しています。

四電流は、電荷密度（電気に関連）と電流密度（磁気に関連）を 1 つの電磁気的実体に統合します。

特殊相対論では、電荷保存の記述はJのローレンツ不変発散がゼロであるということである：^[4]

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

ここで は4 次勾配です。これが連続方程式です。 ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$

一般相対性理論では、連続方程式は次のように表されます。

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}$

ここでセミコロンは共変微分を表します。

4元電流は、ローレンツゲージ条件が満たされる場合、4元ポテンシャル^[5]の観点から、マクスウェル方程式の2つの同等な定式化に現れる。

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

ここで はダランベール演算子、つまり電磁場テンソルです。 ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

ここで、μ _{0 は}自由空間の透磁率であり、∇ _{α は} 共変微分です。

一般相対性理論では、四元電流は電磁変位の発散として定義され、次のように定義されます。

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}$

それから：

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

電荷の4元電流密度は、量子電気力学で使用されるラグランジアン密度の重要な構成要素である。^[6] 1956年にセミョン・ゲルシュタインとヤコフ・ゼルドヴィッチは、電弱相互作用に対する保存ベクトル電流（CVC）仮説を検討した。^{[7] [8] [9]}

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