非線形ディラック方程式

表記については、リッチ計算とファンデルワールデン表記法を参照してください。

量子場の理論において、非線形ディラック方程式は自己相互作用するディラックフェルミオンのモデルである。このモデルは量子物理学において自己相互作用する電子のおもちゃのモデルとして広く考えられている。^{[1] [2] [3] [4] [5]}

非線形ディラック方程式は、一般相対論を固有角運動量（スピン）を持つ物質に拡張するアインシュタイン・カルタン・シアマ・キブル重力理論に登場します。 ^{[6] [7]この理論は、}アフィン接続 の対称性の制約を取り除き、その反対称部分であるねじれテンソルを作用を変化させる変数として扱います。結果として得られる場の方程式では、ねじれテンソルはスピンテンソルの同次線形関数です。したがって、ねじれとディラックスピノル間の最小限の結合により、フェルミオン物質に軸-軸、スピン-スピン相互作用が生成され、これは極端に高密度の場合にのみ重要になります。その結果、ディラック方程式はスピノル場で非線形（3次）になり、^{[8] [9]}フェルミオンが空間的に拡張され、量子場の理論における紫外線発散が除去される可能性があります。 ^[10]

2つの一般的な例としては、大質量Thirring モデルとSoler モデルがあります。

ティリングモデル^{[11]は、もともと（1 + 1）}時空次元のモデルとして定式化され、ラグランジアン密度によって特徴付けられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right),}$

ここで、ψ ∈ C ²はスピノル場、ψ = ψ * γ ⁰はディラック随伴スピノル、

${\displaystyle \partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0,1}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,}$

（ファインマンスラッシュ表記が使用されています）、gは結合定数、mは質量、γ ^μは2次元ガンマ行列、最後にμ = 0、1はインデックスです。

ソレルモデル^[12]は、もともと（3 + 1）時空次元で定式化された。これはラグランジアン密度によって特徴付けられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi }}\psi \right)^{2},}$

上記と同じ表記を使用するが、

${\displaystyle \partial \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\,,}$

は、4次元ディラックガンマ行列γ ^μと縮約された4次元勾配演算子なので、μ = 0, 1, 2, 3となります。

ソレルモデル以外にも、ディラック方程式の非線形バージョンを使用して、（3 + 1）時空次元における純粋に古典的な非線形粒子状解（PLS）を記述する広範な研究が行われてきました。ラニャダは、この主題についてレビューを行っています。^[13] 純粋に古典的な非線形PLSに特化した最近のレビューはまだ発表されていないようですが、関連する参考文献は最近のさまざまな出版物で入手できます。^{[14] [15]}

ラニャーダが検討したモデルは、本質的に完全に古典的なものであり、量子力学とは何の関係もないとみなされるべきですが、ディラック方程式の従属変数は依然としてスピノルとして扱われるのが一般的です。このような純粋に古典的なモデルを検討する場合、従属変数としてスピノルを使用することは不適切と思われます。

基礎となるディラック方程式を少し修正すれば、比較的簡単な方法でこの問題を回避できる。^[16] ディラック方程式の従属変数として通常の列ベクトルを使用する代わりに、4×4行列を使用することができる。座標変換がない場合、行列の左端の列は通常どおりディラック方程式で使用されますが、時空間の変換がある場合、従属変数の4つの成分が4×4行列のさまざまな位置に現れることが許可されることがあります。

ディラック方程式の従属変数はクリフォード代数の 4 次元左イデアルとして表すことができるため、結果はクリフォード代数の観点から理解できます。この場合、時空変換があるときに 従属変数が異なる左イデアルに存在することを許可します。

アインシュタイン・カルタン理論では、ディラックスピノル場のラグランジアン密度は（） で与えられる。${\displaystyle c=\hbar =1}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left({\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi \right),}$

どこ

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\nu \rho \mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$

はスピノルのアフィン接続に関するフォック・イヴァネンコ共変微分、はスピン接続、は計量テンソルの行列式、ディラック行列は次式を満たす。 ${\displaystyle \omega _{\mu \nu \rho }}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I.}$

スピン接続に対するアインシュタイン・カルタン場方程式は、偏微分方程式ではなく、スピン接続とスピノル場の間の代数的制約を生じ、これによりスピン接続 を理論から明示的に排除することができる。最終結果は、有効な「スピン-スピン」自己相互作用を含む非線形ディラック方程式である。

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,}$

ここで、はスピノルの一般相対論的共変微分、 はアインシュタインの重力定数です。この式の 3 次項は、 のオーダーの密度で重要になります。 ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$${\displaystyle \kappa }$${\textstyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$${\textstyle {\frac {m^{2}}{\kappa }}}$