ディラックの海

ディラックの海は、負のエネルギーを持つ電子（現在では陽電子と呼ばれる）の無限の海として電子真空をとらえた理論モデルである。これは、相対論的に正しいディラック方程式によって予測される異常な負のエネルギー量子状態を説明するために、 1930年にイギリスの物理学者ポール・ディラックによって初めて提唱された [ ^1]。^[2]電子の反物質である陽電子は、 1932年に実験的に発見される前は、もともとディラックの海の穴として考えられていた。 ^{[注 1]}

^{ホール理論では、負の時間発展因子[明確化が必要]}を持つ解は、カール・アンダーソンによって発見された陽電子を表すものとして再解釈されます。この結果の解釈にはディラックの海が必要であり、ディラック方程式が特殊相対論と量子力学の単なる組み合わせではなく、粒子の数が保存できないことも示しています。^[3]

ディラックの海理論は量子場理論に置き換えられたが、両者は数学的には互換性がある。

結晶の穴に関する同様のアイデアは、1926年にソ連の物理学者ヤコフ・フレンケルによって開発されていたが、1928年夏にソ連の物理学会議で2人が会ったときに、この概念がディラックと話し合われたという形跡はない。

ディラックの海の起源は、ディラック方程式のエネルギー スペクトルにあります。この方程式は、特殊相対性理論 と矛盾しないシュレーディンガー方程式の拡張であり、ディラックは 1928 年にこの方程式を定式化しました。この方程式は電子のダイナミクスを記述するのに非常に優れていますが、かなり特異な特徴があります。つまり、正のエネルギーEを持つ各量子状態に対して、エネルギー - E を持つ対応する状態が存在するということです。孤立した電子を考えるとき、これは大きな問題にはなりません。そのエネルギーは保存され、負のエネルギーを持つ電子は除外できるからです。しかし、電磁場の効果を考えると困難が生じます。正のエネルギーを持つ電子は、光子を連続的に放出することによってエネルギーを放出することができ、このプロセスは、電子がさらに低いエネルギー状態へと下降するにつれて際限なく続く可能性があるからです。しかし、実際の電子がこのように動作しないことは明らかです。

ディラックは、パウリの排他原理に頼ってこの問題を解決しました。電子はフェルミオンであり、排他原理に従います。つまり、原子内で 2 つの電子が 1 つのエネルギー状態を共有することはできません。ディラックは、私たちが「真空」と考えるものは、実際にはすべての負のエネルギー状態が満たされ、正のエネルギー状態がまったく満たされていない状態であると仮定しました。したがって、電子を 1 つ導入する場合は、負のエネルギー状態がすべて満たされているため、その電子を正のエネルギー状態にする必要があります。さらに、電子が光子を放出してエネルギーを失ったとしても、ゼロエネルギー以下に低下することは禁じられています。

ディラックはさらに、負のエネルギー状態のうち 1 つを除いてすべてが占有されている状況が存在する可能性を指摘しました。負のエネルギーを持つ電子の海にできたこの「穴」は、正に帯電した粒子であるかのように電場に反応します。当初、ディラックはこの穴を陽子と特定しました。しかし、ロバート・オッペンハイマーは、電子とその穴は互いに消滅し、電子の静止エネルギーと同程度のエネルギーをエネルギー光子の形で放出できると指摘しました。穴が陽子であれば、安定した原子は存在しないでしょう。^[4] ヘルマン・ワイルも、穴は電子と同じ質量であるかのように振舞うべきであるのに対し、陽子は電子の約 2000 倍重いと指摘しました。この問題は、ディラックの穴の物理的特性がすべて予測されていた 1932 年にカール・アンダーソンが陽電子を発見したことでようやく解決しました。

ディラックの海というアイデアは、その成功にもかかわらず、人々にあまり洗練された印象を与えない傾向がある。海の存在は、空間全体を満たす無限の負電荷を意味する。これを理解するには、「裸の真空」は無限の正電荷密度を持ち、それがディラックの海によって正確に打ち消されると仮定しなければならない。絶対的なエネルギー密度は観測不可能であるため (宇宙定数は別として)、真空の無限のエネルギー密度は問題にならない。観測できるのはエネルギー密度の変化だけだ。 ジェフリー・ランディスはまた、パウリの排他原理は、満たされたディラックの海がそれ以上の電子を受け入れられないことを決定的に意味するわけではないと指摘している^{[要出典]。なぜなら、}ヒルベルトが説明したように、無限の広がりを持つ海は、満たされていても新しい粒子を受け入れることができるからである。これは、カイラル異常とゲージインスタントンがある場合に起こる。

1930 年代の量子場理論(QFT)の発展により、陽電子を粒子の不在ではなく「実際の」粒子として扱い、真空を無限の粒子の海ではなく粒子が存在しない状態とするディラック方程式を再定式化することが可能になった。この図式は、電子陽電子消滅など、ディラックの海^[要出典]のすべての有効な予測を再現している。一方、場の定式化は、ディラックの海によって生じるすべての困難、特に真空が無限のエネルギーを持つという問題を排除するものではない。

自由ディラック方程式を解くと、

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,}$$

[ 5 ^]

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},}$$

どこ

$${\displaystyle \varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon }$$

3運動量pを持つ平面波解の場合。これは相対論的なエネルギー運動量関係の直接的な帰結である。

$${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

ディラック方程式は、この方程式に基づいている。量Uは定数2 × 1列ベクトルであり、N は正規化定数である。量εは時間発展因子と呼ばれ、例えばシュレーディンガー方程式の平面波解における同様の役割でのその解釈は、波（粒子）のエネルギーである。この解釈は、負の値を取る可能性があるため、ここではすぐには利用できない。クライン・ゴルドン方程式についても同様のことが言える。その場合、εの絶対値は波のエネルギーとして解釈できる。なぜなら、正準形式では、負のεを持つ波は、実際には正のエネルギーE _{p を}持つからである。^[6]しかし、ディラック方程式の場合はそうではない。負のεに関連する正準形式のエネルギーは– E _pである。^[7]

ディラックの海解釈と現代の QFT 解釈は、非常に単純なボゴリュボフ変換、つまり 2 つの異なる自由場理論の生成演算子と消滅演算子の同一視によって関連している。^[要出典]現代の解釈では、ディラックのスピノルの場の演算子は、概略的に表記すると、生成演算子と消滅演算子の合計である。

$${\displaystyle \psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}}$$

負の周波数を持つ演算子は、周波数に比例した量だけ任意の状態のエネルギーを低下させますが、正の周波数を持つ演算子は、任意の状態のエネルギーを上昇させます。

現代の解釈では、正の周波数演算子は正のエネルギー粒子を追加してエネルギーを増加させ、負の周波数演算子は正のエネルギー粒子を消滅させてエネルギーを低下させます。フェルミオン場の場合、運動量 k の状態がすでに満たされているときは生成演算子はゼロを返し、運動量 kの状態が空のときは消滅演算子はゼロを返します。 ${\displaystyle a^{\dagger }(k)}$${\displaystyle a(k)}$

しかし、消滅演算子を負のエネルギー粒子の生成演算子として再解釈することも可能です。それでも真空のエネルギーは低下しますが、この観点からは、負のエネルギー オブジェクトを作成することによって低下します。この再解釈は、哲学にのみ影響します。真空での消滅がゼロになるときの規則を再現するには、負のエネルギー状態について「空」と「満たされている」という概念を逆にする必要があります。反粒子のない状態ではなく、これらはすでに負のエネルギー粒子で満たされている状態です。

その代償として、消滅を生成に置き換えると負のエネルギー粒子の数に定数が追加されるため、特定の式に不均一性が生じます。フェルミ場の数演算子^[8]は次のとおりです。

$${\displaystyle N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }}$$

つまり、負のエネルギー状態に対してN を 1− Nに置き換えると、エネルギーや電荷密度などの量、つまり粒子の総数を数える量が一定にシフトします。この無限定数により、ディラックの海には無限のエネルギーと電荷密度が与えられます。真空はローレンツ不変なので、真空の電荷密度はゼロになるはずですが、これをディラックの図式に配置するのは不自然です。その方法は、現代の解釈に移行することです。

ディラックの考えは固体物理学により直接的に当てはまり、固体の価電子帯は電子の「海」とみなすことができます。この海には実際に正孔が存在し、半導体の効果を理解する上で非常に重要ですが、この正孔は「陽電子」と呼ばれることはありません。粒子物理学とは異なり、イオン格子の電荷である基礎的な正電荷が海の電荷を打ち消します。

ディラックの粒子の海という当初のコンセプトは、統一物理理論の最近の提案である因果フェルミオン系の理論で復活しました。このアプローチでは、ディラックの海の無限の真空エネルギーと無限の電荷密度の問題は、因果作用原理によって定式化された物理方程式からこれらの発散がなくなるため、消えます。^[9]これらの方程式は、既存の時空を必要としないため、時空とその中のすべての構造は、海の状態同士、および海内の追加の粒子や「穴」との集合的な相互作用の結果として生じるというコンセプトを実現できます。

• フェルミ海
• ポジトロニウム
• 真空偏極
• 仮想粒子

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