パウリ方程式

量子力学において、パウリ方程式またはシュレーディンガー・パウリ方程式は、スピン1/2粒子に対するシュレーディンガー方程式の定式化であり、粒子のスピンと外部電磁場の相互作用を考慮に入れている。これはディラック方程式の非相対論的極限であり、粒子が光速よりもはるかに遅い速度で運動している場合に使用でき、相対論的効果は無視できる。これは1927年にヴォルフガング・パウリによって定式化された。 ^[1]線形化された形式では、レヴィ・ルブロン方程式として知られている。

質量と電荷を持つ粒子の場合、磁気ベクトルポテンシャルと電気スカラーポテンシャルによって記述される電磁場において、パウリの方程式は次のようになります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

ここでは、便宜上、パウリ演算子がベクトルにまとめられており、 位置表現における運動量演算子です。システムの状態(ディラック記法で記述) は、2 成分スピノル波動関数、または列ベクトル(基底を選択した後) として考えることができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$。

ハミルトニアン演算子は、パウリ演算子のため 2 × 2 行列です。

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

シュレーディンガー方程式に代入すると、パウリ方程式が得られます。このハミルトニアンは、電磁場と相互作用する荷電粒子の古典的なハミルトニアンに似ています。この古典的なケースの詳細については、ローレンツ力を参照してください。電磁場がない場合の自由粒子の 運動エネルギー項は、運動量 であるのに対し、電磁場がある場合は最小結合が含まれ、運動量、正準運動量になります。 ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

パウリ演算子は、パウリベクトル恒等式を使用して運動エネルギー項から除去できます。

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

ベクトルとは異なり、微分演算子はそれ自身とのクロス積がゼロではないことに注意してください。これは、スカラー関数に適用されたクロス積を考えるとわかります。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi }$

磁場は どこにありますか。${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

完全なパウリ方程式については、^[2]

これについては、例えば均一磁場でのランダウ量子化や、理想化されたクーロンのような不均一磁場での解析結果がわずかしか知られていない。 ^[3]

磁場が一定かつ均一な場合、 対称ゲージ を使って展開することができる。ここで は位置演算子であり、A は演算子である。 ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

ここで は粒子の角運動量演算子であり、磁場の2乗項は無視した。したがって、 ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$${\textstyle B^{2}}$

ここで、 は 粒子のスピンです。スピンの前の係数 2 はディラックのg係数として知られています。 の項は、 の形をしており、これはゼーマン効果のような磁気モーメントと磁場の間の通常の相互作用です。 ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$${\textstyle \mathbf {B} }$${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

等方性定常磁場中の電荷を持つ電子の場合、全角運動量とウィグナー・エッカートの定理を用いて方程式をさらに簡約することができる。したがって、 ${\textstyle -e}$${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

ここではボーア磁子、 はに関連する磁気量子数です。この項はランデg因子として知られ、次のように与えられます。 ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$${\textstyle m_{j}}$${\textstyle \mathbf {J} }$${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[あ]

ここで、は に関連する軌道量子数であり、は に関連する全軌道量子数です。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle J^{2}}$

パウリ方程式は、スピン1/2粒子の相対論的量子運動方程式であるディラック方程式の非相対論的極限から推論することができる。 ^[4]

ディラック方程式は次のように表すことができます。 $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

ここで、 および は2成分スピノルであり、ビスピノルを形成します。 ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

次の仮定を用いると、 2つの新しいスピノルを用いると、方程式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \psi ,\chi }$$${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

非相対論的極限では、運動エネルギーと静電エネルギーは静止エネルギーに対して小さくなり、レヴィ・ルブロン方程式が成立する。^[5]したがって${\displaystyle \partial _{t}\chi }$${\displaystyle mc^{2}}$$${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

ディラック方程式の上側要素に挿入すると、パウリ方程式（一般形）が得られます。 $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

パウリ方程式の厳密な導出は、外部場におけるディラック方程式から、次数までの項を考慮した フォルディ・ウトハイゼン変換^[4]を実行することで得られる。同様に、パウリ方程式に対する高次の補正は、次数まで展開することで、スピン軌道相互作用項とダーウィン相互作用項を生じさせることで決定することができる。^[6]${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

パウリの方程式は、 g因子g =2を与える最小結合を要求することによって導かれる。ほとんどの素粒子は、2とは異なる異常なg因子を持っている。相対論的量子場理論の領域では、異常因子を追加するために、パウリ結合と呼ばれることもある非最小結合を定義する。

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

ここで、は4元運動量演算子、は電磁4元ポテンシャル、は異常磁気双極子モーメントに比例し、は電磁テンソル、 はローレンツスピン行列とガンマ行列の交換子です。^{[7] [8]非相対論的量子力学の文脈では、シュレーディンガー方程式を使用する代わりに、パウリ結合は任意の}g因子に対してパウリ方程式を使用する（またはゼーマンエネルギーを仮定する）ことと同等です。 ${\displaystyle p_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

• 半古典物理学
• 原子、分子、光学物理学
• グループ縮小
• ゴードン分解

• シュヴァーブル、フランツ (2004)。クォンテンメカニック I。スプリンガー。ISBN 978-3540431060。
• シュヴァーブル、フランツ (2005)。Fortgeschrittene のための Quantenmechanik。スプリンガー。ISBN 978-3540259046。
• クロード・コーエン＝タンヌージ。バーナード・ディウ;フランク・ラロー (2006)。量子力学 ２．ワイリー、J. ISBN 978-0471569527。