磁気モーメント

面積aを囲む電流Iの磁気モーメントm。
一般的な記号	メートル
SI単位	アンペア-メートル2
SI基本単位では	メートル2 ⋅ A
寸法	L 2私

電磁気学において、磁気モーメントまたは磁気双極子モーメントは、磁石または磁場を及ぼす他の物体やシステムの強さと方向の組み合わせです。物体の磁気双極子モーメントは、特定の磁場内で物体が受けるトルクの大きさを決定します。同じ磁場が適用された場合、磁気モーメントが大きい物体はより大きなトルクを受けます。このトルクの強さ (および方向) は、磁気モーメントの大きさだけでなく、磁場の方向に対する向きにも依存します。その方向は、磁石の S 極から N 極 (つまり、磁石の内側) を指します。

磁気モーメントは磁石の磁力効果も表します。磁気双極子の磁場は磁気双極子モーメントに比例します。物体の磁場の双極子成分は磁気双極子モーメントの方向に対して対称で、物体からの距離の 3 乗に反比例して減少します。

磁気モーメントを生成する物体またはシステムの例としては、永久磁石、地球を含む多くの惑星、いくつかの衛星、恒星などの天体、さまざまな分子、素粒子（電子など）、素粒子の複合体（原子核などの陽子と中性子）、電磁石によって生じる電流のループなどがあります。

磁気モーメントは、外部から印加された磁場から物体に作用する整列トルクを磁場ベクトル自体に関連付けるベクトル（実際には擬似ベクトル）として定義できます。この関係は次のように表されます。 ^[1] ここで、τは双極子に作用するトルク、Bは外部磁場、mは磁気モーメントです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$$

この定義は、原理的には未知のサンプルの磁気モーメントを測定する方法に基づいています。電流ループの場合、この定義により、磁気双極子モーメントの大きさは電流とループ面積の積に等しくなります。さらに、この定義により、既知のマクロ電流分布の予想される磁気モーメントを計算できます。

磁気モーメントの熱力学計算には別の定義が役立ちます。この定義では、システムの磁気双極子モーメントは、外部磁場に対する その固有エネルギーU _{intの負の勾配です。}$${\displaystyle \mathbf {m} =-{\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{x}}}-{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{y}}}-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{z}}}.}$$

一般的に、固有エネルギーには、システムの自己場エネルギーとシステムの内部動作のエネルギーが含まれます。たとえば、外部場における 2p 状態の水素原子の場合、自己場エネルギーは無視できるため、内部エネルギーは基本的に 2p 状態の固有エネルギーであり、これにはクーロン位置エネルギーと電子の運動エネルギーが含まれます。内部双極子と外部場の間の相互作用場エネルギーは、この内部エネルギーの一部ではありません。^[2]

国際単位系（SI）基本単位における磁気モーメントの単位はA⋅m ²であり、Aはアンペア（SI電流基本単位）、mはメートル（SI距離基本単位）である。この単位は、他のSI派生単位でも同等である：^{[3] [4]}

$${\displaystyle \mathrm {A\cdot m^{2}} ={\frac {\mathrm {N\cdot m} }{\mathrm {T} }}={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {T} }},}$$

ここで、Nはニュートン（SI導関数の力の単位）、Tはテスラ（SI導関数の磁束密度の単位）、Jはジュール（SI導関数のエネルギーの単位）である。^{[5] ：20–21}トルク（N·m）とエネルギー（J）は次元的に等しいが、トルクがエネルギーの単位で表されることはない。^{[5] ：23}

CGSシステムには、いくつかの異なる電磁気単位のセットがあり、その主なものはESU、ガウス、およびEMUです。これらの中には、磁気双極子モーメントの代替の（非同等の）単位が 2 つあります。 $${\displaystyle 1{\text{ statA}}{\cdot }{\text{cm}}^{2}=3.33564095\times 10^{-14}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}~~{\text{ (ESU)}}}$$ $${\displaystyle 1\;{\frac {\text{erg}}{\text{G}}}=10^{-3}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}~~{\text{ (Gaussian and EMU),}}}$$

ここで、 statA はスタタンペール、 cm はセンチメートル、 erg はエルグ、 G はガウスです。これら 2 つの等価でない CGS 単位の比 (EMU/ESU) は、自由空間における光の速度に等しく、 cm ⋅ s ⁻¹で表されます。

この記事のすべての式はSI単位では正しいですが、他の単位系で使用する場合は変更する必要があるかもしれません。たとえば、SI単位では、電流Iと面積Aの電流ループの磁気モーメントはIA（下記参照）ですが、ガウス単位では磁気モーメントは⁠アイオワ/c⁠ .

磁気双極子モーメントを測定するための他の単位には、ボーア磁子と核磁子があります。

物体の磁気モーメントは通常、磁力計と呼ばれる装置で測定されますが、すべての磁力計が磁気モーメントを測定するわけではありません。代わりに磁場を測定するように設定されているものもあります。ただし、物体を取り囲む磁場が十分にわかっている場合は、その磁場から磁気モーメントを計算できます。^[要出典]

磁気モーメントは、物体全体の磁気の強さを表す量です。ただし、物体の正味の磁気モーメントのうち、磁石の特定の部分によってどれだけが生成されるかを知ることが有用または必要な場合があります。したがって、磁化場M を次のように定義すると便利です。 ここで、m _{Δ V}およびV _{Δ V は}、磁石Δ Vの十分に小さい部分の磁気双極子モーメントと体積です。この式は、次のように微分表記法を使用して表されることがよくあります 。 ここで、d mは基本磁気モーメント、d V は体積要素です。したがって、 磁石の正味の磁気モーメントm は 次のようになります。ここで、三重積分は磁石の体積についての積分を表します。均一磁化（磁石全体（まっすぐな棒磁石など）でMの大きさと方向が同じ場合）の場合、最後の式は次のように簡略化されます。 ここで、V は棒磁石の体積です。 $${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathbf {m} _{\Delta V}}{V_{\Delta V}}},}$$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} V}},}$$$${\displaystyle \mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V,}$$$${\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {M} V,}$$

ただし、市販の強磁性材料では、磁化は材料パラメータとして記載されていないことがよくあります。代わりに記載されるパラメータは、残留磁束密度（または残留磁化）で、 B _{rで表されます。この場合、} m を（単位は A⋅m ²） で計算するために必要な式は次のとおりです。$${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} _{\text{r}}V,}$$

どこ：

• B _{r は}残留磁束密度であり、テスラ単位で表されます。
• V は磁石の体積（m ³）です。
• μ ₀は真空の透磁率（4π × 10 ⁻⁷  H/m）。^[6]

磁気モーメントの好ましい古典的な説明は、時とともに変化してきました。1930 年代以前は、教科書では仮想的な磁気点電荷を使用して磁気モーメントを説明していました。それ以降、ほとんどの教科書では磁気モーメントをアンペリアン電流の観点から定義しています。^[7]磁性材料では、磁気モーメントの原因は電子のスピンと軌道角運動量状態であり、ある領域の原子が別の領域の原子と整列しているかどうかによって異なります。^[要出典]

物質の磁気モーメントの源は、静電気学に倣って極で表すことができます。これはギルバートモデルと呼ばれることもあります。^{[8] : 258}このモデルでは、小さな磁石が、大きさは等しいが極性が反対の架空の磁気単極子のペアでモデル化されます。各極は、距離とともに弱まる磁力の源です。磁極は常にペアになっているため、一方の極が引っ張る一方でもう一方の極は反発するため、磁極の力は部分的に打ち消されます。この打ち消し合いは、極が互いに近い場合、つまり棒磁石が短い場合に最大になります。したがって、空間内の特定の点で棒磁石によって生成される磁力は、2 つの要因、つまり極の強度p (磁極強度) と、それらを分離するベクトルによって決まります。磁気双極子モーメントm は、架空の極と次のように関係しています^[7]${\displaystyle \mathrm {\boldsymbol {\ell }} }$ $${\displaystyle \mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.}$$

それは南極から北極への方向を指します。磁気双極子は角運動量と関連しているため、電気双極子との類似性はあまり深入りすべきではありません（角運動量との関係を参照）。それでも、磁極は静磁気計算、特に強磁性体への応用に非常に役立ちます。^[7]磁極アプローチを使用する専門家は、一般に、電場Eと同様に、磁場を非回転磁場Hで表します。

ハンス・クリスチャン・エルステッドが電流が磁場を生成することを発見し、アンドレ・マリー・アンペールが電流が磁石と同様に互いに引き付けたり反発したりすることを発見した後、すべての磁場は電流ループによるという仮説を立てるのは自然なことでした。アンペールが開発したこのモデルでは、すべての磁石を構成する基本的な磁気双極子は、十分に小さい電流Iのアンペールループです。このループの双極子モーメント は、ループの面積Sです。磁気モーメントの方向は、右手の法則を使用した電流の 方向と一致して、電流で囲まれた面積に垂直な方向です。 $${\displaystyle \mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},}$$

磁気双極子モーメントは、関与する電流がすべてわかっていると仮定して、局所的な（無限大に及ばない）電流分布に対して計算できます。通常、導出はベクトルポテンシャルの多極展開から始まります。これにより、磁気双極子モーメントは次のように定義されます。 ここで、×はベクトル外積、rは位置ベクトル、jは電流密度で、積分は体積積分です。^{[9] ：§ 5.6}積分内の電流密度を、面積 S を囲む平面内の電流 I のループに置き換えると、体積積分は線積分になり、結果として得られる双極子モーメント は になり、 アンペールループの磁気双極子モーメントはこのようにして導出されます。 $${\displaystyle \mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$$$${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {S} ,}$$

電流ループモデルを使用する専門家は、一般に、静電場Dに類似したソレノイド場Bによって磁場を表します。

上記の電流ループを一般化したものにはコイル、またはソレノイドがあります。そのモーメントは、個々のターンのモーメントのベクトル和です。ソレノイドにN個の同一のターン（単層巻線）があり、ベクトル面積がSである場合、 $${\displaystyle \mathbf {m} =NI\mathbf {S} .}$$

微視的レベルで物質や分子の磁気モーメントを計算する場合、粒子の角運動量と磁気モーメントの線形関係を利用する磁気モーメントの第 3 モデルを使用すると便利な場合がよくあります。この関係は、アンペリアン ループ モデル (下記参照) を使用してマクロな電流に対して簡単に構築できますが、磁極モデルもアンペリアン ループ モデルも、原子レベルや分子レベルで起こっていることを正確には表していません。そのレベルでは、量子力学を使用する必要があります。幸い、粒子の磁気双極子モーメントと角運動量の間には線形関係が存在します (ただし、この関係は粒子ごとに異なります)。さらに、粒子の固有角運動量 (またはスピン) と粒子の軌道角運動量を区別するように注意する必要があります。詳細については、下記を参照してください。

均一磁場B内で磁気双極子モーメントm を持つ物体にかかるトルクτ は、次の式で表されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} .}$$

これは、磁場が均一であれば、局所的な電流分布による瞬間的な変化に対して有効である。Bが均一でない場合は、磁気双極子が十分に小さい場合、磁気双極子の中心の周りのトルクに対してもこの式は有効である。^{[8] : 257}

均一な磁場内に置かれた電子、原子核、または原子は、ラーモア周波数と呼ばれる周波数で歳差運動をします。「共鳴」を参照してください。

外部で生成された磁場内の磁気モーメントの位置エネルギーはUです。 $${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$$

外部磁場が不均一な場合、磁場勾配に比例した力が磁気モーメント自体に作用する。磁気双極子に作用する力には、双極子のモデルが電流ループか2つの単極子（電気双極子に類似）かによって2つの表現がある。^[10]電流ループモデルの場合に得られる力は $${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{loop}}=\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right).}$$

磁気単極子の存在を仮定すると、力は次のように変更されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{loop}}&=\left(\mathbf {m} \times \nabla \right)\times \mathbf {B} \\[1ex]&=\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right)-\left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {m} \end{aligned}}}$$

一対の単極子が使用される場合（すなわち電気双極子モデル）、力は 、一方が他方に関して次の関係式で表される。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{dipole}}=\left(\mathbf {m} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} .}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{loop}}=\mathbf {F} _{\text{dipole}}+\mathbf {m} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)-\left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {m} .}$$

これらの式ではすべて、m は双極子で、B はその位置における磁場です。電流や時間とともに変化する電場、磁荷が存在しない場合は、∇× B = 0、∇⋅ B = 0となり、2 つの式は一致することに注意してください。

システムの磁気モーメントは、そのシステムの自由エネルギーと関連している。^[11]均一磁場Bでは、自由エネルギー Fはシステムの 磁気モーメントMと次のように関連している。 ここでSはシステムのエントロピー、Tは温度である。したがって、磁気モーメントはシステムの自由エネルギーの観点から次のように定義することもできる。 $${\displaystyle \mathrm {d} F=-S\,\mathrm {d} T-\mathbf {M} \,\cdot \mathrm {d} \mathbf {B} }$$$${\displaystyle m=\left.-{\frac {\partial F}{\partial B}}\right|_{T}.}$$

さらに、磁場を印加すると、物体自体の磁気モーメントが変化することがあります。たとえば、物体を磁化することで、この現象は磁性と呼ばれます。磁場を印加すると、物質を構成する磁気双極子が反転し、常磁性と強磁性の両方が生じます。さらに、磁場は磁場を生成する電流 (原子軌道など) に影響を及ぼし、反磁性を引き起こします。

正味磁気双極子モーメントmを持つシステムは、システムの周囲の空間に双極子磁場 (後述) を生成します。システムによって生成される正味磁場には高次の多極子成分も含まれる場合がありますが、それらは距離とともに急速に減少するため、システムから離れた距離では双極子成分のみがシステムの磁場を支配します。

磁気双極子の磁場は磁石の磁気モーメントの強さと方向に依存しますが、距離の 3 乗に比例して減少します。 ${\displaystyle \mathbf {m} }$$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right),}$$

ここで、は磁石によって生成される磁場であり、は磁気双極子の中心から磁場が測定される場所へのベクトルです。この式の逆 3 乗の性質は、位置ベクトルをその大きさとその方向の単位ベクトル ( ) の積として表すことで、より簡単に理解できます。${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} =|\mathbf {r} |\mathbf {\hat {r}} }$$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.}$$

磁場に対する等価方程式は、乗法係数μ ₀ =を除いて同じである。${\displaystyle \mathbf {B} }$4 π × 10 ⁻⁷  H / m、ここでμ _{0 は}真空透磁率として知られています。例: $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.}$$

前述のように、モーメントm _{1 の双極子ループがモーメント}m ₂の別の双極子ループに及ぼす力は、 B _{1がモーメント}m ₁による磁場である 場合に、次の式で表される。勾配を計算した結果は^{[12] [13]}であり 、r̂は磁石 1 から磁石 2 を指す単位ベクトル、r は距離である。同等の式は^{[13]である}。m ₁ に作用する力は反対方向である。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left[\mathbf {m} _{2}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+\mathbf {m} _{1}(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\right],}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left[({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\times \mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\times \mathbf {m} _{1}-2{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})+5{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\cdot ({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\right].}$$

磁石1の磁石2に対するトルクは $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$$

磁石の磁場は、一連の項でモデル化できます。各項は、前の項よりも複雑です (角度の詳細がより細かくなっています)。その一連の項の最初の 3 つは、単極子(孤立した磁極の N または S で表される)、双極子(2 つの等しく反対の磁極で表される)、および四極子(一緒に 2 つの等しく反対の双極子を形成する 4 つの極で表される) と呼ばれます。各項の磁場の大きさは、距離とともに前の項よりも急速に減少するため、距離が十分に離れると、最初の非ゼロ項が支配的になります。^{[引用が必要]}

多くの磁石では、最初の非ゼロ項は磁気双極子モーメントです。(現在まで、孤立した磁気単極子は実験的に検出されていません。) 磁気双極子は、モーメントを一定に保ちながらソースの寸法をゼロに縮小したときの電流ループまたは一対の極の限界です。これらの限界がソースから遠い場にのみ適用される限り、それらは同等です。ただし、2 つのモデルは内部場について異なる予測を示します (以下を参照)。

伝統的に、磁気双極子モーメント（および高次の項）の方程式は、磁気ポテンシャルと呼ばれる理論的な量から導かれる^{[9] : § 5.6。}これは、磁場よりも数学的に扱うのが簡単です。^[要出典]

磁極モデルでは、関連する磁場は消磁場 である。 の消磁部分には定義により自由電流による の部分は含まれないため、次のような 磁気スカラーポテンシャルが存在する。${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$$${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi .}$$

アンペリアンループモデルでは、関連する磁場は磁気誘導である。磁気単極子は存在しないので、次のような 磁気ベクトルポテンシャルが存在する。${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} .}$$

これらのポテンシャルは両方とも、次の式が得られるほど小さい領域に制限されている限り、任意の電流分布（アンペリアン ループ モデルの場合）または磁荷分布（磁荷モデルの場合）に対して計算できます。 ここで、はアンペリアン ループ モデルにおける電流密度、 は電荷密度に似た磁極強度密度、積分は を構成する座標上の体積（三重）積分です。これらの式の分母は、多重極展開を使用して展開することができ、分母の距離のべき乗が大きい一連の項になります。したがって、最初の非ゼロ項は、大きな距離に対して支配的になります。ベクトル ポテンシャルの最初の非ゼロ項は次のとおりです。 ここで、 は次のようになります。 ここで、 ×はベクトル外積、rは位置ベクトル、jは電流密度、積分は体積積分です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\\[1ex]\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}},}$$${\displaystyle \mathbf {m} }$$${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} \,\mathrm {d} V,}$$

磁極の観点から見ると、スカラーポテンシャルの最初の非ゼロ項は $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}.}$$

ここでは磁極強度密度で表すことができますが、次のように磁化場の観点で表現するとより便利です。 ${\displaystyle \mathbf {m} }$$${\displaystyle \mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V.}$$

両方の方程式は磁石の外側では同等の結果を生み出すため、 同じ記号が使用されます。${\displaystyle \mathbf {m} }$

したがって、アンペリアンループモデルにおける磁気双極子の 磁束密度は、$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).}$$

さらに、磁場の強さ は ${\displaystyle \mathbf {H} }$$${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).}$$

双極子の 2 つのモデル (磁極または電流ループ) は、発生源から遠く離れた磁場については同じ予測値を示します。ただし、発生源領域内では、予測値が異なります。磁極間の磁場 (磁極モデルの図を参照) は磁気モーメント (負電荷から正電荷を指す) と反対方向ですが、電流ループ内では同じ方向です (右の図を参照)。発生源がゼロサイズに縮小するため、これらの磁場の限界も異なる必要があります。この違いは、磁性材料内の磁場を計算するために双極子の限界が使用される場合にのみ重要です。^[7]

「北極」と「南極」を近づけて磁気双極子を形成し、磁極電荷と距離の積を一定に保つと、限界磁場は^[7] $${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$$

電流ループを小さくしていき、電流と面積の積を一定に保って磁気双極子を形成すると、限界磁場は 前のセクションの式とは異なり、この限界は双極子の内部磁場に対して正しい。^{[7] [9] : 184}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$$

これらの磁場はB = μ ₀ ( H + M )で関係付けられます。ここで、M ( r ) = m δ ( r )は磁化です。

磁気モーメントは、角運動量と密接な関係があり、これを磁気回転効果と呼びます。この効果は、マクロスケールではアインシュタイン・ド・ハース効果、つまり「磁化による回転」と、その逆であるバーネット効果、つまり「回転による磁化」として表現されます。 ^[1]さらに、原子核などの比較的孤立した磁気双極子にトルクを加えると、原子核が歳差運動（加えられた磁場の軸を中心に回転）することがあります。この現象は、核磁気共鳴で使用さ​​れています。^[要出典]

磁気双極子を電流ループとして見ると、磁気モーメントと角運動量の密接な関係が明らかになります。電流を生成する粒子（ループの周りを回転することによって）は電荷と質量を持っているため、磁気モーメントと角運動量は回転速度とともに増加します。この 2 つの比率は磁気回転比と呼ばれ、次の式で表されます。^{[14] [15]} ここで、は磁気モーメントを生成する粒子の角運動量です。 ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \mathbf {m} =\gamma \,\mathbf {L} ,}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$

マクロな電流に適用されるアンペリアンループモデルでは、磁気回転比は電荷質量比の半分です。これは次のように表すことができます。運動する荷電粒子の角運動量は次のように定義されます。 ここで、μは粒子の質量、vは粒子の速度です。したがって、電流を構成する非常に多数の荷電粒子の角運動量は次のように表されます 。 ここで、ρ は運動する粒子の質量密度です。慣例により、外積の方向は右手の法則によって与えられます。^[16]$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mu \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\iiint _{V}\,\mathbf {r} \times (\rho \mathbf {v} )\,\mathrm {d} V\,,}$$

これは、電流を構成する非常に多数の荷電粒子によって生成される磁気モーメントに似ています。 ここで、 は移動する荷電粒子の 電荷密度です。$${\displaystyle \mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times (\rho _{Q}\mathbf {v} )\,\mathrm {d} V\,,}$$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho _{Q}\mathbf {v} }$${\displaystyle \rho _{Q}}$

2 つの方程式を比較すると、次のようになります。 ここで、は粒子の電荷、は粒子の質量です。 $${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} \,,}$$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mu }$

原子粒子は均一な電荷対質量比の電荷分布の軌道を回っている（および回転している）と正確に説明することはできませんが、原子の世界では次のような一般的な傾向が見られます 。 ここで、 g係数は粒子と構成によって異なります。たとえば、原子核を周回する電子による磁気モーメントのg係数は 1 ですが、電子の固有角運動量（スピン）による磁気モーメントのg係数は 2 より少し大きくなります。原子と分子のg係数は、電子の軌道モーメントと固有モーメント、および場合によっては原子核の固有モーメントも考慮する必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {m} =g\,{\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} ,}$$

原子の世界では、粒子の角運動量（スピン）は、換算プランク定数ħの整数倍（フェルミオンの場合は半整数倍）です。これが、ボーア磁子（電子の電荷質量比を想定）と核磁子（陽子の電荷質量比を想定）の磁気モーメント単位を定義する基礎となります。詳細については、 電子磁気モーメントとボーア磁子を参照してください。

基本的に、あらゆるシステムの磁気モーメントへの寄与は、1)電流などの電荷の運動、および 2)電子などの素粒子のスピンによる固有磁性の 2 種類の原因から生じます。^{[引用が必要]}

第一種のソースによる寄与は、システム内のすべての電流の分布（または、すべての電荷とその速度の分布）を知ることで、以下の式を使用して計算できます。

粒子スピンによる寄与は、各素粒子の固有磁気モーメントの大きさの合計であり、固定された数値で、実験的に非常に正確に測定されることが多い。例えば、電子の磁気モーメントは次のように測定される。−9.284 764 × 10 ⁻²⁴  J/T。^[17]あらゆる素粒子の磁気モーメントの方向は、そのスピン方向によって完全に決定され、負の値はあらゆる電子の磁気モーメントがそのスピンと反平行であることを示します。

あらゆるシステムの正味磁気モーメントは、 1 種類または両方の種類のソースからの寄与のベクトル合計です。たとえば、水素 1 (最も軽い水素同位体で、陽子と電子で構成されています) の原子の磁気モーメントは、次の寄与のベクトル合計です。

1. 電子の固有モーメント、
2. 陽子の周りの電子の軌道運動、
3. 陽子の固有モーメント。

同様に、棒磁石の磁気モーメントは、磁石の材料の不対電子の固有磁気モーメントと軌道磁気モーメント、および核磁気モーメント を含む寄与磁気モーメントの合計です。

原子の場合、個々の電子スピンを加算して全スピンを求め、個々の軌道角運動量を加算して全軌道角運動量を求める。次に、これら 2 つを角運動量結合を使用して加算して全角運動量を求める。核磁気モーメントを持たない原子の場合、原子双極子モーメントの大きさは^[18]となり 、ここでjは全角運動量量子数、g _Jはランデg因子、μ _Bはボーア磁子である。この磁気モーメントの磁場方向の成分は^{[19]となる。}${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\text{atom}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\text{atom}}=g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\sqrt {j\,(j+1)\,}}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{{\text{atom}},z}=-m\,g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,.}$$

負の符号は、電子が負の電荷を持っているために発生します。

整数m（モーメントと混同しないように）は 磁気量子数または赤道量子数と呼ばれ、 2j +1個の値のいずれかを取ることができる：^[20]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ $${\displaystyle -j,\ -(j-1),\ \cdots ,\ -1,\ 0,\ +1,\ \cdots ,\ +(j-1),\ +j~.}$$

角運動量のため、磁場中の磁気双極子のダイナミクスは、電場中の電気双極子のダイナミクスとは異なります。磁場は磁気双極子にトルクを及ぼし、磁場と整列する傾向があります。しかし、トルクは角運動量の変化率に比例するため、歳差運動が発生し、スピンの方向が変わります。この動作は、ランダウ・リフシッツ・ギルバート方程式によって説明されます。^{[21] [22]} ここで、γは磁気回転比、mは磁気モーメント、λは減衰係数、H _effは有効磁場（外部磁場と自己誘導磁場を加えたもの）です。最初の項は有効磁場を中心としたモーメントの歳差運動を説明し、2 番目の項は周囲との相互作用によって引き起こされるエネルギーの散逸に関連する減衰項です。 $${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma m}}\mathbf {m} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}}$$

電子や多くの素粒子にも固有の磁気モーメントがあり、その説明には量子力学的処理が必要であり、電子磁気モーメントの記事で説明されているように、粒子の固有の角運動量に関係しています。これらの固有の磁気モーメントが、磁気の巨視的効果や、電子常磁性共鳴などの他の現象を引き起こします。^[要出典]

電子の磁気モーメントは、 μ _Bがボーア磁子、Sが電子スピン、g因子g _Sがディラックの理論によれば 2 であるということです が、量子電気力学効果により、実際は若干大きくなります。$${\displaystyle \mathbf {m} _{\text{S}}=-{\frac {g_{\text{S}}\mu _{\text{B}}\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ 2.002 319 304 36。2からの偏差は異常磁気双極子モーメントとして知られています。

ここでも、 m は負の定数にスピンを掛けた値であり、電子の磁気モーメントはスピンと反平行であることに注意することが重要です。これは、次のような古典的な図で理解できます。スピン角運動量が、ある軸の周りを回転する電子質量によって生成されると想像すると、この回転によって生成される電流は、電子の負電荷のため、反対方向に循環します。このような電流ループは、スピンと反平行な磁気モーメントを生成します。したがって、陽電子 (電子の反粒子) の場合、磁気モーメントはそのスピンと平行です。

原子核系は、陽子と中性子などの核子からなる複雑な物理系です。核子の量子力学的特性には、スピンなどがあります。原子核の電磁モーメントは個々の核子のスピンに依存するため、これらの特性は原子核モーメント、より具体的には核磁気双極子モーメントの測定によって調べることができます。

ほとんどの一般的な原子核は基底状態で存在しますが、一部の同位体の原子核は長寿命の励起状態を持ちます。特定の同位体の原子核の各エネルギー状態は、明確に定義された磁気双極子モーメントによって特徴付けられ、その大きさは固定された数値であり、多くの場合、実験的に非常に正確に測定されます。この数値は核子からの個々の寄与に非常に敏感であり、その値を測定または予測すると、原子核の波動関数の内容に関する重要な情報が明らかになります。磁気双極子モーメントの値を予測する理論モデルがいくつかあり、原子核チャートに沿った原子核の測定を行うことを目的とした実験手法も多数あります。

あらゆる分子は明確に定義された磁気モーメントの大きさを持ち、それは分子のエネルギー状態に依存する場合があります。通常、分子の全体的な磁気モーメントは、典型的な強さの順に、以下の寄与の組み合わせです。

• 不対電子スピンによる磁気モーメント（常磁性寄与）
• 電子の軌道運動。基底状態では外部磁場に比例することが多い（反磁性寄与）
• 核スピンの合成磁気モーメント。これは核スピンの構成によって決まります。

• 二酸素分子 O ₂は、最外殻の 2 つの電子の不対スピンにより、強い常磁性を示します。
• 二酸化炭素分子CO _{2 は}、主に反磁性を示します。反磁性とは、電子軌道の磁気モーメントが非常に弱く、外部磁場に比例する性質です。¹³ C や¹⁷ Oなどの磁性同位体の核磁性は、分子の磁気モーメントに寄与します。
• 弱い（またはゼロの）磁場内の二水素分子H _{2 は核磁性を示し、}パラ核スピン構成またはオルト核スピン構成をとることができます。
• 多くの遷移金属錯体は磁性を有する。スピンのみの式は第一列遷移金属の高スピン錯体に対する良い第一近似である。^[23]

原子核物理学では、ギリシャ文字μ は磁気モーメントの大きさを表し、多くの場合ボーア磁子または核磁子で測定され、粒子の固有スピンおよび/またはシステム内の粒子の軌道運動に関連付けられます。いくつかの粒子の固有磁気モーメントの値は、次の表に示されています。

• 桁数（磁気モーメント）
• モーメント（物理学）
• 電気双極子モーメント
• トロイダル双極子モーメント
• 磁化率
• 軌道磁化
• 磁気双極子相互作用

• Bowtell, Richard (2009)。「μ – 磁気モーメント」。60のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran氏による。