ポアソン点過程

ポアソン点過程はポアソン分布によって特徴づけられる。ポアソン分布は確率変数の確率分布である。${\textstyle N}$（ポアソン確率変数と呼ばれる）確率が${\displaystyle \textstyle N}$等しい${\displaystyle \textstyle n}$次のように与えられます。

$\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

どこ${\textstyle n!}$階乗を表し、パラメータは${\textstyle \Lambda }$分布の形状を決定します。（実際には、${\textstyle \Lambda }$期待値に等しい${\textstyle N}$）

定義上、ポアソン点過程は、その過程の基礎となる空間の有界領域内の点の数がポアソン分布に従う確率変数であるという性質を持つ。^{[ 36 ]}

基となる空間の、互いに素で境界のある部分領域の集合を考えます。定義により、各境界のある部分領域におけるポアソン点過程の点の数は、他のすべての部分領域とは完全に独立しています。

この性質は、完全ランダム性、 完全独立性^{[ 38 ]}、独立散乱^{[ 39 ] [ 40 ]}など、いくつかの名前で知られており、すべてのポアソン点過程に共通しています。言い換えれば、異なる領域と点の間には相互作用がなく、一般的に^{[ 41 ]} 、これがポアソン過程が純粋または完全にランダムな過程と呼ばれる理由です。^{[ 38 ]}

正の半直線上で考えると、均質ポアソン点過程は、確率過程の一種である計数過程として定義でき、次のように表すことができる。${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$^{[ 29 ] [ 32 ]}カウントプロセスは、時刻までに発生した出来事またはイベントの総数を表します。${\textstyle t}$計数過程は、レートが均一なポアソン計数過程である。${\textstyle \lambda >0}$以下の３つの特性を持つ場合：^{[ 29 ] [ 32 ]}

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• 独立増分を持ち、
• 長さの任意の区間内のイベント（またはポイント）の数${\textstyle t}$は、パラメータ（または平均）を持つポアソン確率変数です。${\textstyle \lambda t}$。

最後の性質は以下を意味する。

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

言い換えれば、確率変数の確率は${\textstyle N(t)}$等しい${\textstyle n}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

ポアソン計数過程は、計数過程の事象間の時間差が平均 の指数変数であると述べることによっても定義できます。${\textstyle 1/\lambda }$[ ^{45 ]} イベントまたは到着間の時間差は、 ^到着間隔^{[ 46 ]}または発生間隔時間として知られています。^{[ 45 ]}

点過程として解釈すると、ポアソン点過程は、区間内の過程の点の数を考慮することで実数直線上で定義できる。${\textstyle (a,b]}$パラメータを持つ実数直線上の同次ポアソン点過程の場合${\textstyle \lambda >0}$このランダムな数の点の確率は、ここで次のように表されます。${\textstyle N(a,b]}$ある自然数に等しい${\textstyle n}$は次のように与えられる：^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (ba)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (ba)},}$

ある正の整数に対して${\textstyle k}$均質ポアソン点過程は、次の有限次元分布を持つ：^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

実際の数字は${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$。

言い換えると、${\textstyle N(a,b]}$は平均がポアソン分布に従う確率変数である。${\textstyle \lambda (ba)}$、 どこ${\textstyle a\leq b}$さらに、例えば、互いに素な2つの区間内の点の数、${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$そして${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$これらは互いに独立しており、これは任意の有限個の互いに素な区間にまで及ぶ。^{[ 47 ]}待ち行列理論の文脈では、ある点が（区間内に）存在することをイベントと考えることができるが、これは確率論におけるイベントという言葉とは異なる。 ^{[ b ]} したがって、${\textstyle \lambda }$は単位時間あたりに発生する到着数の期待値です。 ^{[ 32 ]}

空間 ポアソン過程は、平面上で定義されたポアソン点過程である。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$^{[ 57 ] [ 64 ]}数学的な定義では、まず有界な開領域または閉領域（より正確にはボレル可測領域）を考える。${\textstyle B}$平面の。点過程の点の数${\displaystyle \textstyle N}$この地域に存在する${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$は確率変数であり、 で表される。${\displaystyle \textstyle N(B)}$点がパラメータを持つ均質なポアソン過程に属する場合${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$すると、${\displaystyle \textstyle n}$存在するポイント${\displaystyle \textstyle B}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

どこ${\displaystyle \textstyle |B|}$の領域を表します${\displaystyle \textstyle B}$。

ある有限整数に対して${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$まず、互いに素な有界ボレル（可測）集合の集合を考えることで、同次ポアソン点過程の有限次元分布を与えることができる。${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$点過程の点の数 ${\displaystyle \textstyle N}$存在する${\displaystyle \textstyle B_{i}}$次のように書くことができます${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$パラメータを持つ同次ポアソン点過程${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$有限次元分布を持つ：^{[ 65 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

アプリケーション

空間ポアソン点過程は、^空間統計学[ ^{21 ] [ 22 ]} 、確率幾何学、連続体パーコレーション理論^{[ 23 ]}において重要な位置を占めています。この点過程は、アルファ粒子の検出のために開発されたモデルなど、さまざまな物理科学に応用されています。近年では、特定の無線通信ネットワークの無秩序に見える空間構成をモデル化するために頻繁に使用されています^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}。たとえば、携帯電話ネットワークのモデルでは、基地局として知られる電話ネットワーク送信機が均質なポアソン点過程に従って配置されていると仮定されています。

前述の均質ポアソン点過程は、面積の概念を（高次元の）体積に置き換えることで、直ちに高次元に拡張されます。ある有界領域に対して${\displaystyle \textstyle B}$ユークリッド空間の${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$点がパラメータを持つ均質なポアソン過程を形成する場合${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$すると、${\displaystyle \textstyle n}$存在するポイント${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

どこ${\displaystyle \textstyle |B|}$今は${\displaystyle \textstyle d}$次元体積${\displaystyle \textstyle B}$さらに、互いに素な有界ボレル集合の集合については、${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$、 させて${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$点の数を表す${\displaystyle \textstyle N}$存在する${\displaystyle \textstyle B_{i}}$すると、対応する同次ポアソン点過程はパラメータを持つ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$有限次元分布を持つ：^{[ 67 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

同次ポアソン点過程は、そのパラメータを介して基礎となる空間の位置に依存しない。${\displaystyle \textstyle \lambda }$これは、それが定常過程（並進不変）かつ等方性（回転不変）確率過程であることを意味する。^{[ 25 ]} 1次元の場合と同様に、同次点過程は、ある有界部分集合に制限される。${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$すると、定常性の定義によっては、そのプロセスはもはや定常ではなくなる。^{[ 25 ] [ 52 ]}

同次点過程が実数直線上で何らかの現象の発生を表す数学モデルとして定義される場合、実数直線上（多くの場合、時間として解釈される）におけるこれらの発生または事象の位置は一様に分布するという特徴を持つ。より具体的には、ある事象が（この過程に従って）ある区間内で発生する場合、${\displaystyle \textstyle (a,b]}$どこ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$、その位置は、その区間上で定義された一様乱数になります。^{[ 65 ]}さらに、均質点過程は、一様ポアソン点過程と呼ばれることもあります（用語を参照）。この一様性は、デカルト座標では高次元にまで拡張されますが、例えば極座標では拡張されません。^{[ 68 ] [ 69 ]}

実数直線上では、非均質または非均質ポアソン点過程の平均測度は、1次元積分で与えられる。2つの実数に対して${\displaystyle \textstyle a}$そして${\displaystyle \textstyle b}$、 どこ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$、と表記する${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$強度関数を持つ不均一ポアソン過程の点の数${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$区間内で発生する${\displaystyle \textstyle (a,b]}$確率${\displaystyle \textstyle n}$上記の区間に存在する点${\displaystyle \textstyle (a,b]}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

ここで、平均値または強度尺度は次のとおりである。

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

つまり、ランダム変数${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$は平均がポアソン分布に従う確率変数である。${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$。

1次元設定の特徴は、不均一なポアソン過程を単調変換またはマッピングによって均一なポアソン過程に変換できることであり、これは逆変換によって実現されます。${\displaystyle \textstyle \Lambda }$[ ^{70 ] [ 71 ]​}

平面上で定義された不均一ポアソン過程 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$これは空間ポアソン過程と呼ばれます^{[ 16 ]。}強度関数で定義され、その強度尺度は、ある領域で強度関数の表面積分を実行することによって得られます。^{[ 20 ] [ 74 ]}たとえば、その強度関数（デカルト座標の関数として）${\textstyle x}$そして${\displaystyle \textstyle y}$) は

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

したがって、対応する強度尺度は表面積分によって与えられる。

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

どこ${\textstyle B}$平面上の境界領域${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$。

飛行機の中で、${\textstyle \Lambda (B)}$は面積分に対応し、${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$積分は（${\textstyle d}$（次元）体積積分。

実数直線が時間として解釈される場合、不均質過程は計数過程や待ち行列理論の分野で使用されます。^{[ 72 ] [ 75 ]}不均質ポアソン点過程によって表現される、または不均質ポアソン点過程として現れる現象の例には、次のものがあります。

• サッカーの試合でゴールが決まること。^{[ 76 ]}
• 回路基板の欠陥^{[ 77 ]}

平面上では、ポアソン点過程は確率幾何学^{[ 1 ] [ 33 ]}や空間統計学^{[ 21 ] [ 22 ]}といった関連分野で重要である。この点過程の強度尺度は基となる空間の位置に依存するため、ある領域で密度が変化する現象をモデル化するために使用できる。言い換えれば、現象は位置に依存する密度を持つ点として表現できる。^{[ 20 ]}この過程はさまざまな分野で使用されており、海洋におけるサケやウミジラミの研究^{[ 78 ]} 、 林業^{[ 6 ] 、探索問題[ 79 ]}などの用途がある。

ポアソン強度関数${\textstyle \lambda (x)}$体積要素による、直感的と考えられる解釈がある^{[ 20 ]}${\textstyle \mathrm {d} x}$極めて微小な意味で：${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$は、ポアソン点過程の点が体積を持つ空間領域に存在する無限小の確率である。${\textstyle \mathrm {d} x}$所在地${\textstyle x}$[ ^{20 ]​}

例えば、実数直線上の均質なポアソン点過程が与えられた場合、幅の小さな区間内にその過程の単一点を見つける確率は${\textstyle \delta }$およそ${\textstyle \lambda \delta }$実際、このような直観は、ポアソン点過程が導入され、その分布が導出される方法の一つである。^{[ 80 ] [ 41 ] [ 81 ]}

ポアソン点過程の強度尺度が局所的に有限で拡散的（または非原子的）である場合、それは単純点過程である。単純点過程の場合、基礎となる（状態）空間内の単一の点または位置に存在する確率はゼロまたは1である。これは、ポアソン点過程の2つ（またはそれ以上）の点が基礎となる空間内で位置的に一致しない確率が1であることを意味する。^{[ 82 ] [ 18 ] [ 83 ]}

ポイント数${\textstyle N}$ここでは、ウィンドウ内で、${\textstyle W}$ポアソン乱数をシミュレートできる（擬似）乱数生成関数を使用して、シミュレーションを行う必要があります。

第２段階では、${\displaystyle \textstyle N}$ウィンドウ内のポイント${\displaystyle \textstyle W}$。

その名前にもかかわらず、ポアソン点過程は、その名の由来となった人物によって発見されたり研究されたりしたものではありません。これは、スティグラーの命名法則の例として挙げられています。^{[ 2 ] [ 3 ]}この名前は、ポアソンが二項分布の極限として導出したポアソン分布との、この過程の本質的な関係に由来しています。^{[ 88 ]}これは、合計の確率を記述します。${\displaystyle \textstyle n}$確率を伴うベルヌーイ試行${\displaystyle \textstyle p}$、しばしば、コイン投げ後の表（または裏）の数に例えられる。${\displaystyle \textstyle n}$表（または裏）が出る確率が偏ったコイン投げ${\displaystyle \textstyle p}$. ある正の定数に対して${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$、 として${\displaystyle \textstyle n}$無限大に向かって増加し、${\displaystyle \textstyle p}$ゼロに向かって減少し、${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$が固定されている場合、ポアソン分布は二項分布により近いものとなる。^{[ 89 ]}

1841年、ポアソンは二項分布を極限で研究することにより、ポアソン分布を導出した。${\displaystyle \textstyle p}$ゼロになり、${\displaystyle \textstyle n}$無限大に発散する。この分布はポアソンの著作に一度だけ登場し、^{[ 90 ]}当時はその結果はあまり知られていなかった。その後数年間、フィリップ・ルートヴィヒ・フォン・ザイデルやエルンスト・アッベなど、ポアソンを引用せずにこの分布を使用した者もいた。^{[ 91 ] [ 2 ]} 19世紀末、ラディスラウス・ボルトキエヴィチはポアソンを引用し、プロイセン軍における馬の蹴りによる死亡者数の実データを用いて、この分布への関心を再び高めた。^{[ 88 ] [ 92 ]}

ポアソン点過程の初期の使用や発見に関する主張は数多く存在する。^{[ 2 ] [ 3 ]}例えば、ポアソンが生まれる10年前の1767年にジョン・ミッチェルは、星が「単なる偶然によって散らばっている」という誤った仮定の下で、ある星が別の星の特定の領域内にある確率に興味を持ち、ポアソン分布を導出することなく、プレアデス星団の6つの最も明るい星からなる例を研究した。この研究は、サイモン・ニューカムがこの問題を研究し、1860年に二項分布の近似としてポアソン分布を計算するきっかけとなった。^{[ 3 ]}

20世紀初頭には、ポアソン過程（一次元）がさまざまな状況で独立して出現した。^{[ 2 ] [ 3 ]} 1903年、スウェーデンのフィリップ・ルンドベリは、現在では基礎的かつ先駆的と考えられている研究を含む論文を発表し、その中で均質なポアソン過程を用いて保険金請求をモデル化することを提案した。^{[ 93 ] [ 94 ]}

デンマーク のA.K.アーランは、 1909年に有限時間間隔における着信電話の数の数学的モデルを開発する際に、ポアソン分布を導出した。アーランはポアソンの以前の研究を知らず、各時間間隔に到着する電話の数は互いに独立していると仮定した。そして彼は極限ケースを発見し、それは実質的にポアソン分布を二項分布の極限として再定式化した。^{[ 2 ]}

1910年、アーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガーはアルファ粒子の計数に関する実験結果を発表した。彼らの実験的研究には、ハリー・ベイトマンによる数学的貢献があり、ベイトマンは一連の微分方程式の解としてポアソン確率を導出したが、その解はそれ以前に導出されており、ポアソン過程の独立した発見につながった。^{[ 2 ]}この後、ポアソン過程の研究と応用が数多く行われたが、その初期の歴史は複雑で、生物学者、生態学者、エンジニア、さまざまな物理学者による多数の分野におけるこの過程のさまざまな応用によって説明されている。^{[ 2 ]}

1909 年以降、ポアソン点過程の研究と応用が数多く行われたが、その初期の歴史は複雑で、生物学者、生態学者、エンジニア、物理科学に従事するその他の研究者による、この過程のさまざまな分野での応用によって説明されている。初期の結果はさまざまな言語と状況で発表され、標準的な用語と表記法は使用されていなかった。^{[ 2 ]}例えば、1922 年にスウェーデンの化学者でノーベル賞受賞者のテオドール・スヴェドベリは、空間ポアソン点過程が植物群落における植物の分布を研究するための基礎となる過程であるというモデルを提案した。^{[ 95 ]} 1930 年代初頭には多くの数学者がこの過程の研究を開始し、アンドレイ・コルモゴロフ、ウィリアム・フェラー、アレクサンドル・ヒンチンらが重要な貢献をした。^{[ 2 ] [ 96 ]}テレトラフィック工学の分野では、数学者や統計学者がポアソン過程やその他の点過程を研究し、利用した。^{[ 97 ]}

スウェーデン人のコニー・パームは、 1943年の博士論文で、ポアソン過程やその他の点過程を、時間点間の統計的または確率的依存性の観点から調べることで、一次元設定で研究した。 ^{[ 98 ] [ 97 ]}彼の研究には、点過程という用語がドイツ語でPunktprozesseとして記録された最初の例が存在する。^{[ 98 ] [ 3 ]}

ウィリアム・フェラーが1940年の論文で初めてポアソン過程と呼んだと考えられている^{[ 2 ]} 。スウェーデン人のオーヴェ・ルンドベリは1940年の博士論文でポアソン過程という用語を使用しており^{[ 3 ]} 、フェラーが影響を与えたと認めている^{[ 99 ]}が、フェラーが1940年以前にこの用語を造語したという主張もある^{[ 89 ]。}フェラーとルンドベリの両方がこの用語をよく知られているかのように使用しており、当時すでに口語で使われていたことを示唆していると指摘されている。^{[ 3 ]}フェラーは1936年から1939年までストックホルム大学でハラルド・クレーマーと共に研究を行った。ルンドベリはクレーマーの下で博士課程の学生だったが、1936年に完成した著書ではポアソン過程という用語を使用していなかったものの、その後の版では使用しており、このことからポアソン過程という用語は1936年から1939年の間にストックホルム大学で造語されたのではないかという憶測が生まれている。^{[ 3 ]}

ポアソン点過程の場合${\displaystyle \textstyle N}$強度測定付き${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ある空間で${\displaystyle X}$ラプラス汎関数は次のように与えられる。^{[ 18 ]}

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

キャンベルの定理の一つのバージョンは、ポアソン点過程のラプラス汎関数を用いるものである。

非負整数値確率変数の確率母関数は、任意の非負有界関数に関して同様に定義される確率母関数につながる。${\displaystyle \textstyle v}$の上${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$そのため${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$点過程の場合${\displaystyle \textstyle {N}}$確率生成関数は次のように定義されます。^{[ 122 ]}

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

製品は、すべてのポイントに対して実行されます。${\textstyle N}$強度測定${\displaystyle \textstyle \Lambda }$の${\displaystyle \textstyle {N}}$が局所的に有限である場合、${\textstyle G}$は、あらゆる測定可能な関数に対して明確に定義される。${\displaystyle \textstyle u}$の上${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$強度尺度を持つポアソン点過程の場合${\displaystyle \textstyle \Lambda }$生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

均質な場合、これは次のようになる。

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

強度尺度を持つ一般的なポアソン点過程の場合${\displaystyle \textstyle \Lambda }$1次モーメント尺度は強度尺度である: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

これは、一定の強度を持つ均質なポアソン点過程の場合である。${\displaystyle \textstyle \lambda }$手段：

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

どこ${\displaystyle \textstyle |B|}$は、長さ、面積、体積（またはより一般的にはルベーグ測度）である。${\displaystyle \textstyle B}$。

メッケ方程式はポアソン点過程を特徴づける。${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$すべての空間となる${\displaystyle \sigma }$-ある一般的な空間上の有限測度${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$点過程${\displaystyle \eta }$強烈に${\displaystyle \lambda }$の上${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$がポアソン点過程であるのは、すべての可測関数に対して が成り立つ場合かつその場合に限る。${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$以下のことが成り立つ

${\displaystyle E\left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int E\left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

詳細については、^{[ 123 ]を参照してください。}

強度尺度を持つ一般的なポアソン点過程の場合${\displaystyle \textstyle \Lambda }$の${\displaystyle \textstyle n}$n 番目の階乗モーメント尺度は、次の式で与えられます。^{[ 124 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

どこ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$強度尺度または一次モーメント尺度は${\displaystyle \textstyle {N}}$これは、あるボレル集合に対して、${\displaystyle \textstyle B}$は

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

均質なポアソン点過程の場合、${\displaystyle \textstyle n}$- 番目の階乗モーメント尺度は単純に次のようになります。^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

どこ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$は、長さ、面積、体積（またはより一般的にはルベーグ測度）である。${\displaystyle \textstyle B_{i}}$さらに、${\displaystyle \textstyle n}$の階乗モーメント密度は：^{[ 124 ]}

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

単純点過程は、そのボイド確率によって完全に特徴付けられます。^{[ 126 ]}言い換えれば、単純点過程の完全な情報は、そのボイド確率に完全に含まれており、2 つの単純点過程が同じボイド確率を持つのは、それらが同じ点過程である場合のみです。ポアソン過程の場合については、1 次元の同次点過程の場合の結果を発見したAlfred RényiにちなんでRényi の定理と呼ばれることがあります。^{[ 127 ]}

ある形式^{[ 127 ]}では、レニーの定理は、もし${\displaystyle \textstyle \Lambda }$拡散（または非原子）ラドン測定${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$そして${\displaystyle \textstyle N}$は、上の局所的に有限な単純点過程である。${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$任意の集合に対して${\displaystyle \textstyle A}$有限個の長方形の和集合であることから、以下のことが成り立つ。

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$、

それから${\displaystyle \textstyle N}$強度尺度を持つポアソン点過程である${\displaystyle \textstyle \Lambda }$。

ポアソン過程の場合、独立${\displaystyle \textstyle p(x)}$-間引き操作により、別のポアソン点過程が得られます。より具体的には、${\displaystyle \textstyle p(x)}$強度尺度を持つポアソン点過程に適用される間引き操作${\displaystyle \textstyle \Lambda }$除去された点の点過程を与えるが、それはポアソン点過程でもある。${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$強度測定付き${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$これは、有界ボレル集合の場合に当てはまります。${\displaystyle \textstyle B}$次のように与えられます。

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

このポアソン点過程の間引きの結果は、プレコパの定理として知られることがある。^{[ 129 ]}さらに、ポアソン点過程をランダムに間引きした後、残された点もまたポアソン点過程を形成し、その強度尺度は

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

除去された点と保持された点からそれぞれ形成される2つの独立したポアソン点過程は、互いに確率的に独立している。^{[ 128 ]}言い換えれば、ある領域に${\displaystyle \textstyle n}$（元のポアソン点過程から）点を保持した場合、これは同じ領域で削除される点のランダムな数には影響しません。 1 つのポアソン点過程から 2 つの独立したポアソン点過程をランダムに作成するこの能力は、ポアソン点過程の分割^{[ 130 ] [ 131 ]}として知られています。

点過程の可算集合が存在する場合${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$すると、それらの重ね合わせ、または集合論の言葉で言えばそれらの和集合は^{[ 132 ]}

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

また、点過程も形成します。言い換えれば、点過程のいずれかに位置する点はすべて${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$これらの点過程の重ね合わせの中にも位置づけられるだろう。${\displaystyle \textstyle {N}}$。

各ポイントがクラスタリング操作を実行するときに、${\displaystyle \textstyle x}$ある点過程の${\displaystyle \textstyle {N}}$元のプロセスが別の（場合によっては異なる）点プロセスに置き換えられます。${\displaystyle \textstyle {N}}$ポアソン点過程である場合、結果として得られる過程は${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$これはポアソンクラスター点過程と呼ばれます。

数学モデルでは、点過程の点を基礎となる数学空間上の他の場所にランダムに移動させる必要がある場合があり、これにより変位^{[ 134 ]}または並進^{[ 135 ]}として知られる点過程操作が発生します。ポアソン点過程は、例えば、植物の世代間の移動をモデル化するために使用されてきました。これは、変位定理^{[ 134 ]}により、ポアソン点過程の点のランダムな独立変位（同じ基礎空間上）が別のポアソン点過程を形成することを大まかに述べているためです。