適切な時間

計量符号の時間的慣例により、ミンコフスキー計量は次のように定義される。 $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$ そして座標は $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$ 任意のローレンツ座標系に対して。

このようなフレームでは、2 つのイベント間の微小な間隔 (ここでは時間的であると仮定) は次のように表されます。

そして、粒子の軌跡上の点を区切ります（時計を考えてみてください）。同じ間隔は、各瞬間に粒子が静止しているような座標で表すことができます。このような座標系は瞬間静止系と呼ばれ、ここでは座標で表されます。${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$各瞬間について。間隔の不変性（異なる時刻に取得された瞬間静止系はローレンツ変換によって関連付けられる）により、次のように書ける。 $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$ 瞬間静止系では、粒子または系自体が静止しているため、${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$. 区間は時間的であると仮定されるため (つまり、$ds²>0$）、上記の平方根を取ると^{[ 10 ]が得られる。}$${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$ または $$\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$τ の微分表現を考慮すると、適切な時間間隔は次のように定義されます。

ここでPは、ある初期事象からある最終事象までの世界線であり、事象の順序は、最終事象が初期事象よりも時計の時刻で後に発生するという条件によって固定されている。

(1)と再び区間の不変性を用いると、 ^{[ 11 ]と書くことができる。}

どこ $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$ は、世界線Pの任意の全単射パラメータ化で あり、 $${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$P の端点と a < b を与え、v ( t )は座標時刻tにおける座標速度、x ( t )、y ( t )、z ( t )は空間座標です。最初の式は明らかにローレンツ不変です。固有時間と固有時間間隔は定義により座標に依存しないため、これらはすべてローレンツ不変です。

t、x、y、zがパラメータλによってパラメータ化されている場合、これは次のように記述できます。 $$\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

粒子の運動が一定であれば、式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$ ここで、Δは初期事象と最終事象間の座標の変化を表す。特殊相対性理論における定義は、以下のように一般相対性理論にそのまま一般化できる。

一般相対性理論では、固有時間は次のように定義されます。局所座標x ^μを持ち、計量テンソルg _μνを備えた擬リーマン多様体の場合、時間的経路Pに沿った 2 つのイベント間の固有時間間隔Δ τ は、線積分^{[ 12 ]}によって与えられます。

この式は、当然のことながら、座標変換に対して不変である。適切な座標系を用いると、平坦な時空における特殊相対性理論の式に帰着する。

特殊相対性理論においてx ¹、x ²、x ³ = constとなるように座標を選択できるのと同様に、一般相対性理論においても同様のことが可能です。そして、これらの座標では、^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

この式は定義（2）を一般化したものであり、定義として扱うことができる。次に、区間の不変性を用いると、式（4）は、式（3）が式（2）から導かれるのと同様に、式（4）から導かれる。ただし、ここでは任意の座標変換が許容される。

双子のパラドックスのシナリオでは、慣性的にA座標(0,0,0,0)と(10年, 0, 0, 0)の間を移動する観測者Aがいるとします。これは、Aが${\displaystyle x=y=z=0}$A座標時間で10年間。2つのイベント間の Aの適切な時間間隔は次のようになります。$$\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ 年}})^{2}}}=10{\text{ 年}}.}$$

特殊相対性理論の座標系において「静止状態」にあるということは、固有時間と座標時間が等しいことを意味する。

ここで、別の観測者Bが (0,0,0,0) からx方向に5 年間A座標時間で 0.866 cの速度で移動し、(5 年、4.33 光年、0、0) に到達するとします。Bはそこで加速し、反対の空間方向にさらに 5 年間A座標時間で移動し、(10 年、0、0、0) に到達します。各行程について、適切な時間間隔はA座標を使用して計算でき、次のように与えられます。 $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

したがって、観測者B が(0,0,0,0) から (5 年、4.33 光年、0, 0) へ、そして (10 年、0, 0, 0) へ移動するの に必要な合計時間は$${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

このように、固有時間方程式には時間の遅れ効果が組み込まれていることが示される。実際、特殊相対性理論（SR）時空で速度で移動する物体の場合、${\displaystyle v}$しばらくの間${\displaystyle \Delta T}$適切な時間間隔は $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$ これはSR時間膨張の公式です。

別の慣性観測者の周りを回転する観測者は、加速座標系にいる。そのような観測者にとって、増分（$dτ$適切な時間方程式の形式と、以下に示すような、たどる経路のパラメータ化された記述が必要です。

xy平面内で座標角速度で回転する円盤上に観測者Cがいるとする。${\displaystyle \omega }$そして、円盤の中心から距離rにある観測者Cの経路は、円盤の中心がx = y = z = 0にあるとする。${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$、 どこ${\displaystyle T}$現在の座標時刻です。rと${\displaystyle \omega }$定数である、${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$そして${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$増分固有時間の公式は次のようになる。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

つまり、座標時間の間に一定の角速度ωで時空の特定の点から一定の距離rで回転する観測者にとっては${\displaystyle T_{1}}$そして${\displaystyle T_{2}}$適切な経験時間は $${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$ として${\displaystyle v=r\omega }$回転する観測者の場合。この結果は直線運動の例と同じであり、固有時間公式の積分形式の一般的な適用例を示している。

ミンコフスキー計量に対して適切な座標変換を行うと、回転円盤上の物体が同じ空間座標位置にとどまるような座標が生成されます。新しい座標は次のとおりです。 $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ そして $${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

t座標とz座標は変更されません。この新しい座標系では、増分固有時間方程式は次のようになります。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

r、θ、zが時間を通じて一定である 場合、これは次のように簡略化されます。$${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$ これは例2と同じです。

ここで、回転円盤から離れた、円盤の中心に対して慣性的に静止し、円盤から距離Rにある物体を考えます。この物体の座標運動はdθ = − ω dtで表され、これは回転する観測者から見て慣性的に静止している物体が逆回転している様子を表しています。すると、固有時間の方程式は次のようになります。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

したがって、慣性静止観測者にとっては、座標時間と固有時間は再び同じ速度で経過することがわかった。これは、相対性理論の内部自己整合性のために予想され、必要とされることである。^{[ 14 ]}

シュワルツシルト解は、増分固有時間方程式を持つ。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$ どこ

• tは地球から遠く離れていて、地球に対して慣性的に静止している時計で校正された時間です。
• rは半径座標（実質的には地球の中心からの距離）です。
• ɸ は共緯度座標であり、北極からの角度分離をラジアンで表したものです。
• θは経度座標であり、地球表面の経度に相当しますが、地球の自転とは無関係です。単位はラジアンで表されます。
• mは地球の幾何質量であり、 m = GM / c ^{2 で}ある。
  • Mは地球の質量です。
  • Gは重力定数です。

適切な時間関係の用法を示すために、ここでは地球に関するいくつかの具体例を用いる。

地球の場合、M =5.9742 × 10 ²⁴  kg、つまりm =4.4354 × 10 ⁻³  m。北極に立っているときは、${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$（つまり、地球の表面に沿って上下に移動していないということ）。この場合、シュワルツシルト解の固有時間方程式は次のようになります。${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$地球の極半径を動径座標として使用します（または${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$)、我々は次のことを発見した。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

赤道における地球の半径はr =6 378 137  m。さらに、地球の自転も考慮に入れる必要があります。これにより、観測者には角速度が与えられます。${\displaystyle d\theta /dt}$2πを地球の自転周期である恒星周期86162.4秒で割った値です。${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$適切な時間方程式は次のようになる。 $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

非相対論的な観点からすれば、これは以前の結果と同じであるはずです。この例は、地球が自転しているため、シュワルツシルト解で仮定されているような球対称ではない場合でも、固有時間方程式がどのように使用されるかを示しています。自転の影響をより正確に記述するには、カー計量を使用できます。