マヨラナ方程式

物理学において、マヨラナ方程式は相対論的な波動方程式である。これはイタリアの物理学者エットーレ・マヨラナにちなんで名付けられ、彼は1937年に、自身の反粒子であるフェルミオンを記述する手段としてこれを提唱した。^[1]この方程式に対応する粒子はマヨラナ粒子と呼ばれるが、この用語は現在ではより広い意味を持ち、自身の反粒子である（したがって電気的に中性である）あらゆる（非相対論的である可能性のある）フェルミオン粒子を指す。

質量を持つニュートリノはマヨラナ粒子によって記述されるという提案があり、これを可能にする標準モデルのさまざまな拡張があります。マヨラナ粒子に関する記事では、ニュートリノの詳細を含む実験的探索の状況を紹介しています。この記事では、主に理論の数学的展開に焦点を当てており、離散的および連続的な対称性に注目しています。離散的な対称性は、電荷共役、パリティ変換、および時間反転であり、連続的な対称性はローレンツ不変性です。

電荷共役は、マヨラナ粒子を電気的に中性であると記述できるようにする重要な対称性であるため、非常に重要な役割を果たします。特に注目すべき点は、電気的中性により、左カイラル場と右カイラル場それぞれに 1 つずつ、いくつかのグローバル位相を自由に選択できることです。これは、これらの位相に明示的な制約がなければ、マヨラナ場が自然にCP を破ることを意味します。電気的中性のもう 1 つの側面は、左カイラル場と右カイラル場に異なる質量を与えることができることです。つまり、電荷はローレンツ不変量であり、運動定数でもあります。一方、カイラリティはローレンツ不変量ですが、質量のある場の運動定数ではありません。したがって、電気的に中性な場は、荷電場よりも制約が少なくなります。電荷共役では、2 つの自由なグローバル位相が質量項に現れるため (ローレンツ不変であるため)、マヨラナ質量は単一の数値ではなく複素行列で記述されます。つまり、マヨラナ方程式の離散対称性は、電荷対称性がこれらの自由度を制約し除去する ディラック方程式の離散対称性よりもかなり複雑です。${\displaystyle U(1)}$

マヨラナ方程式はいくつかの異なる形式で表すことができます。

• ディラック方程式は、ディラック演算子が純粋にエルミートになるように記述されるため、純粋に実数の解が得られます。
• 4 成分スピノルをその電荷共役に関連付ける演算子として。
• 複素2成分スピノルに作用する2×2微分方程式として、適切なローレンツ共変質量項を持つワイル方程式に似ている。^{[2] [3] [4] [5]}

これら 3 つの形式は同等であり、互いに導出できます。それぞれが方程式の性質についてわずかに異なる洞察を提供します。最初の形式では、純粋に実数の解が見つかるということを強調します。2 番目の形式では、電荷共役の役割を明確にします。3 番目の形式では、ローレンツ群の表現理論との最も直接的な接点が提供されます。

従来の出発点は、「ディラック方程式は、ガンマ行列をマヨラナ表現でとったときにエルミート形式で記述できる」と述べることです。ディラック方程式は次のように記述されます^[6]

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

は純粋に実数の 4×4 対称行列であり、は純粋に虚数の歪対称行列です。これは、演算子 (括弧内の部分) がエルミートであることを保証するために必要なことです。この場合、方程式の純粋に実数の 4 スピノル解が見つかります。これらはマヨラナ スピノルです。 ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle \beta}$

マヨラナ方程式は

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

導関数演算子はファインマンスラッシュ記法で書かれ、ガンマ行列とスピノル成分の総和を含む。スピノルはの電荷共役である。構造上、電荷共役は必然的に次のように与えられる。 ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big }}}}$${\textstyle \,\psi _{c}\,}$${\textstyle \,\psi \,.}$

${\displaystyle \psi_{c}=\eta_{c}\,C\,{\overline {\psi}}^{\mathsf {T}}~}$

ここで、は転置、は慣例的に とみなされる任意の位相因子、は 4×4 行列、つまり電荷共役行列です。 の行列表現は、ガンマ行列の表現の選択に依存します。慣例により、共役スピノルは次のように記述されます。 ${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

電荷共役行列^[a]からは、いくつかの代数的恒等式が導かれる。ディラック、ワイル、マヨラナ表現を含むガンマ行列の任意の表現において、となり、したがって次のように書くことができる。 ${\displaystyle C.}$${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

ここで、はの複素共役である。電荷共役行列には、次のような性質もある。 ${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$${\displaystyle \,\psi \,.}$${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

すべての表現（ディラック、カイラル、マヨラナ）で。これとかなりの代数から、同等の方程式を得ることができます。

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

電荷共役としての行列の物理的解釈に関する詳細な議論は、電荷共役に関する記事で見つけることができます。簡単に言うと、電荷共役は粒子をその反粒子にマッピングすることに関係しており、これには電荷の反転などが含まれます。電荷共役演算子の「電荷共役」として定義されていますが、固有値は 1 つではなく 2 つあります。これにより、2 番目のスピノルである ELKO スピノルを定義できます。これについては、以下で詳しく説明します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi ^{c}}$${\displaystyle \psi ,}$

マヨラナ演算子は次のように定義される 。${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

どこ

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

は、の2×2単位行列と のパウリ行列（マイナス）を成分とするベクトルです。は任意の位相因子で、通常は1とされます。は、ローレンツ群の二重被覆であるシンプレクティック群のシンプレクティック形式として解釈できる2×2行列です。 ${\displaystyle \,I_{2}\,}$${\displaystyle \,\mu =0\,}$${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$${\displaystyle \,\eta \,}$${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$${\displaystyle \,\eta =1\,.}$${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

これは、虚数単位「i」（すなわち、に対して および）と同型であり、転置行列は複素共役の類似物です。 ${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$

最後に、は複素共役を取るための簡潔な注意書きです。左手複素数値2成分スピノルのマヨラナ方程式は、 ${\displaystyle \,K\,}$${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

の複素共役で表されます。このセクション全体では、下付き文字L は左手系のカイラルスピノルを表すために使用されます。パリティ変換により、これは右手系のスピノルに変換できるため、方程式の右手形式も得られます。これは 4 成分方程式にも適用されます。詳細は以下で説明します。 ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$

ここでは、マヨラナ方程式のいくつかの特性、その解、およびそのラグランジアン定式化についてまとめます。

• マヨラナ方程式は、4 成分スピノル、ガンマ行列、質量項を含む点でディラック方程式に似ていますが、スピノルの電荷共役を 含みます。対照的に、ワイル方程式は質量のない 2 成分スピノルを対象としています。${\textstyle \psi _{c}}$ ${\textstyle \psi }$
• マヨラナ方程式の解は、電気的に中性な粒子がそれ自身の反粒子であると解釈できます。慣例により、電荷共役演算子は粒子をその反粒子に導くため、マヨラナ スピノルは慣例的に次の解として定義されます。つまり、マヨラナ スピノルは「それ自身の反粒子」です。電荷共役が電気的に荷電した粒子を反対の電荷を持つ反粒子に導く限り、マヨラナ スピノルは電気的に中性であると結論付けなければなりません。${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$
• マヨラナ方程式はローレンツ共変であり、そのスピノルからさまざまなローレンツスカラーを構築できます。これにより、マヨラナ場に対していくつかの異なるラグランジアンを構築できます。
• ラグランジアンが 2 つの成分からなる左および右のカイラルスピノルで表現される場合、左および右のマヨラナ質量項とディラック質量項の 3 つの異なる質量項が含まれることがあります。これらは物理的には 2 つの異なる質量として現れます。これは、標準モデルに左手結合した低質量ニュートリノを記述するためのシーソー機構の重要なアイデアであり、右手成分はGUT スケールの質量のステライルニュートリノに対応します。
• C、P、T共役の離散対称性は、電荷共役演算子の自由に選択された位相因子によって厳密に制御されます。これは、質量項の明確な複素位相として現れます。これにより、 CP 対称ラグランジアンと CP を破るラグランジアンの両方を記述できます。
• マヨラナ場はCPT 不変ですが、その不変性は、ある意味では荷電粒子の場合よりも「自由」です。これは、電荷が必然的にローレンツ不変な特性であるため、荷電場に対して制約があるためです。中性マヨラナ場はこのように制約されず、混合できます。

マヨラナ方程式は、実数4成分スピノルと複素数2成分スピノルの両方で記述できます。どちらも、適切なローレンツ共変質量項を追加することで、ワイル方程式から構築できます。 ^[7]このセクションでは、明示的な構築と説明を提供します。

ワイル方程式は、質量のない複素数値2成分スピノルの時間発展を記述する。慣例的に次のように記述される^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

明確に書いてあるのは

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

パウリの4元ベクトルは

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

つまり、μ = 0のときは2 × 2単位行列、 μ = 1, 2, 3のときはパウリ行列を成分とするベクトルである。パリティ変換により、双対方程式が得られる。 ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

ここで です。これらはワイル方程式の 2 つの異なる形式であり、その解も異なります。解は左巻きと右巻きのヘリシティ、つまりカイラリティを持つことがわかります。これら 2 つの異なる形式を明示的にラベル付けするのが慣例です。次のようにします。 ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

ワイル方程式は質量のない粒子を記述します。マヨラナ方程式は質量項を追加します。質量はローレンツ不変な方法で導入する必要があります。これは、特殊線型群が シンプレクティック群に同型であることを観察することによって達成されます。これらのグループは両方ともローレンツ群の二重被覆です。微分項のローレンツ不変性(ワイル方程式から) は、慣例的にグループのスピノルに対する作用の観点から表現されますが、質量項のローレンツ不変性には、シンプレクティック群の定義関係を呼び出す必要があります。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

ローレンツ群の二重被覆は次のように与えられる。

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

ここで、およびはエルミート転置です。これは、ローレンツ変換による微分の変換特性をスピノルの変換特性に関連付けるために使用されます。 ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle S^{\dagger }}$${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

シンプレクティック群は、次を満たす 複素2×2行列全体の集合として定義されます。${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

どこ

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

は歪対称行列である。これは、任意の2ベクトルのペアを次のように 書き表すと、シンプレクティック双線形形式を定義するために使用される。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

シンプレクティック積は

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

ここで転置はである。 この形式はローレンツ変換に対して不変であり、 ${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$${\displaystyle u~.}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

歪んだ行列はパウリ行列から転置を引いたものになります。

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

に対して、スキュー行列は、パリティ変換と2スピノルに作用する転置の積として解釈できる。しかし、後のセクションで強調するように、それはまた、電荷共役演算子の成分の1つとして解釈することができ、もう1つの成分は複素共役である。これをローレンツ変換に適用すると、次のようになる。 ${\displaystyle k=1,2,3.}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

これら 2 つのバリアントは、それぞれ左スピノルと右スピノルに作用する微分の共分散特性を記述します。

ローレンツ変換 の下では、微分項は次のように変換される。 ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

右手系は次のように変換されるものとする。

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

同様に、左手微分は次のように変換される。

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

左巻きスピノルは次のように変換される。

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

右手系スピノル場の複素共役は次のように変換さ れる。

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

の定義関係は次のように書き直すことができる 。このことから、歪複素体は次の式で変換されることがわかる。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

これは微分共分散特性と完全に一致する。任意の複素位相因子を とすると、線形結合 ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

は共変的に変換される。これをゼロにすると、右手系場の複素2成分マヨラナ方程式が得られる。同様に、左カイラルマヨラナ方程式（任意の位相因子を含む）は ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

左カイラル版と右カイラル版はパリティ変換によって関連付けられます。以下に示すように、これらはの場合にのみクライン・ゴードン演算子に等しくなります。歪んだ複素共役はの電荷共役形式として認識できます。これは以下でより詳細に説明されています。したがって、マヨラナ方程式はスピノルをその電荷共役形式に関連付ける方程式として読み取ることができます。 ${\displaystyle \eta =\zeta .}$${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$${\displaystyle \psi ~;}$

一対の演算子、マヨラナ演算子を定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

ここで、は複素共役を取るための簡略な注意書きである。ローレンツ変換では、これらは次のように変換される。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

一方、ワイルスピノルは次のように変換される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

上と同様である。したがって、これらの組み合わせはローレンツ共変であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

複素 2 スピノルのマヨラナ方程式のペアとして。

積と積はともにローレンツ共変である。積は明示的に ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

これを検証するには、 および であることを念頭に置く必要があります。が成立する場合、 RHS はKlein–Gordon 演算子に簡約されます。つまり、 これら 2 つのマヨラナ演算子は、Klein–Gordon 演算子の「平方根」です。 ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle Ki=-iK~.}$${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

マヨラナ方程式の実数4成分バージョンは、複素2成分方程式から次のように構築できます。上記のように 満たされる複素場が与えられた場合、定義します。${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle \chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}}$

上記の代数的機構を使えば、次のことを示すのは難しくない。

${\displaystyle \left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0}$

共役演算子の定義

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

4成分のマヨラナ方程式は

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0}$

これを詳しく書くと、

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}}$

左側に掛け算すると

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}}$

上記を行列形式にすると、カイラル表現のガンマ行列が認識できる。これは

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

つまり、

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

これを4次元スピノルに適用すると

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

そしてスピノルは質量項の固有状態であることが分かる。 ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

そして、この特定のスピノルに対して、4成分マヨラナ方程式はディラック方程式に帰着する。

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0}$

歪んだ行列は、電荷共役演算子（ワイル基底）と同一視できる。具体的には、

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

任意の4成分スピノルを与えられた場合、その電荷共役は ${\displaystyle \psi ~,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

通常の4×4行列で、ガンマ行列に関する記事で明示的に与えられた形式を持つ。結論として、4成分マヨラナ方程式は次のように書くことができる。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}}$

電荷共役演算子は、4 成分バージョンのマヨラナ方程式に直接現れます。スピノル場がそれ自身の電荷共役である場合、つまり である場合、マヨラナ方程式はディラック方程式に簡約され、どの解も電気的に中性な場を記述するものと解釈できます。ただし、電荷共役演算子には 1 つではなく 2 つの異なる固有状態があり、そのうちの 1 つは ELKO スピノルです。これはマヨラナ方程式を解くのではなく、その符号を反転したバージョンを解きます。 ${\displaystyle \psi ^{c}=\psi ,}$

4成分スピノルの 電荷共役演算子は次のように定義される。${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

この演算子の電荷に関する物理的解釈の一般的な議論は、電荷共役に関する記事で与えられている。追加の議論は、Bjorken & Drell ^[11]または Itzykson & Zuber ^[c]によって提供されている。より抽象的な言葉で言えば、これは電磁場の結合の複素共役のスピノル等価物である。これは次のように見ることができる。単一の実スカラー場がある場合、それは電磁気と結合できない。しかし、複素数として配置された一対の実スカラー場は結合できる。スカラー場の場合、電荷共役は複素共役と同じである。ゲージ理論の離散対称性は、次の「自明な」観察から導かれる。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle *:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }}$

は、の自己同型である。スピノル場の場合、状況はより複雑である。しかし、大まかに言えば、マヨラナ場は電気的に中性であり、2つのマヨラナ場を適切に組み合わせると、1つの電荷を帯びたディラック場として解釈できると言える。上記の電荷共役演算子は、の自己同型に対応する。${\displaystyle U(1).}$${\displaystyle U(1).}$

上記において、は 4×4 行列であり、ガンマ行列に関する記事で与えられている。その明示的な形式は表現に依存する。演算子はの複素共役を取るため 4×4 行列として記述することはできず、複素共役は複素 4×4 行列では達成できない。これは、純粋に実数 8 成分スピノルとして記述すると仮定すると、実数 8×8 行列として記述することができる。を複素共役とすると、4 成分スピノルについて次のように記述できる。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(x+iy)=x-iy,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK}$

であること、またそれが証明するのは難しくありません。これは、次のように書ける2つの固有値を持つ 最初の恒等式から導かれます。${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.}$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$

固有ベクトルはワイル基底で簡単に見つけられる。上記から、この基底では、明示的に ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

そしてこうして

${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

どちらの固有ベクトルも明らかにマヨラナ方程式の解です。しかし、正の固有ベクトルだけがディラック方程式の解です。

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}}$

負の固有ベクトルは「機能しません」。ディラック質量項の符号が間違っています。ただし、それでもクライン・ゴードン方程式は解けます。負の固有ベクトルは ELKO スピノルと呼ばれます。

パリティの下では、左手スピノルは右手スピノルに変換される。電荷共役演算子の2つの固有ベクトルは、再びワイル基底で、

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

以前と同様に、どちらも4成分マヨラナ方程式を解きますが、ディラック方程式も解くのは1つだけです。これはパリティ双対4成分方程式を構築することで示されます。これは次の形式になります。

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

どこ

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

2成分スピノルが与えられ、その共役を次のように定義する。そしてであることは簡単に証明できる。したがって、ならば、また、したがって、 ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

または同等

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

これは、そしてなので、これは次のディラック方程式に帰着する。 ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

結論として、繰り返しになりますが、マヨラナ方程式は

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

この方程式には4つの同値でない線形独立な解があり、そのうちディラック方程式の解でもあるのは2つだけです。${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

解を書くための便利な出発点の1つは、スピノルの静止フレームの方法で作業することです。量子ハミルトニアンを通常の符号規則で書くと、マヨラナ方程式は次のようになります。 ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

カイラル（ワイル）基底では、

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

パウリベクトルと等価である。ここでの符号規則はガンマ行列の項と一致している。上記の正電荷共役固有状態を代入すると、2成分スピノルの式が得られる。 ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

同様に

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

これら 2 つは実際には同じ方程式であり、パウリ行列の複素共役が得られる ことに注目することで確認できます。${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

平面波解はエネルギー運動量に対して展開することができ、静止系で最も簡単に記述できる。スピンアップ静止系解は ${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

一方、スピンダウンソリューションは

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

これらが正しく解釈されているかどうかは、ディラック基底でディラックスピノルとして再表現することでわかる。この場合、それらは次の形になる。

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

これらは静止フレームのスピノルです。これらは、ディラック方程式の正のエネルギー解と負のエネルギー解の両方の線形結合として見ることができます。これらは 2 つの唯一の解です。マヨラナ方程式には 2 つの線形独立解しかありませんが、ディラック方程式には 4 つの解があります。ディラック方程式の自由度が 2 倍になるのは、ディラック スピノルが電荷を運ぶためです。

一般的な運動量系では、マヨラナスピノルは次のように書ける。

マヨラナ方程式に と の両方が出現することは、粒子が自身の反粒子と反対の電荷を持つため、電荷保存則に違反することなく場を荷電電磁場に結合することはできないことを意味します。この制限を満たすには、 を電気的に中性であると見なす必要があります。これは、さらに詳しく説明できます。 ${\textstyle \psi }$${\textstyle \psi _{c}}$${\textstyle \psi }$${\textstyle \psi }$

ディラック方程式は、ガンマ行列をマヨラナ表現でとると、純粋に実数形式で記述できる。ディラック方程式は次のように記述できる。 ^[d]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

は純粋に実対称行列であり、純粋に虚数の歪対称行列です。この場合、方程式の純粋に実数の解が見つかります。これらはマヨラナ スピノルです。ローレンツ変換の作用により、これらは (純粋に実数の)スピン グループの下で変換されます。これは、複素スピン グループの下でのみ共変であるディラック スピノルとは対照的です。複素スピン グループが電磁ポテンシャルをエンコードし、実スピン グループがエンコードしないと解釈されます。 ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3).}$${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$

これは別の言い方でも言えます。ディラック方程式とディラック スピノルには、電磁相互作用を自然にエンコードするのに十分なゲージ自由度が含まれています。これは、ディラック方程式に電磁ポテンシャルを非常に簡単に追加することができ、方程式またはスピノルに追加の変更や拡張を必要とせずに済むことに注目するとわかります。この余分な自由度の位置は、電荷共役演算子によって正確に特定され、マヨラナ制約を課すことで、この余分な自由度が除去されます。除去されると、電磁ポテンシャルとの結合は不可能になるため、マヨラナ スピノルは必然的に電気的に中性になります。電磁結合は、複素数値の位相因子を戻して、この位相因子を電磁ポテンシャルと結合することによってのみ得られます。 ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$

上記は、状況を空間次元で調べることでさらに明確化できます。この場合、複素スピン群は円による二重被覆を持ちます。これは、 が一般化ローレンツ変換をエンコードしていることを意味し(当然ですが)、円はゲージ群の電荷への作用と同一視できます。つまり、ディラック スピノルへの複素スピン群のゲージ群作用は、純粋に実数のローレンツ部分と電磁気的部分に分割できます。これは、非平坦 (非ミンコフスキー平坦)スピン多様体でさらに詳しく説明できます。この場合、ディラック演算子はスピノル束に作用します。異なる項に分解すると、通常の共変微分 が含まれます。ゲージ変換は、実数スピノル部分ではなく、複素数部分に結合するため、場はスピン束の複素数部分の曲率から直接生じることがわかります。この場が電磁ポテンシャルに対応していることは、例えば、ディラック演算子の二乗がラプラシアンとスカラー曲率（スピノル場が位置する基礎となる多様体の曲率）と（電磁）場の強度の和であることに注目すればわかる。マヨラナの場合、マヨラナスピノルに作用するのはローレンツ変換のみであり、複素化は役割を果たさない。これらのトピックの詳細な扱いはJost ^[12]で見つけることができ、このケースはBleeker ^[13]で明確に説明されている。残念ながら、どちらのテキストもマヨラナスピノルを直接的な形で明示的に説明していない。 ${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}}$${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle d+A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle F=dA.}$${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

マヨラナ方程式の量子は、中性粒子とその中性反粒子の 2 つのクラスの粒子を許容します。頻繁に適用される補足条件は、マヨラナ スピノルに対応します。 ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$

マヨラナスピノルに対応する粒子は、上記の自己共役制約により、マヨラナ粒子として知られています。標準モデルに含まれるすべてのフェルミオンは、ニュートリノ（中性）を除いて、マヨラナフェルミオンとして除外されています（電荷がゼロではないため、それ自体の反粒子になることはできません）。

理論的には、ニュートリノはこのパターンの例外となる可能性がある。もしそうなら、ニュートリノを伴わない二重ベータ崩壊、およびレプトン数を破る一連の中間子崩壊と荷電レプトン崩壊が起こり得る。ニュートリノがマヨラナ粒子であるかどうかを調べる実験が現在いくつか行われている。^[14]

• 「現代物理学におけるマヨラナの遺産」、電子理論物理学ジャーナル (EJTP)第 3 巻、第 10 号 (2006 年 4 月)エットーレ・マヨラナ (1906-1938?) 生誕 100 周年記念特別号。ISSN 1729-5254
• Frank Wilczek、(2009)「Majorana returns」、Nature Physics Vol. 5、614-618ページ。