ババ散乱

この記事では、マンデルスタム変数は次のように定義されます。

ここで、近似は高エネルギー（相対論的）極限におけるものである。

散乱図と消滅図の両方が遷移行列要素に寄与する。陽電子の4元運動量をkとk' 、電子の4元運動量をpとp'とし、ファインマンの法則を用いると、以下の図がこれらの行列要素を与えることが示される。

2つの図の間には、相対的な符号の違いがあることに注意してください。

無偏極断面積を計算するには、入射粒子のスピン（s _e-およびs _{e+ の}可能な値）について平均し、出射粒子のスピンについて合計する必要があります。つまり、

まず、計算します。${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$:

消滅項を見つけるプロセスは上記と同様です。2 つの図は交差対称性によって関連付けられており、初期状態と最終状態の粒子は同じであるため、運動量を置換すれば十分です。

（これは ${\displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )}$ どこ${\displaystyle \theta }$（は重心系における散乱角である。）

干渉項を同様の方法で評価し、3つの項を加算すると最終結果が得られる。

${\displaystyle {\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,}$

4次元スピノルuとvの完全性関係は次のとおりである。

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m\,}$

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m\,}$

どこ

${\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,}$    （ファインマンのスラッシュ表記を参照）

${\displaystyle {\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}\,}$

ディラックのガンマ行列のトレースを簡略化するには、トレース恒等式を用いる必要がある。本稿では、以下の3つの恒等式を用いる。

1. 奇数個の積の痕跡${\displaystyle \gamma _{\mu }\,}$'sはゼロです
2. ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)=4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)\,}$

これら2つを用いると、例えば、