フェルミオン粒子を生み出す場
量子場理論 では 、 フェルミオン場は 量子 が フェルミオン である 量子場 であり 、つまり フェルミ・ディラック統計に従います。フェルミオン場は ボソン場 の 標準的な交換関係 ではなく 標準的な反交換関係に 従います 。
フェルミオン場の最も顕著な例はディラック場であり、これは スピン -1/2 のフェルミオン、すなわち 電子 、 陽子 、 クォーク などを記述する。ディラック場は、4 成分 スピノル または 2 成分ワイルスピノルのペアとして記述できる。仮想 ニュートラリーノ などのスピン 1/2 マヨラナフェルミオンは 、従属 4 成分 マヨラナスピノルまたは単一の 2 成分ワイルスピノルとして記述できる。 ニュートリノ がマヨラナフェルミオンなのか ディラックフェルミオンな のかはわかっていないが、 ニュートリノなしの二重ベータ崩壊を 実験的に観測すれば 、この疑問は解決されるだろう。
基本的なプロパティ 自由な（相互作用しない）フェルミオン場は、 標準的な反交換関係 に従います。つまり、 ボゾン力学または標準量子力学の交換子 [ a 、 b ] = ab − ba ではなく、 反交換子 { a 、 b } = ab + ba を伴います。これらの関係は、 相互作用の描像 における相互作用するフェルミオン場にも当てはまり、その場合、場は自由であるかのように時間とともに変化し、相互作用の影響は状態の発展にエンコードされます。
これらの反交換関係は、場の量子に対するフェルミ-ディラック統計を意味します。また、 パウリの排他原理 も導きます。つまり、2 つのフェルミ粒子は同時に同じ状態を占めることはできません。
ディラック場 スピン1/2のフェルミオン場の代表的な例は ディラック場 （ ポール・ディラック にちなんで名付けられた）であり、 と表記される 。自由スピン1/2の粒子の運動方程式は ディラック方程式 である。
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
（
私
γ
μ
∂
μ
− メートル
）
ψ （ x ） = 0.
{\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}
ここで、 は ガンマ行列 、 は 質量です。 この方程式の最も単純な解は平面波解、 および です 。これらの 平面波 解は のフーリエ成分の基底を形成し 、次のように波動関数の一般的な展開が可能になります。
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
メートル
{\displaystyle m}
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
あなた （ p ）
e
− 私 p ⋅ x
{\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}
ヴ （ p ）
e
私 p ⋅ x
{\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
ψ
α
（ x ） = ∫
d
3
p
（ 2 π
）
3
1
2
え
p
∑
s
（
1つの
p
s
あなた
α
s
（ p ）
e
− 私 p ⋅ x
+
b
p
s †
ヴ
α
s
（ p ）
e
私 p ⋅ x
）
。
{\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_ {p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}
u と v は スピノルであり、スピン、 s 、スピノル指数でラベル付けされます 。電子の場合、スピン 1/2 粒子は s = +1/2 または s = −1/2 です。エネルギー係数は、ローレンツ不変積分測度を持つことの結果です。 第 2 量子化 では、 は演算子に昇格されるため、そのフーリエ モードの係数も演算子である必要があります。したがって、 および は演算子です。これらの演算子の特性は、フィールドの特性から識別できます。 およびは 反交換関係に従います。
α ∈ { 0 、 1 、 2 、 3 }
{\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
1つの
p
s
{\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}
b
p
s †
{\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
ψ （ ええ
）
†
{\displaystyle \psi (y)^{\ダガー }}
{
ψ
α
（
x
） 、
ψ
β
†
（
ええ
）
}
=
δ
（ 3 ）
（
x
−
ええ
）
δ
α β
。
{\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{ (3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}
演算子をフェルミ・ディラック統計 と互換性のあるものにするために、 反交換子関係（ ボソン場 の場合の 交換関係 とは対照的）を課します。および の展開を入れることで 、係数の反交換関係を計算できます。
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
ψ （ ええ ）
{\displaystyle \psi (y)}
{
1つの
p
r
、
1つの
q
s †
}
=
{
b
p
r
、
b
q
s †
}
= （ 2 π
）
3
δ
3
（
p
−
q
）
δ
r s
、
{\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}
非相対論的な消滅演算子と生成演算子およびその交換子に類似した方法で、これらの代数は、運動量 p とスピン sのフェルミオンを作成し 、運動量 q とスピン r の反フェルミオンを作成するという物理的な解釈につながります。 一般的なフィールドは、 フェルミオンと反フェルミオンを作成するためのすべての可能なスピンと運動量の重み付き（エネルギー係数による）合計であることがわかります。その共役フィールド は その逆で、フェルミオンと反フェルミオンを消滅させるためのすべての可能なスピンと運動量の重み付き合計です。
1つの
p
s †
{\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}
b
q
r †
{\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
ψ ¯
=
d e ふ
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
場のモードを理解し、共役場を定義すると、フェルミオン場のローレンツ不変量を構築できます。最も単純なのは量 です 。これにより、 を選択した理由が 明らかになります。これは、 に対する一般的なローレンツ変換が ユニタリで はない ため、量が そのような変換で不変にならないためです。そのため、 を含めることでこれを修正します。 フェルミオン場から構築できる、全体の共役を除く その他のゼロでない ローレンツ不変 量は です。
ψ ¯
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}
ψ ¯
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
ψ
{\displaystyle \psi}
ψ
†
ψ
{\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }
γ
0
{\displaystyle \gamma^{0}\,}
ψ ¯
γ
μ
∂
μ
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
これらの量の線形結合もローレンツ不変であるため、 システムの
オイラー-ラグランジュ方程式が ディラック方程式を回復するという要件によって、ディラック場の ラグランジアン密度が自然に導かれます。
ら
だ
=
ψ ¯
（
私
γ
μ
∂
μ
− メートル
）
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}
このような式はインデックスが省略されている。再導入すると完全な式は次のようになる。
ら
だ
=
ψ ¯
1つの
（
私
γ
1つの b
μ
∂
μ
− メートル
私
1つの b
）
ψ
b
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}
ハミルトニアン （ エネルギー）密度 は 、まず と呼ばれる に共役な運動量を定義することによっても構築できます。
ψ （ x ）
{\displaystyle \psi (x)}
Π （ x ） :
{\displaystyle \Pi (x):}
Π
=
d e ふ
∂
ら
だ
∂ （
∂
0
ψ ）
= 私
ψ
†
。
{\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}
のその定義では 、ハミルトニアン密度は次のようになります。
Π
{\displaystyle \Pi }
H
D
=
ψ
¯
[
−
i
γ
→
⋅
∇
→
+
m
]
ψ
,
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}
ここで、は 空間的座標の 標準 勾配 であり、は空間的 行列のベクトルです。ハミルトニアン密度が の時間微分に直接依存しないのは驚くべきことです が、表現は正しいです。
∇
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}}
γ
→
{\displaystyle {\vec {\gamma }}}
γ
{\displaystyle \gamma }
ψ
{\displaystyle \psi }
の式が与えられれば、 フェルミオン場の
ファインマン 伝播関数を構築することができます。
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
D
F
(
x
−
y
)
=
⟨
0
|
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
|
0
⟩
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }
フェルミオンの反交換性のため、マイナス符号を持つフェルミオンの
時間順序積 を定義する。
T
[
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
]
=
def
θ
(
x
0
−
y
0
)
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
−
θ
(
y
0
−
x
0
)
ψ
¯
(
y
)
ψ
(
x
)
.
{\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}
フェルミオン場の平面波展開を上記の式に代入すると、次のようになります。
D
F
(
x
−
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
e
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}
ここではファインマンのスラッシュ 記法を採用している 。この結果は、因子
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
{\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}
は、ディラック方程式でに作用する演算子の逆演算子です 。クライン・ゴルドン場のファインマン伝播関数にも同じ特性があることに注意してください。すべての合理的な観測量 (エネルギー、電荷、粒子数など) は偶数のフェルミオン場から構築されるため、光円錐の外側の時空点にある任意の 2 つの観測量間の交換関係は消滅します。基本的な量子力学からわかるように、同時に交換する 2 つの観測量は同時に測定できます。したがって、ディラック場の ローレンツ不変性 を正しく実装し、 因果関係を 保存しました。
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
相互作用を含むより複雑な場の理論（湯川理論 や 量子電磁力学 など ）も、さまざまな摂動法や非摂動法によって解析できます。
ディラック場は標準モデル の重要な要素です 。
参照
参考文献 Edwards, D. (1981). 「量子場の理論の数学的基礎: フェルミオン、ゲージ場、超対称性、パート I: 格子場の理論」. Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503–517. Bibcode :1981IJTP...20..503E. doi :10.1007/BF00669437. S2CID 120108219. Peskin, M および Schroeder, D. (1995)。 『量子場理論入門』 、Westview Press。(35 ～ 63 ページを参照。) Srednicki, Mark (2007). 量子場理論 Archived 2011-07-25 at the Wayback Machine 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-86449-7 。 ワインバーグ、スティーブン（1995）。 『場の量子理論 』（全3巻）ケンブリッジ大学出版局。 
![{\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right ]\psi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a86a6cdbc9b9bff353526d71ff9a7c8f5d87d8)
![{\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ac160d06109c7d9f2b7846fb41a84fefcc7b4d)
