慣性座標系

古典物理学と特殊相対性理論において、慣性座標系（慣性空間、ガリレオ座標系とも呼ばれる）は、静止または均一に動く座標系である。このような座標系を基準として観測すると、物体は慣性を示し、つまり外部からの力が加わるまで静止したままとなり、加速度補正を必要とせずに自然法則を観測することができる。

加速度がゼロのすべての参照フレームは、互いに対して一定の直線運動（直線運動）の状態にあります。このようなフレームでは、作用する正味の力がゼロの物体は、一定の速度で動いていると認識されます。つまり、ニュートンの運動の第 1 法則が成り立ちます。このようなフレームは慣性フレームと呼ばれます。アイザック ニュートンなどの一部の物理学者は、当初、これらのフレームの 1 つ、つまり恒星によって近似されるフレームが絶対的であると考えていました。ただし、これは定義に必須ではなく、現在ではそれらの星は実際には動いていることがわかっています。

特殊相対性原理によれば、すべての物理法則はすべての慣性系で同じに見え、どの慣性系も他の慣性系より優先されることはありません。ある慣性系での物体の測定値は、ニュートン物理学のガリレイ変換、または特殊相対性理論のローレンツ変換（平行移動と組み合わせる）という簡単な変換によって、別の慣性系での測定値に変換できます。これらは、系間の相対速度が遅い場合はほぼ一致しますが、光速に近づくと異なります。

対照的に、非慣性参照フレームはゼロではない加速度を持ちます。このようなフレームでは、物理的物体間の相互作用は、慣性フレームに対するそのフレームの加速度に応じて変化します。古典力学と特殊相対性理論の観点から見ると、物体の相互作用によって引き起こされる通常の物理的な力は、慣性によって引き起こされる架空の力によって補完される必要があります。^{[1] [2]}一般相対性理論 の観点から見ると、架空の（つまり慣性）力は時空における測地線運動に起因します。

地球は自転しているため、その表面は慣性座標系ではありません。地球から見た場合、コリオリの力によって特定の運動が偏向し、遠心力によって赤道での有効重力が減少します。しかし、多くの用途において、地球は慣性座標系の 適切な近似値となります。

物体の運動は、他の物体、観測者、または時空座標の集合など、他の何かとの相対関係でのみ記述できます。これらは参照フレームと呼ばれます。特殊相対性理論の第一公理によれば、すべての物理法則は慣性フレームで最も単純な形をとり、均一な移動によって相互に関連する複数の慣性フレームが存在します。^[3]

相対性の特殊原理: 座標系 K が選択され、それに対して物理法則が最も単純な形で有効となる場合、同じ法則が、K に対して均一な平行移動で移動する他の座標系 K' に対しても有効となります。

— アルバート・アインシュタイン：一般相対性理論の基礎、セクションA、§1

この単純さは、慣性系が外部原因を必要とせずに自己完結的な物理学を持っているのに対し、非慣性系における物理学は外部原因を持っているという形で現れています。^[4]単純さの原理は、ニュートン物理学だけでなく特殊相対論でも使用できます。^{[5] [6]}

ニュートン力学の法則は、必ずしも最も単純な形では成り立ちません...たとえば、地球に対して回転する円盤上に観測者がいる場合、観測者は円盤の周縁に向かって自分を押している「力」を感じますが、これは他の物体との相互作用によって生じたものではありません。この場合、加速は通常の力の結果ではなく、いわゆる慣性力の結果です。ニュートンの法則は、慣性系と呼ばれる基準フレームのファミリーでのみ、最も単純な形で成り立ちます。この事実は、ガリレオの相対性原理の本質を表しています。つまり、力学法則
   はすべての慣性系で同じ形になります。

— ミルティン・ブラゴイェヴィッチ：重力とゲージ対称性、p. 4

しかし、この慣性系の定義はニュートンの領域に適用され、相対論的効果は無視されると理解されています。

実用的な観点から言えば、慣性座標系の等価性は、一定の絶対速度で移動する箱の中にいる科学者は、いかなる実験によってもこの速度を決定することができないことを意味します。そうでなければ、その違いによって絶対的な標準座標系が確立されます。^{[7] [8]}この定義に光速の不変性が加わると、慣性座標系は、ローレンツ変換がそのサブグループであるポアンカレ対称変換群に従って相互に変換されます。^{[9]ニュートン力学では、慣性座標系は}ガリレオ対称群によって関連付けられます。

ニュートンは、恒星に対して静止した基準系によってよく近似されると考えられる絶対空間を仮定した。慣性系は、絶対空間に対して均一に移動する系であった。しかし、ニュートンの時代でさえ、一部の「相対論者」^[10]は、絶対空間は定式化の欠陥であり、置き換える必要があると考えていた。

慣性座標系（ドイツ語：Inertialsystem）という表現は、ニュートンの「絶対空間と時間」の定義をより操作的な定義に置き換えるために、1885年にルートヴィヒ・ランゲによって造られたものである：^{[11] [12]}

同じ点から3つの異なる（同一平面ではない）方向に投げられた質点が、投げられるたびに直線経路をたどる基準フレームを慣性フレームと呼びます。^[13]

ニュートン力学における「絶対空間」という概念の不十分さは、ブラゴイェヴィッチによって次のように説明されている。^[14]

• 絶対空間の存在は、ガリレオの相対性原理によれば慣性系を一つも特定できないため、古典力学の内部論理と矛盾します。
• 慣性力は慣性フレームのいずれかに対する加速に関連しているため、絶対空間では慣性力は説明できません。
• 絶対空間は、加速に対する抵抗を誘発することによって物理的な物体に作用しますが、作用を受けることはできません。

— ミルティン・ブラゴイェヴィッチ：重力とゲージ対称性、p. 5

操作的定義の有用性は特殊相対性理論でさらに発展した。^[15]ランゲの定義を含む歴史的背景はディサールによって提供されており、次のように要約している。^[16]

「運動の法則はどのような基準フレームに対して成り立つのか？」という当初の質問は、誤って提起されたことが明らかになりました。運動の法則は、本質的に基準フレームのクラスと、（原則として）それらを構築する手順を決定します。

— ロバート・ディサール 空間と時間：慣性系

ガリレイ変換を使用する古典理論は、すべての慣性基準系の等価性を前提としています。ガリレイ変換は、座標の単純な加算または減算によって、ある慣性基準系 から別の慣性基準系 に座標を変換します。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

${\displaystyle t^{\prime }=t-t_{0}}$

ここで、r ₀とt _{0 は}空間と時間の原点のシフトを表し、v は2 つの慣性基準フレームの相対速度です。ガリレイ変換では、2 つのイベント間の時間t ₂ − t ₁はすべての基準フレームで同じであり、 2 つの同時イベント間の距離(または、同等に、任意のオブジェクトの長さ、| r ₂ − r ₁ |) も同じです。

ニュートン力学の領​​域では、慣性系、または慣性基準系は、ニュートンの運動の第一法則が有効なものです。^[17]しかし、特殊相対性原理は、慣性系の概念を一般化して、ニュートンの第一法則だけでなく、すべての物理法則を含めます。

ニュートンは、第一法則は絶対空間に対して等速運動（回転も加速もしていない）しているあらゆる基準系で有効であると考えた。実際問題として、「絶対空間」は恒星であると考えられていた^{[18] [19]}相対性理論では絶対空間や特権フレームの概念は放棄されており、古典力学の分野では慣性フレームは次のように定義される。^{[20] [21]}

慣性座標系とは、力を受けない粒子の運動が一定の速度で直線上を進む座標系です。

したがって、慣性系に関しては、物体または体は物理的な力が加えられた場合にのみ加速し、（ニュートンの運動の第一法則に従って）正味の力がない場合、静止している物体は静止したままになり、運動している物体は一様に、つまり直線で一定の速度で動き続けます。ニュートンの慣性系は、ガリレイ対称群に従って相互に変換されます。

この規則を、直線運動はゼロネットフォースの指標であると解釈すると、直線運動はさまざまなフレームで観測できるため、慣性参照フレームを特定しません。この規則を慣性フレームを定義すると解釈すると、ゼロネットフォースが適用された時点を判断できることが重要です。この問題はアインシュタインによって要約されました。^[22]

慣性の原理の弱点は、それが循環論法を含むことにあります。つまり、質量は、他の物体から十分に離れている場合、加速なしに移動します。質量が他の物体から十分に離れていることは、それが加速なしで移動しているという事実によってのみわかります。

— アルバート・アインシュタイン：相対性の意味、p.58

この問題にはいくつかのアプローチがある。1 つのアプローチは、すべての実在の力は既知の方法でその発生源からの距離とともに減少するため、物体がすべての発生源から十分離れていれば、力が存在しないことを保証することができると主張することである。^[23]このアプローチで問題になる可能性があるのは、遠く離れた宇宙が物事に影響を与える可能性があるという、歴史的に長く存続してきた見解である (マッハの原理)。もう 1 つのアプローチは、実在の力のすべての実在の源を特定し、それらを説明することである。このアプローチで問題になる可能性があるのは、おそらくこれもマッハの原理と宇宙の不完全な理解によるもので、何かを見逃したり、その影響を不適切に説明したりする可能性があることである。3 番目のアプローチは、基準フレームをシフトするときに力がどのように変換されるかを見ることである。架空の力、つまりフレームの加速によって生じる力は、慣性フレームでは消え、一般的なケースでは複雑な変換規則を持つ。物理法則の普遍性と、法則が最も簡単に表現されるフレームの要求に基づいて、慣性フレームはそのような架空の力が存在しないことで区別される。

ニュートンは運動の法則の帰結の一つとして相対性の原理を自ら発表した。^{[24] [25]}

与えられた空間に含まれる物体の運動は、その空間が静止しているか、直線上で均一に前進しているかに関係なく、物体同士の間では同じです。

— アイザック・ニュートン：プリンキピア、系 V、アンドリュー・モット訳、p. 88

この原理は特殊原理と2つの点で異なります。第一に、力学に限定されており、第二に、単純さについては言及していません。相互に平行移動する参照フレーム間で記述形式の不変性という特殊原理を共有しています。^[26]参照フレームの分類における架空の力の役割については、以下でさらに詳しく説明します。

アインシュタイン の特殊相対性理論は、ニュートン力学と同様に、すべての慣性系の等価性を仮定しています。しかし、特殊相対性理論では自由空間における光速度は不変であると仮定しているため、慣性系間の変換はローレンツ変換であり、ニュートン力学で使用される ガリレイ変換ではありません。

光速度の不変性は、時間の遅れ、長さの収縮、同時性の相対性など、直感に反する現象につながる。特殊相対性理論の予測は実験的に広範囲に検証されている。^[27]光速度が無限大に近づくか、フレーム間の相対速度がゼロに近づくと、ローレンツ変換はガリレイ変換に簡約される。^[28]

日常生活でよくある状況を考えてみましょう。2 台の車が道路に沿って一定の速度で走っています。図 1 を参照してください。ある特定の瞬間、2 台の車は 200 メートル離れています。前の車は 22 メートル/秒で走行しており、後ろの車は 30 メートル/秒で走行しています。2 台目の車が最初の車に追いつくのにどのくらい時間がかかるか知りたい場合、選択できる「基準フレーム」は 3 つあります。^[29]

まず、道路脇から 2 台の車を観察します。「基準フレーム」S を次のように定義します。道路脇に立ち、2 台目の車が通り過ぎる瞬間にストップ クロックを開始します。この瞬間は、2 台の車がd = 200 m離れているときです。どちらの車も加速していないため、次の式で車の位置を判定できます。 は、時刻tの秒後の車 1 の位置 (メートル単位) で、 は、時刻tの後の車 2 の位置です。 ${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200+22t,\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t.}$

これらの式は、 t = 0 秒で最初の車が道路の 200 メートル先にあり、2 台目の車が予想どおり私たちのすぐ横にあることを予測していることに注意してください。 の時刻を見つけたいとします。したがって、 を設定してを解きます。つまり、次のようになります。 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle 200+22t=30t,}$

${\displaystyle 8t=200,}$

${\displaystyle t=25\ \mathrm {seconds} .}$

あるいは、最初の車にある参照フレームS′ を選択することもできます。この場合、最初の車は静止しており、2 番目の車はv ₂ − v ₁ = 8 m/sの速度で後ろから近づいてきます。最初の車に追いつくには、 ⁠の時間がかかります。d/v ₂ − v ₁⁠ = ⁠200/8⁠ s、つまり前と同じ 25 秒です。適切な参照フレームを選択すると、問題がどれだけ簡単になるかに注目してください。3 つ目の可能な参照フレームは、2 台目の車に取り付けられます。この例は、2 台目の車が静止していて、1 台目の車が8 m/sで 2 台目の車に向かって後方に移動していることを除いて、先ほど説明したケースに似ています。

回転し、加速し、複雑な動きをする基準フレームを選択することも可能だったでしょうが、それでは問題を不必要に複雑にしてしまうでしょう。また、ある座標系で行われた測定値を別の座標系に変換できることにも留意する必要があります。たとえば、時計が現地の標準時よりも 5 分進んでいるとします。これが事実であるとわかっていれば、誰かが今何時かと尋ねたときに、時計に表示されている時間から 5 分を差し引いて正しい時間を求めることができます。したがって、観測者がシステムについて行う測定値は、観測者の基準フレームによって異なります (バスが実際には 3 時に到着しているのに、3 時 5 分に到着したと言うかもしれません)。

2 人の観察者の方向だけに関する簡単な例として、南北の道路の両側に向かい合って立っている 2 人の人物を考えてみましょう。図 2 を参照してください。車が南に向かって彼らの横を通り過ぎます。東を向いている人物にとって、車は右に動いていました。しかし、西を向いている人物にとって、車は左に動いていました。この食い違いは、2 人がこのシステムを調査するために 2 つの異なる参照フレームを使用したためです。

相対的に動く観測者に関するより複雑な例として、道路脇に立って、左から右へ車が通り過ぎるのを見ているアルフレッドを考えてみましょう。アルフレッドは、自分の基準フレームで、自分が立っている場所を原点、道路をx軸、自分の前の方向を正のy軸と定義しています。彼にとって、車はx軸に沿って正のx方向に速度 vで動いています。アルフレッドの基準フレームは、地球の自転や重力などの影響を無視して加速していないため、慣性フレームであると考えられます。

ここで、車を運転しているベッツィーについて考えてみましょう。ベッツィーは、参照フレームを選択する際に、自分の位置を原点、右方向を正のx軸、前方方向を正のy軸と定義します。この参照フレームでは、ベッツィーは静止しており、周囲の世界は動いています。たとえば、ベッツィーがアルフレッドを追い越すとき、アルフレッドが負のy方向に速度vで動いているのが見えます。ベッツィーが北に向かって運転している場合、北が正のy方向です。ベッツィーが東に曲がる場合、東が正のy方向になります。

最後に、非慣性観測者の例として、キャンディスが車を加速させているとします。キャンディスが通り過ぎるとき、アルフレッドは彼女の加速度を測定し、それが負のx方向のaであることを知ります。キャンディスの加速度が一定であると仮定すると、ベッツィーはどのような加速度を測定するでしょうか。ベッツィーの速度vが一定であれば、彼女は慣性座標系内にいるので、彼女の座標系内のアルフレッドと同じ加速度、つまり負のy方向のaを彼女は見つけます。しかし、彼女が負のy方向に速度Aで加速している場合（つまり、減速している場合）、キャンディスの加速度は負のy方向でa′ = a − Aとなり、アルフレッドが測定した値よりも小さくなります。同様に、彼女が正のy方向に速度Aで加速している場合（加速している場合）、キャンディスの加速度は負のy方向にa′ = a + Aとして観測されます。これはアルフレッドの測定値よりも大きい値です。

ここでは、慣性観測参照フレームと非慣性観測参照フレームの関係について検討します。これらのフレームの基本的な違いは、以下で説明するように、非慣性フレームでは架空の力が必要になることです。

一般相対性理論は等価性の原理に基づいている: ^{[30] [31]}

加速が重力によって生じるのか、それとも参照フレームが加速しているために生じるのかを観察者が区別できる実験は存在しません。

— ダグラス・C・ジャンコリ『科学者・技術者のための物理学と現代物理学』 155ページ。

この考えは、アインシュタインの1907年の論文「相対性と重力の原理」で紹介され、後に1911年に発展しました。^{[32]この原理の裏付けは、}エトヴェシュの実験にあります。この実験では、慣性質量と重力質量の比率が、大きさや構成に関係なく、すべての物体で同じであるかどうかを判定します。現在までに、10 ¹¹のいくつかの部品に違いは見つかりませんでした。^[33]実験場所周辺の局所的な質量分布（エトヴェシュ自身の質量に関するジョークを含む）など、エトヴェシュの実験の微妙な点に関する議論については、フランクリンを参照してください。^[34]

アインシュタインの一般理論は、特殊相対論の「平坦な」ミンコフスキー空間を、非ゼロの曲率を生成する測定基準に置き換えることによって、名目上の「慣性」効果と「非慣性」効果の区別を修正します。一般相対論では、慣性の原理は測地線運動の原理に置き換えられ、物体は時空の曲率によって決定される方法で動きます。この曲率の結果として、一般相対論では、互いに対して特定の速度で移動する慣性物体がその速度で動き続けることは当然ではありません。この測地線偏差の現象は、ニュートン力学や特殊相対論のように慣性参照フレームがグローバルに存在しないことを意味します。

しかし、一般理論は、曲率効果がそれほど重要ではなくなり、以前の慣性系の議論が再び作用する可能性がある、十分に小さな時空領域上では特殊理論に帰着する。 ^{[35] [36]}その結果、現代の特殊相対性理論は、現在では「局所理論」に過ぎないと説明されることがある。^[37]「局所」には、例えば、天の川銀河全体が含まれる。天文学者カール・シュヴァルツシルトは、互いの周りを回る一対の恒星の動きを観察した。彼は、そのような系の恒星の2つの軌道が平面上にあり、2つの恒星の軌道の近日点は太陽系に対して同じ方向を向いていることを発見した。シュヴァルツシルトは、それは常に見られると指摘した。つまり、観測されたすべての二重星系の角運動量の方向は、太陽系の角運動量の方向に対して固定されたままである。これらの観察により、銀河内の慣性系は互いに対して回転しておらず、天の川銀河の空間はほぼガリレオまたはミンコフスキー空間であると結論付けました。^[38]

慣性系では、ニュートンの第一法則、慣性の法則が満たされます。つまり、自由運動は大きさと方向が一定であるという法則です。^[39] ニュートンの粒子に対する第二法則は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

ここで、F は正味の力 (ベクトル)、m は粒子の質量、a はフレーム内で静止している観測者によって測定される粒子の加速度 (ベクトル ) です。力Fは、接触力、電磁力、重力、核力 など、粒子にかかるすべての「実際の」力のベクトル和です。

対照的に、軸の周りを 角速度Ωで回転する回転座標系（非慣性座標系）におけるニュートンの第 2 法則は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

これは慣性系の場合と同じように見えますが、力F ′ はFだけでなく追加の項の結果でもあります（この式の後の段落では、詳細な数学を使わずに要点を示します）。

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

ここで、フレームの角回転は、回転軸の方向を指し、大きさが回転の角速度Ωに等しいベクトルΩで表されます。記号 × はベクトルの外積を表し、ベクトルx _{B は}物体の位置を示し、ベクトルv _{B は}回転する観測者から見た物体の速度です（慣性観測者から見た速度とは異なります）。

力F ′ の余分な項は、このフレームの「架空の」力であり、その原因はフレームのシステムの外部にあります。最初の余分な項はコリオリの力、2番目は遠心力、3番目はオイラー力です。これらの項はすべて、次の特性を持っています。Ω = 0 のときに消えます。つまり、慣性フレーム（もちろん回転しません）ではゼロです。回転フレームごとに、その特定のΩの値に応じて異なる大きさと方向を取ります。回転フレームに遍在します（状況に関係なくすべての粒子に影響します）。識別可能な物理的ソース、特に物質に明らかなソースはありません。また、架空の力は距離とともに減少しません（たとえば、核力や電気力とは異なります）。たとえば、回転フレームの回転軸から発せられるように見える遠心力は、軸からの距離とともに増加します。

すべての観測者は実際の力Fについては同意します。非慣性系の観測者のみが架空の力を必要とします。慣性系における物理法則は、不必要な力が存在しないため、より単純です。

ニュートンの時代には、恒星が基準系として、絶対空間に対して静止していると考えられていました。恒星に対して静止しているか、これらの恒星に対して等速直線移動している基準系では、ニュートンの運動の法則が成り立つと考えられていました。対照的に、恒星に対して加速している系（恒星に対して回転している系が重要なケース）では、運動の法則は最も単純な形では成り立たず、架空の力、たとえばコリオリの力や遠心力を追加して補足する必要がありました。ニュートンは、これらの力を発見する方法を示し、それによって、それらが慣性系にないことを観察者に明らかにする 2 つの実験を考案しました。1 つは、重心の周りを回転する 2 つの球を結ぶコードの張力の例、もう 1 つは、回転するバケツ内の水面の曲率の例です。どちらの場合も、ニュートンの第 2 法則は、遠心力とコリオリの力 (球の場合は張力、回転するバケツの場合は放物線状の水面) を考慮して観測しなければ、回転する観測者には適用できません。

現在知られているように、恒星は固定されていない。天の川銀河にある恒星は銀河とともに回転し、固有運動を示す。銀河系の外にある恒星（かつて恒星と間違えられた星雲など）も、宇宙の膨張と固有速度により、自らの運動に参加している。^[40]たとえば、アンドロメダ銀河は、117 km/s の速度で天の川銀河と衝突するコース上にある。 ^[41]慣性座標系の概念は、もはや恒星にも絶対空間にも結びついていない。むしろ、慣性座標系の特定は、座標系内の物理法則の単純さに基づいている。慣性座標系では、自然法則がより単純な形をとる。なぜなら、これらの座標系では、ニュートンの運動法則を記述する際に慣性力を導入する必要がなかったからである。^[42]

実際には、恒星に基づく参照フレームを慣性参照フレームのように使用しても、矛盾はほとんど生じません。たとえば、地球が太陽の周りを回転することによって生じる遠心加速度は、太陽が銀河中心の周りを回転することによって生じる遠心加速度の約3000万倍です。^[43]

さらに説明するために、「宇宙は回転しているか？」という質問を考えてみましょう。その答えは、物理法則を使って天の川銀河の形を説明するかもしれませんが、 ^[44]他の観測がより決定的であるかもしれません。つまり、マイクロ波背景放射の異方性やビッグバン元素合成のように、より大きな矛盾やより少ない測定不確実性を提供するかもしれません。^{[45] [46]}天の川銀河の平坦さは、慣性系における回転速度によって決まります。見かけの回転速度が慣性系における回転に完全に起因する場合、この回転の一部が実際には宇宙の回転によるものであり、銀河自体の回転には含まれないはずであると想定される場合とは異なる「平坦さ」が予測されます。物理法則に基づいて、宇宙の回転速度を 1 つのパラメーターとするモデルが設定されます。回転ありのモデルの方が回転なしのモデルよりも物理法則が観測とより正確に一致する場合、他のすべての関連する実験観測を条件として、回転に最も適した値を選択する傾向があります。回転パラメータの値が成功せず、理論が観測誤差の範囲内にない場合は、物理法則の修正が検討されます。たとえば、暗黒物質が銀河の回転曲線を説明するために呼び出されます。これまでの観測では、宇宙の回転は非常に遅く、1年に1回より速くはありません。6 × 10 ¹³年（10 ⁻¹³  rad/yr）^[47]であり、回転があるかどうかについては議論が続いています。しかし、もし回転が見つかった場合、宇宙に結びついたフレームでの観測の解釈は、古典物理学と特殊相対性理論におけるそのような回転に内在する架空の力について修正されるか、一般相対性理論における時空の曲率と測地線に沿った物質の運動として解釈される必要があります。^[48]

量子効果が重要である場合、量子参照フレームで追加の概念的な複雑さが生じます。

加速参照フレームは、多くの場合「プライム付き」フレームとして表現され、そのフレームに依存するすべての変数は、x′、y′、a′のようにプライム付きで表記されます。

慣性座標系の原点から加速座標系の原点へのベクトルは、通常Rと表記されます。両方の座標系に存在する注目点を考えると、慣性座標系の原点からその点へのベクトルはr、加速座標系の原点からその点へのベクトルはr′と呼ばれます。

状況の幾何学から

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '.}$

これを時間に関して1次および2次導関数をとると

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} ',}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '.}$

ここで、VとA は慣性系に対する加速系の速度と加速度であり、vとa は慣性系に対する対象点の速度と加速度です。

これらの方程式は2つの座標系間の変換を可能にする。例えば、ニュートンの第二法則は次のように書ける。

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '.}$

力が加わって運動が加速すると、慣性の現れが起こります。減速時にバッテリー システムを充電するように設計された電気自動車をブレーキに切り替えた場合、バッテリーが充電され、慣性の現れの物理的な強さが示されます。ただし、慣性の現れは加速 (または減速) を妨げるものではありません。慣性の現れは、力による速度の変化に応じて発生するためです。回転基準フレームの観点から見ると、慣性の現れは力を及ぼしているように見えます (遠心方向、または物体の運動に直交する方向、コリオリの力のいずれか)。

一般的な加速参照フレームは、回転と平行移動の両方を行うフレームです (例としては、プレーヤーを持ち運んでいる間に再生される CD に取り付けられた参照フレームがあります)。

この配置により、次の式が導かれます (導出については 「架空の力」を参照)。

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0},}$

あるいは、加速フレームにおける加速度を解くには、

${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}.}$

これに質量mを掛ける と

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {physical} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {centripetal} }-m\mathbf {A} _{0},}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }=-m{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '}$（オイラー力）、

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}$（コリオリの力）、

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldsymbol {\omega }})}$（遠心力）。

慣性系と非慣性系は、架空の力の有無によって区別できる。^{[1] [2]}

非慣性系にあるこの存在の影響により、観測者は計算に架空の力を導入する必要が生じます…

— シドニー・ボロウィッツとローレンス・A・ボーンスタイン著『現代的基礎物理学』 138ページ

架空の力の存在は物理法則が最も単純な法則ではないことを示し、特殊相対性原理の観点から言えば、架空の力が存在するフレームは慣性フレームではない：^[49]

非慣性システムの運動方程式は、慣性力と呼ばれる追加の項によって慣性システムの方程式と異なります。これにより、システムの非慣性の性質を実験的に検出できます。

—  VI Arnol'd :古典力学の数学的手法第 2 版、p. 129

非慣性座標系内の物体は、いわゆる架空の力（疑似力）の影響を受けます。つまり、物体に作用する物理的な力ではなく、座標系自体の加速によって生じる力です。架空の力の例としては、回転座標系における遠心力やコリオリの力などがあります。

ニュートンの慣性系の定義を適用するには、「架空の」力と「実際の」力の分離を明確に理解する必要があります。

たとえば、慣性系内の静止物体を考えてみましょう。静止しているため、正味の力は適用されません。しかし、固定軸の周りを回転するフレームでは、物体は円を描いて動いているように見え、向心力の影響を受けます。回転するフレームが非慣性系であるとどのように判断できるでしょうか。この解決には 2 つのアプローチがあります。1 つは、架空の力 (コリオリの力と遠心力) の起源を探すことです。これらの力の発生源はなく、関連する力の伝達者も、発生源となる物体もないことがわかります。^[50] 2 つ目のアプローチは、さまざまな参照フレームを見ることです。どの慣性系でも、コリオリの力と遠心力は消えるため、特殊相対性原理を適用すると、力が消えるこれらのフレームは同じ最も単純な物理法則を共有していると特定され、したがって回転フレームは慣性系ではないと判断されます。

ニュートンは、図 2 と図 3 に示すように、回転する球を使用してこの問題を自ら調べました。彼は、球が回転していなければ、結び紐の張力はどの参照フレームでもゼロとして測定されることを指摘しました。^[51]球が回転しているように見えるだけの場合 (つまり、回転フレームから静止した球を見ている場合)、紐の張力がゼロであることは、遠心力とコリオリの力の組み合わせによって向心力が供給されるため張力は不要であると観察することで説明できます。球が本当に回転している場合、観察される張力は円運動に必要な向心力とまったく同じです。したがって、紐の張力の測定により慣性フレームが特定されます。つまり、そのフレームで観察されるように、紐の張力が運動に必要な向心力とまったく同じ値を提供するフレームであり、異なる値ではありません。つまり、慣性フレームは架空の力が消えるフレームです。

直線加速度については、ニュートンは直線加速度の検出不可能性の考え方を次のように表現した。^[25]

物体が、互いにどのような動きをしようとも、等しい加速力によって平行線の方向に押されると、それらの物体は、そのような力によって押されなかった場合と同じように、互いに動き続けるでしょう。

— アイザック・ニュートン：プリンキピア系VI、p.89、アンドリュー・モット訳

この原理は慣性系の概念を一般化します。たとえば、自由落下するリフトに閉じ込められた観察者は、たとえ重力で加速していても、リフトの外側の何も知らない限り、自分自身が有効な慣性系であると主張します。したがって、厳密に言えば、慣性系は相対的な概念です。これを念頭に置くと、慣性系は、静止しているか、または互いに対して一定の速度で動いている一連のフレームとして集合的に定義することができ、単一の慣性系はこのセットの要素として定義されます。

これらの考え方を適用するには、フレーム内で観測されるすべてのものが、フレーム自体が共有するベースラインの共通加速度の影響を受けなければなりません。この状況は、たとえばエレベーターの例に当てはまります。エレベーターでは、すべての物体が同じ重力加速度の影響を受け、エレベーター自体も同じ速度で加速します。

慣性航法システムは、慣性空間に対する加速度を測定するために、ジャイロスコープと加速度計のクラスターを使用していました。ジャイロスコープが慣性空間で特定の方向に回転すると、角運動量保存の法則により、外部からの力が加わらない限り、その方向を維持する必要があります。 ^{[52] : 59} 3 つの直交ジャイロスコープが慣性基準フレームを確立し、加速度計がそのフレームに対する加速度を測定します。加速度と時計を使用して、位置の変化を計算できます。したがって、慣性航法は、外部入力を必要としない推測航法の一種であり、したがって、外部または内部の信号源によって妨害されることはありません。^[53]

ジャイロコンパスは、航海船の航海に使用され、幾何学的な北を見つけます。これは、地球の磁場を感知するのではなく、慣性空間を基準として使用することによって行われます。ジャイロコンパスデバイスの外側のケースは、地元の鉛直線と一直線になるように保持されます。ジャイロコンパスデバイス内のジャイロスコープホイールが回転すると、ジャイロスコープホイールが吊り下げられている方法により、ジャイロスコープホイールの回転軸が徐々に地球の軸と一直線になります。地球の軸と一直線になる方向は、ジャイロスコープの回転軸が地球に対して静止し、慣性空間に対して方向を変える必要がない唯一の方向です。ジャイロコンパスは、回転した後、わずか15分で地球の軸と一直線になる方向に到達できます。^[54]

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• スタンフォード哲学百科事典のエントリ 2010年12月4日アーカイブウェイバックマシン
• YouTubeのアニメーション クリップでは、慣性フレームと回転参照フレームの両方から見たシーンを示し、コリオリの力と遠心力を視覚化しています。
• 「重力は幻想か？」PBS Space Time 2015年6月3日。2021年11月13日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。