正規化解（数学）

数学において、常微分方程式または偏微分方程式の正規化解とは、所定のノルムを持つ解、つまり次のような条件を満たす解のことである。この記事では、非線形シュレーディンガー方程式を用いて正規化解を導入する。非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）は、量子力学やその他のさまざまな物理学の分野における基本的な方程式であり、複雑な波動関数の発展を記述する。量子物理学において、正規化とは、宇宙のどこかで量子粒子が見つかる確率全体が1であることを意味する。^[1]${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{N}}|u(x)|^{2}\,dx=1.}$

この概念を説明するために、規定のノルムを持つ次の非線形シュレーディンガー方程式を考えてみましょう。^[2]

${\displaystyle -\Delta u+\lambda u=f(u),\quad \int _{\mathbb {R} ^{N}}|u|^{2}\,dx=1,}$

ここではラプラシアン演算子、はラグランジュ乗数、は非線形性です。この方程式の正規化された解を求めるには、次の関数を考慮する必要があります。を次のように定義します 。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle N\geq 1,\lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle I:H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N})\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle I(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u|^{2}dx-\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(u)dx}$

制約付き

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{u\in H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N}):\int _{\mathbb {R} ^{N}}u^{2}=1\},\ \ \ \ }$

ここで はヒルベルト空間であり、は の原始関数です。 ${\displaystyle H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle f(s)}$

正規化解を求める一般的な方法は変分法、すなわち規定されたノルムを持つ対応する関数の最大値と最小値を求めることです。こうすることで、方程式の弱解を求めることができます。さらに、それが制約を満たす場合、それは正規化解です。^[3]

ユークリッド空間上で関数を定義する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} :}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+y)^{2}}$制約付き。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

直接計算すると、制約付き最大値は、解は 、制約付き最小値は、解は、であると結論付けるのは難しくありません。 ${\displaystyle f=2}$${\displaystyle (x,y)=({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}})}$${\displaystyle (x,y)=({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle (x,y)=({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}})}$${\displaystyle (x,y)=({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}$

非線形シュレーディンガー方程式の正規化解の探究は、-ノルムが規定された定在波解の研究に遡ることができます。ユルゲン・モーザー^[4]は、楕円偏微分方程式（楕円PDE） の解の正則性の研究において、正規化解の概念を初めて導入しました。具体的には、彼は関数の正規化されたシーケンスを使用して楕円方程式の解の正則性を証明し、この分野に多大な貢献をしました。エミリオ・ガリアルドとルイス・ニーレンバーグによって開発された不等式は、空間におけるPDE解の研究で重要な役割を果たしました。これらの不等式は、正規化解の定義と理解のための重要なツールと背景を提供しました。^{[5] [6]}${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$

変分問題に関しては、この分野における初期の基礎研究には、1984年にピエール＝ルイ・リオンスが導入した集中コンパクト性原理が含まれており、この原理はこれらの問題を解決するための重要な技術を提供しました。^[7]

質量が指定されている変分問題では、制約のない変分問題を扱うために一般的に使用されているいくつかの方法はもはや利用できません。同時に、新しい臨界指数、-臨界指数が登場しました。ガリアルド-ニーレンベルグ不等式から、-亜臨界または臨界または超臨界を満たす非線形性は、汎関数の異なる幾何学につながることがわかります。汎関数が下に有界である場合、つまり亜臨界の場合、この問題に関する最も初期の結果は、分岐法を 使用して解の存在を実証したチャールズ-アレクサンダー・スチュアート^{[8] [9] [10]}によって得られました。その後、ティエリー・カゼナーヴとピエール-ルイ・リオン^[11]は 最小化法を使用して存在結果を得ました。次に、柴田正孝は一般非線形項を持つシュレーディンガー方程式を検討しました。^[12]${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

関数が下で有界でない場合、すなわち、臨界超の場合、いくつかの新しい困難が生じます。まず、が未知であるため、対応するNehari 多様体を構築することは不可能です。次に、Palais-Smale シーケンスの有界性を得ることは容易ではありません。さらに、埋め込みがコンパクトでないため、Palais-Smale シーケンスのコンパクト性を検証することは困難です。1997 年、Louis Jeanjean は次の変換を使用しました。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{N})}$

${\displaystyle (s\star u)(x):=e^{\frac {Ns}{2}}u(e^{s}x).}$

したがって、次のような関数が得られます。

${\displaystyle {\tilde {I}}(u,s):=I(s\star u)=e^{2s}\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u(x)|^{2}dx-{\frac {1}{e^{sN}}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(e^{\frac {Ns}{2}}u(x))dx.}$

それから、

${\displaystyle P(u):=\partial _{s}{\tilde {I}}(u,s)|_{s=0}=\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u|^{2}-N\int _{\mathbb {R} ^{N}}\left({\frac {1}{2}}f(u)u-F(u)\right)}$

これはポホジャエフの恒等式と正確に一致する。ジャンジャンはこの追加条件を使用してパレ・スメール列の有界性を保証し、前述の困難を克服した。非有界関数の正規化解の問題に対処する最初の方法として、ジャンジャンのアプローチはそのような問題を扱う一般的な方法となり、その後の研究者によって模倣され、発展してきた。^[2]

その後数十年にわたり、研究者たちはこれらの基礎的な結果を発展させてきました。トーマス・バルチとセバスチャン・デ・ヴァレリオラ^[13]は、非線形シュレーディンガー方程式の複数の正規化解の存在を調査しています。著者らは、規定されたノルム制約を満たす解を見つけることに焦点を当てています。最近の進歩には、2020年にニコラ・ソアーヴェが行った、非線形性を組み合わせたNLS方程式の正規化基底状態の研究があり、亜臨界ケースと臨界ケースの両方を調べました。この研究は、さまざまな種類の非線形性の複雑なバランスと、それらが解の存在と多重性に与える影響を強調しました。^{[14] [15]}${\displaystyle L^{2}}$

有界領域では状況は大きく異なります。 を定義しましょう。ポホジャエフの恒等式を参照してください。 ${\displaystyle f(s)=|s|^{p-2}s}$${\displaystyle p\in (2,2^{*})}$

${\displaystyle {\frac {2-N}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx-{\frac {\lambda N}{2}}\int _{\Omega }u^{2}\,dx+{\frac {N}{p}}\int _{\Omega }|u|^{p}\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }|{\frac {\partial u}{\partial \nu }}|^{2}x\cdot \nu \,d\sigma =0.}$

境界項があると、ジャンジャン法の適用が不可能になります。このため、近年多くの学者が境界領域上の正規化解の問題を研究するようになりました。さらに、近年、シュレーディンガー系、ショカール方程式、ディラック方程式の正規化解に関する興味深い結果が数多く得られています。^{[16] [17] [18] [19]}

非線形項が同次であると仮定しましょう。つまり、を定義します。ガリアルド・ニーレンベルグ不等式を参照してください。定義します。 ${\displaystyle f(s)=|s|^{p-2}s}$${\displaystyle p\in (2,2^{*})}$

${\displaystyle \gamma _{p}:={\frac {N(p-2)}{2p}},}$

すると、任意の に対して次の不等式が成り立つ ような定数が存在する。${\displaystyle C_{N,p}}$${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$

${\displaystyle |u|_{p}\leq C_{N,p}|\nabla u|_{2}^{\gamma _{p}}|u|_{2}^{1-\gamma _{p}}.}$

つまり、質量臨界指数という概念がある。

${\displaystyle p:=2+{\frac {4}{N}}.}$

このことから、質量亜臨界と質量超臨界についての異なる概念を得ることができます。また、関数が下方に有界であるかどうかを知ることも有用です。^[2]

をバナッハ空間、を汎関数とします。次の条件を満たす場合、そのシーケンスはレベルで のPalais-Smale シーケンスと呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle I:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (u_{n})_{n}\subset X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

1. エネルギーの限界: . ${\displaystyle \sup _{n}I(u_{n})<\infty }$

2. 勾配条件:一部の場合と同様。 ${\displaystyle \langle I'(u_{n}),u_{n}-u\rangle \to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle u\in X}$

ここで、は のフレシェ微分を表し、は における内積を表します。リチャード・パレとスティーブン・スメールにちなんで名付けられたパレ・スメール列。^[20]${\displaystyle I'}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle X}$

• エヴァンス、ローレンス C. (1998)。偏微分方程式(PDF)。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0772-2。
• Struwe, Michael ( 2008 )。変分法: 非線形偏微分方程式とハミルトン系への応用。Springer-Verlag。doi : 10.1007/978-3-540-74013-1。ISBN 978-3-540-74013-1。