ゲージ群（数学）

ゲージ群は、主バンドル上の主接続のヤン・ミルズ ゲージ理論のゲージ対称性のグループです。リー群という構造を持つ主バンドルが与えられたとき、ゲージ群はその垂直自己同型のグループとして定義されます。このグループは、その典型ファイバーが随伴表現によって自身に作用するグループである関連グループバンドルの大域切断のグループと同型です。 の単位元は、の定数単位値切断です。 ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle g(x)=1}$${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$

同時に、ゲージ重力理論は、ゲージ対称性がゲージ群の要素ではない 一般的な共変変換である主フレームバンドル上の場の理論の例です。

ゲージ理論に関する物理学の文献では、主バンドルの構造群はしばしばゲージ群と呼ばれます。

量子ゲージ理論では、安定化群である ゲージ群の正規部分群を考える。${\displaystyle G^{0}(X)}$${\displaystyle G(X)}$

${\displaystyle G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}}$

群束のある点の。これは尖ったゲージ群と呼ばれる。この群は主接続の空間上で自由に作用する。明らかに、 である。また、 がゲージ群の中心である有効ゲージ群も導入される。この群は既約な主接続の空間上で自由に作用する。 ${\displaystyle 1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}}$${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$${\displaystyle G(X)/G^{0}(X)=G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)=G(X)/Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle {\overline {G}}(X)}$

構造群が複素半単純行列群である場合、ゲージ群のソボレフ完備化を導入することができる。これはリー群である。重要な点は、主接続空間のソボレフ完備化への の作用が滑らかであり、軌道空間がヒルベルト空間であるということである。これは量子ゲージ理論の配置空間である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)}$

• ゲージ対称性（数学）
• ゲージ理論
• ゲージ理論（数学）
• 主要バンドル

• Mitter, P., Viallet, C., Yang-Mills理論における接続の束とゲージ軌道多様体について、Commun. Math. Phys. 79 (1981) 457。
• Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundations of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN  0-444-89708-9 .
• Mangiarotti, L.、Sardanashvily, G.、古典場理論と量子場理論のつながり（World Scientific、2000）ISBN 981-02-2013-8