キラル異常

理論物理学 において、カイラル異常とは、カイラル電流の異常な非保存のことである。このような事象は古典的な保存則によれば禁止されていると予想されるが、電荷パリティ非保存（「CP違反」）の証拠があることから、破られる方法があることが知られている。このようなカイラル法則の破れによって他の不均衡が生じた可能性がある。多くの物理学者は、観測可能な宇宙に反物質よりも物質が多いという事実はカイラル異常によって引き起こされていると疑っている。^{[ 1 ]}フェルミオンのカイラリティ対称性を破るカイラル対称性の破れは、CP違反なしでも起こり得る。CP違反は量子色力学において中間子間の質量ギャップを引き起こす。^{[ 2 ]}

カイラル異常は、もともとカイラルモデルの電流代数で計算された中性パイ中間子の異常な崩壊率を指していました。これらの計算はパイ中間子の崩壊が抑制されることを示唆しており、明らかに実験結果と矛盾していました。異常な計算の性質は、1969年にスティーブン・L・アドラー[3]とジョン・スチュワート・ベルおよびローマン・ジャキウ[4]によって初めて説明されました。これ^{は量子電磁}力学のアドラー・^{ベル・ジャキウ}異常と呼ばれています[ 5 ] ^{[ 6 ] 。これは}量子補正によって破られる古典電磁力学の対称性です。

アドラー・ベル・ジャキウ異常は次のようにして生じる。質量のないフェルミオン（ディラック方程式を解く電荷を持つディラックスピノル）に結合した古典的な（量子化されていない）電磁気学理論を考えると、保存される電流は1つだけでなく2つあると予想される。1つは通常の電流（ベクトル電流）であり、ディラック場によって記述される。${\displaystyle j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$軸方向電流も${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.}$ 古典理論から量子理論へ移行する際、これらの電流に対する量子補正を計算することができます。一次近似では、これらは1ループのファインマン図です。これらは発散することがよく知られており、正規化された振幅を得るためには正則化を適用する必要があります。正規化が意味を持ち、一貫性があり、整合性を保つためには、正則化された図はゼロループ（古典的）振幅と同じ対称性に従わなければなりません。これはベクトル電流の場合に当てはまりますが、軸電流の場合は当てはまりません。軸対称性を維持するような方法で正則化することはできません。古典電磁気学の軸対称性は量子補正によって破られます。形式的には、量子理論のワード・タカハシ恒等式は電磁場のゲージ対称性から導かれますが、軸電流に対応する恒等式は破られます。

アドラー・ベル・ジャキウ異常が物理学で研究されていた当時、微分幾何学においても同様の表現を含むと思われる関連研究が進められていました。これらは量子補正とは全く関係なく、ファイバー束の全体構造、特に4次元と3次元の両方において電磁テンソルに似た曲率形式を持つスピン構造上のディラック演算子（チャーン・サイモンズ理論）の研究でした。かなりの議論を経て、この異常の構造は非自明なホモトピー群を持つ束、あるいは物理学用語で言えばインスタントンを用いて記述できることが明らかになりました。

インスタントンは位相ソリトンの一種であり、古典場理論の解の一つで、安定していて（例えば平面波に）崩壊しないという性質を持つ。言い換えれば、従来の場理論は真空、つまり大まかに言えば平坦な空虚な空間という概念に基づいている。古典的には、これは「自明な」解であり、すべての場は消滅する。しかし、（古典的な）場を非自明な全体配置を持つように配置することもできる。これらの非自明な配置もまた真空、つまり空虚な空間の候補となるが、もはや平坦でも自明でもなく、ねじれ、すなわちインスタントンを含んでいる。量子論はこれらの配置と相互作用することができ、その際にカイラル異常として現れる。

数学では、ディラック演算子をその完全に一般化された設定、すなわち任意の次元のリーマン多様体上で研究する際に、非自明な構成が発見されます。数学的な課題には、構造と構成の発見と分類が含まれます。有名な成果には、ディラック演算子のアティヤー・シンガー指数定理があります。大まかに言えば、ミンコフスキー時空の対称性、ローレンツ不変性、ラプラシアン、ディラック演算子、および U(1)xSU(2)xSU(3)ファイバー束は、微分幾何学におけるはるかに一般的な設定の特殊なケースとみなすことができます。さまざまな可能性の探求は、弦理論などの理論における興奮の大部分を占めています。可能性の豊かさは、ある種の進歩の欠如の認識につながります。

アドラー・ベル・ジャキウ異常は、中性パイ中間子の崩壊、特に中性パイ中間子が2つの光子に崩壊する幅を記述するという意味で、実験的に観測されている。中性パイ中間子自体は1940年代に発見され、その崩壊率（幅）は1949年にJ.スタインバーガーによって正しく推定された。^{[ 7 ]}軸電流の異常発散の正しい形式は、1951年にシュウィンガーによって電磁気学と質量のないフェルミオンの2次元モデルで得られた。^{[ 8 ]}中性パイ中間子の崩壊がカイラルモデルの電流代数解析で抑制されることは、1967 年にサザーランドとヴェルトマンによって得られた。^{[ 9 ] [ 10 ]}この異常な結果の解析と解決は、1969 年にアドラー^{[ 3 ]}とベルとジャキウ^{[ 4 ]}によって提供された。異常の一般的な構造は、1969 年にバーディーンによって議論された。^{[ 11 ]}

パイオンのクォークモデルは、パイオンがクォークと反クォークの束縛状態であることを示している。しかし、パリティや角運動量を含む量子数は保存されると仮定されているため、少なくともゼロループ計算ではパイオンの崩壊は禁止される（単純に振幅がゼロになる）。クォークが質量を持つと仮定すると、カイラリティを破る崩壊が許容されるが、その大きさは正しくない。 （質量を持つスピノルの運動の定数はカイラリティではない。スピノルは伝播するにつれてカイラリティが変化するため、質量自体がカイラル対称性を破る項となる。質量の寄与はサザーランドとヴェルトマンの結果によって与えられ、「PCAC」、部分的に保存される軸性電流と呼ばれる。）1969年に提供されたアドラー・ベル・ジャキウの解析（およびスタインバーガーとシュウィンガーによる以前の形式）は、中性パイ中間子の正しい崩壊幅を提供する。

パイオンの崩壊を説明することに加えて、もう一つ非常に重要な役割があります。1ループ振幅には、ループ内を循環できるレプトンの総数を数える因子が含まれています。正しい崩壊幅を得るためには、クォークの世代が4世代以上ではなく、正確に3世代でなければなりません。このように、標準模型を制約する上で重要な役割を果たしています。自然界に存在しうるクォークの数を直接的に物理的に予測するのです。

現代の研究は、電弱理論の非自明な位相構造、すなわちスファレロンなど、さまざまな設定における同様の現象に焦点を当てている。その他の応用例としては、大統一理論（GUT）やその他の理論におけるバリオン数の非保存性の可能性などが挙げられる。

カイラル対称性を持つフェルミオンの理論の中には、量子化によってこの（全体的な）カイラル対称性が破れるものがある。その場合、カイラル対称性に関連する電荷は保存されない。この非保存は、ある真空から別の真空へのトンネル効果の過程で起こる。このような過程はインスタントンと呼ばれる。

フェルミオン粒子数の保存に関連する対称性の場合、そのような粒子の生成は次のように理解できます。トンネル効果が生じる2つの真空状態では粒子の定義が異なるため、一方の真空状態では粒子が存在しない状態は、もう一方の真空状態では粒子が存在する状態に対応します。特に、フェルミオンのディラック海が存在し、このようなトンネル効果が生じると、ディラック海のフェルミオンのエネルギー準位は、粒子では徐々に上昇し、反粒子では下降します（あるいはその逆）。これは、かつてディラック海に属していた粒子が実在の（正のエネルギーを持つ）粒子となり、粒子生成が起こることを意味します。

厳密に言えば、経路積分定式化において、異常対称性とは作用の対称性のことである。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$しかし、尺度μのものではなく、したがって生成関数のでもない

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }}$

量子化理論の（ℏはプランクの作用量子を2πで割った値）。${\displaystyle d\mu }$フェルミオン場に依存する部分から構成される${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$そしてその複素共役に依存する部分${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$両部分のカイラル対称性による変換は一般には相殺されない。注意すべき点として、${\displaystyle \psi }$がディラックフェルミオンである場合、カイラル対称性は次のように表すことができます。${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$どこ$\displaystyle \gamma ^{5}}$カイラルガンマ行列は${\displaystyle \psi }$式から${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$また、古典的な極限ℏ → 0では異常は発生しないことが明示的にわかる。なぜなら、この極限では、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$関連性を保ち続ける。

この異常は、フェルミオンが結合しているゲージ場のインスタントン数に比例する。（ゲージ対称性は常に異常を示さず、理論の整合性を保つために必要な条件として厳密に満たされていることに注意されたい。）

カイラル異常は、例えばスタインバーガーの「三角形図」のような1ループのファインマン図によって正確に計算でき、パイオン崩壊に寄与し、${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$この過程の振幅は、カイラル変換によるフェルミオン場の尺度の変化から直接計算できる。

ウェスとズミノは、ゲージ変換の下で分割関数がどのように振る舞うべきかに関する一連の条件を開発し、これをウェス・ズミノ整合性条件と呼んだ。

藤川は、アティヤ・シンガー指数定理を用いて、関数行列式と分配関数との対応関係からこの異常を導き出した。藤川の方法を参照のこと。

電弱相互作用の標準モデルには、バリオン生成を成功させるために必要な要素がすべて揃っているが、これらの相互作用はこれまで観測されたことがなく^{[ 12 ]} 、ビッグバン時の宇宙の初期バリオン数がゼロであれば、観測された宇宙の全バリオン数を説明するには不十分かもしれない。電荷共役の破れを超えて${\displaystyle C}$およびCP違反${\displaystyle CP}$（電荷＋パリティ）バリオン電荷違反は、アドラー・ベル・ジャキウ異常を通して 現れる。${\displaystyle U(1)}$グループ。

量子カイラル異常のため、バリオンは通常の電弱相互作用では保存されない。古典的な電弱ラグランジアンはバリオン電荷を保存する。クォークは常に双線形結合で現れる。${\displaystyle q{\bar {q}}}$つまり、クォークは反クォークとの衝突でのみ消滅する。言い換えれば、古典的なバリオン電流は${\displaystyle J_{\mu }^{B}}$保存される：

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

しかし、スファレロンとして知られる量子補正により、この保存則は破壊されます。この方程式の右辺にはゼロではなく、ゼロでない量子項が存在します。

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

ここで、Cは ℏ =0 のときにゼロになる数値定数です。

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

ゲージ磁場強度${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$式で与えられる

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

電弱スファレロンは、バリオン数および/またはレプトン数を3または3の倍数だけ変化させることができます（3つのバリオンが3つのレプトン/反レプトンに衝突し、その逆も同様）。

重要な事実は、異常電流の非保存はベクトル演算子の全微分に比例するということであり、${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$（これはゲージ場のインスタントン構成によりゼロにならない。インスタントン構成は無限遠では純粋なゲージである）、ここで異常電流$\displaystyle K_{\mu }}$は

${\displaystyle K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

これは、チャーン・サイモンズ3形式のホッジ双対である。

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