不変質量

不変質量、静止質量、固有質量、固有質量、または結合系の場合は単に質量は、物体または物体系の全質量のうち、系全体の運動とは無関係な部分である。より正確には、これは系の全エネルギーと運動量の特性であり、ローレンツ変換によって関連付けられるすべての参照フレームで同じである。^[1]系に運動量中心フレームが存在する場合、系の不変質量はその「静止フレーム」におけるその系の全質量に等しい。系の運動量がゼロでない他の参照フレームでは、系の全質量（別名相対論的質量）は不変質量よりも大きいが、不変質量は変化しない。

質量とエネルギーの等価性のため、システムの静止エネルギーは、不変質量に光速の二乗を掛けた値に過ぎません。同様に、システムの全エネルギーは、その全（相対論的）質量に光速の二乗を掛けた値に過ぎません。

4 元運動量がヌル ベクトルであるシステム(たとえば、単一の光子またはまったく同じ方向に移動する多数の光子)は、不変質量がゼロであり、質量がないと呼ばれます。光速よりも速く移動する物理的オブジェクトまたは粒子は、空間的な 4 元運動量 (仮説上のタキオンなど) を持ちますが、これらは存在しないようです。時間的な 4 元運動量はいずれも、運動量 (3 次元) がゼロである基準フレーム、つまり運動量フレームの中心を持ちます。この場合、不変質量は正であり、静止質量と呼ばれます。

システム内の物体が相対的に運動している場合、システム全体の不変質量は物体の静止質量の合計とは異なります。これは、システムの全エネルギーをc ²で割った値にも等しくなります。質量の定義については、質量とエネルギーの等価性を参照してください。システムの質量は、システム全体の運動量がゼロである運動量中心フレーム内の重量または質量スケールで測定する必要があるため、このようなスケールは常にシステムの不変質量を測定します。たとえば、スケールはガスのボトル内の分子の運動エネルギーを測定し、これをボトルの不変質量の一部と見なし、したがって静止質量も測定します。同じことが、このようなシステム内の質量のない粒子にも当てはまり、粒子のエネルギーに応じて、システムに不変質量と静止質量が追加されます。

孤立した質量の大きいシステムの場合、システムの質量の中心は、一定の光速以下の速度で直線上を移動します(速度は、システムを見るために使用される参照フレームによって異なります)。したがって、観測者は常にシステムと一緒に移動するように配置できます。このフレームは運動量中心フレームであり、総運動量はゼロであり、システムが束縛されたシステム (ガスのボトルなど) である場合、システム全体が「静止」していると考えられます。これらの仮定のもとに存在するこのフレームでは、システムの不変質量は、総システム エネルギー (運動量ゼロ フレーム内) をc ²で割った値に等しくなります。運動量中心フレーム内のこの総エネルギーは、さまざまな慣性フレームからさまざまな観測者から見た場合に、システムが持つと観測される 最小のエネルギーです。

上記の理由により、このような静止フレームは単一の光子、または一方向に移動する光線には存在しないことに注意してください。ただし、2 つ以上の光子が異なる方向に移動する場合は、質量中心フレーム (システムがバインドされている場合は「静止フレーム」) が存在します。したがって、異なる方向に移動する複数の光子のシステムの質量は正であり、これは、各光子に存在しない場合でも、このシステムには不変質量が存在することを意味します。

システムの不変質量には、運動量フレームの中心に残るシステム構成要素の運動エネルギーの質量が含まれるため、システムの不変質量は、個々の構成要素の不変質量 (静止質量) の合計よりも大きくなる場合があります。たとえば、静止質量と不変質量は、個々の光子がシステムの不変質量に質量を追加する場合でもゼロです。このため、不変質量は一般に加算量ではありません (ただし、位置エネルギーや運動エネルギーのないシステム内の質量の大きい粒子が全体の質量に追加される場合など、加算量になる稀な状況もあります)。

2 体系の単純なケースを考えてみましょう。ここでは、物体 A が、最初は静止している別の物体 B に向かって動いています (特定の参照フレーム内)。この 2 体系の不変質量の大きさ (以下の定義を参照) は、静止質量 (つまり、静止時のそれぞれの質量) の合計とは異なります。同じシステムを、正味の運動量がゼロである運動量中心フレームから考えたとしても、システムの不変質量の大きさは、システム内の粒子の静止質量の合計と等しくありません。

このような粒子の運動エネルギーと力場の位置エネルギーは、粒子の静止質量の合計を超えて総エネルギーを増加させ、両方の項がシステムの不変質量に寄与します。観測者によって計算された粒子の運動エネルギーの合計は、運動量フレームの中心で最小になります (システムがバインドされている場合は、「静止フレーム」と呼ばれます)。

これらは、1 つ以上の基本的な力を介して相互作用することが多く、相互作用の潜在エネルギー（負の場合もある）を与えます。

粒子物理学では、不変質量 m ₀は粒子の静止系における質量に等しく、任意の系で測定された粒子のエネルギー Eと運動量 pによって、エネルギー運動量関係式によって計算することができる。 または、c = 1、 $${\displaystyle m_{0}^{2}c^{2}=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}}$$$${\displaystyle m_{0}^{2}=E^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}.}$$

この不変質量は、すべての参照系で同じです(特殊相対性理論も参照)。この式は、不変質量が、空間次元と時間次元で異なる符号を持つピタゴラスの定理の相対論的バージョンを使用して計算された4 元ベクトル ( E、  p )の擬ユークリッド長さであることを示しています。この長さは、ベクトルの通常の長さが回転の下で保存されるのと同じように、4 次元でのローレンツブーストまたは回転の下でも保存されます。量子論では、不変質量は、素粒子の相対論的ディラック方程式のパラメーターです。ディラック量子演算子は、粒子の 4 元運動量ベクトルに対応します。

不変質量は崩壊中に保存される量から決定されるため、単一粒子の崩壊生成物のエネルギーと運動量を使用して計算された不変質量は、崩壊した粒子の質量に等しくなります。粒子系の質量は、次の一般式から計算できます。 ここで $${\displaystyle \left(Wc^{2}\right)^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} c\right\|^{2},}$$

• ${\displaystyle W}$は粒子系の不変質量であり、崩壊粒子の質量に等しい。
• ${\textstyle \sum E}$粒子のエネルギーの合計である
• ${\textstyle \sum \mathbf {p} }$粒子の運動量のベクトル和（運動量の大きさと方向の両方を含む）

不変質量という用語は、非弾性散乱実験でも使用されます。非弾性反応の総入射エネルギーが総検出エネルギーより大きい場合 (つまり、実験ですべての出射粒子が検出されない場合)、反応の不変質量 (「失われた質量」とも呼ばれます) Wは次のように定義されます (自然単位)。 $${\displaystyle W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.}$$

実験中に検出されなかった主要な粒子が 1 つある場合、不変質量のプロットでは、失われた粒子の質量で鋭いピークが表示されます。

一方向に沿った運動量を測定できない場合（つまり、失われたエネルギーからのみ存在が推測されるニュートリノの場合）、横方向の質量が使用されます。

2粒子衝突（または2粒子崩壊）では、不変質量（自然単位）の2乗は $${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}\right).\end{aligned}}}$$

運動量が角度を形成する 2 つの質量のない粒子で構成されるシステムの不変質量は、次の便利な式で表されます。 ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}$$

粒子加速器実験では、粒子の角度位置を方位角と擬似急速度 で定義することがよくあります 。さらに、横方向の運動量も通常測定されます。この場合、粒子が質量を持たないか、非常に相対論的である場合 ( )、不変質量は次のようになります。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle p_{T}}$${\displaystyle E\gg m}$$${\displaystyle M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}$$

静止エネルギー（静止質量エネルギーとも呼ばれる）は、粒子の不変質量に関連するエネルギーである。^{[2] [3]}

粒子の静止エネルギーは次のように定義されます。ここで は真空中の光速です。^{[2] [3] [4]}一般に、エネルギーの違いのみが物理的に意味を持ちます。^[5]${\displaystyle E_{0}}$$${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2},}$$${\displaystyle c}$

静止エネルギーの概念は、エネルギーと質量の等価性に関するアインシュタインの有名な結論を導く特殊相対性理論から導かれます。特殊相対性理論 § 相対論的力学と不変性を参照してください。

• 特殊相対論における質量
• 不変量（物理学）
• 横方向質量

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1975).場の古典理論: 第4版改訂英語版: 理論物理学講座第2巻。Butterworth Heinemann。ISBN 0-7506-2768-9。
• ハルゼン、フランシス、マーティン、アラン（1984）。クォークとレプトン：現代素粒子物理学入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-88741-2。