時間微分

時間微分とは、関数を時間に関して微分したものであり、通常は関数の値の変化率として解釈されます。^{[ 1 ]}時間を表す変数は通常次のように表記されます。${\displaystyle t}$。

時間微分を表すためにさまざまな表記法が用いられます。通常の（ライプニッツの）表記法に加えて、

$\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

特に物理学でよく使われる略記法の一つに「上付きドット」がある。

${\displaystyle {\dot {x}}}$

（これはニュートンの記法と呼ばれます）

高次の時間微分も使用されます。時間に関する2階微分は次のように表されます。

$\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

対応する略記法は${\displaystyle {\ddot {x}}}$。

一般的に言えば、ベクトルの時間微分は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]}$

は、その成分が元のベクトルの成分の導関数であるベクトルとして定義されます。つまり、

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].}$

時間微分は物理学における重要な概念です。例えば、位置の変化の場合${\displaystyle x}$、その時間微分${\displaystyle {\dot {x}}}$は速度であり、時間に関する2階微分は、${\displaystyle {\ddot {x}}}$は加速度です。さらに高次の導関数が使用されることもあります。位置の時間に関する3次導関数はジャークとして知られています。運動グラフと導関数を参照してください。

物理学における多くの基本方程式には、量の1次または2次時間微分が含まれる。また、科学における他の多くの基本量は、互いに時間微分の関係にある。

• 力は運動量の時間微分である
• 電力はエネルギーの時間微分である
• 電流は電荷の時間微分である

等々。

物理学においてよく見られる現象の一つに、速度や変位といったベクトルの時間微分があります。このような微分を扱う場合、大きさだけでなく方向も時間に依存することがあります。

例：円運動

例えば、円軌道上を運動する粒子を考えてみましょう。その位置は変位ベクトルによって与えられます。$\displaystyle r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}}$図で定義されているように、角度θと半径方向距離rに関連しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}}$

この例では、 θ = tと仮定します。したがって、任意の時刻tにおける変位（位置）は次のように表されます。

$\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}}$

この形式は、 r ( t )で記述される運動が半径rの円内にあることを示しています。なぜなら、r ( t )の大きさは次のように与えられるからです。

${\displaystyle |\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r}$

三角関数の恒等式sin ² ( t ) + cos ² ( t ) = 1を使用し、${\displaystyle \cdot }$これは通常のユークリッド幾何学における内積です。

この変位の形式を用いると、速度が求められます。変位ベクトルの時間微分が速度ベクトルです。一般に、ベクトルの微分は、それぞれが元のベクトルの対応する成分の微分である成分から構成されるベクトルです。したがって、この場合、速度ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}}$

したがって、位置の大きさ（つまり、経路の半径）が一定であっても、粒子の速度はゼロではない。速度は変位に垂直な方向を向いており、これは内積を用いて確認できる。

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.}$

加速度は速度の時間微分である。

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.}$

加速度は回転軸に向かって内向きに作用します。位置ベクトルとは反対方向、速度ベクトルとは垂直方向です。この内向きの加速度を向心加速度と呼びます。

微分幾何学では、量はしばしば局所共変基底に関して表現される 。${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ここで、i は次元の数を範囲とする。ベクトルの成分${\displaystyle \mathbf {U} }$このように表現すると、反変テンソルとして変換され、式で示される。${\displaystyle \mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}}$アインシュタインの総和規約を適用します。軌道に沿ったこれらの成分の時間微分を計算したい場合は、次のようになります。${\displaystyle \mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)}$不変微分という新しい演算子を定義できます${\displaystyle \delta }$反変テンソルを返し続けます: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}}$（と${\displaystyle x^{j}}$はj番目の座標であり、局所共変基底における速度の成分を捉え、${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$これらは座標系のクリストッフェル記号です。表記ではtへの明示的な依存性が省略されていることに注意してください。したがって、次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

同様に：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}}$

共変微分の観点から、$\displaystyle \nabla _{j}}$、 我々は持っています：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}}$

経済学では、さまざまな経済変数の進化に関する多くの理論モデルが連続時間で構築され、そのため時間微分が用いられます。^{[ 3 ]：第1～3章}1つの状況として、ストック変数とその時間微分であるフロー変数が挙げられます。例としては、次のものがあります。

• 純固定投資の流れは、資本ストックの時間微分である。
• 在庫投資の流れは、在庫残高の時間微分である。
• マネーサプライの成長率は、マネーサプライの時間微分をマネーサプライ自体で割った値である。

流量変数の時間微分がモデルに現れる場合がある。

• 生産量の成長率は、生産量のフローを時間微分したものを生産量そのもので割った値である。
• 労働力増加率は、労働力の時間微分を労働力そのもので割った値である。

そして、上記例とは異なり、通貨単位で測定されない変数の時間微分が現れる場合もある。

• 主要金利の時間微分が現れることがある。
• インフレ率とは、物価水準の上昇率、すなわち物価水準の時間微分を物価水準そのもので割った値である。

• 微分積分
• 微分表記法
• 円運動
• 求心力
• 空間微分
• 時間的レート