定義
連続充電 連続的な電荷分布。体積電荷密度ρ は単位体積あたりの電荷量（3次元）、表面電荷密度σ は単位表面積（円）あたりの電荷量で、外向き単位法線 n̂ を持ち、dは2つの点電荷間の 双極子モーメント であり、これらの体積密度は分極密度 P である。位置ベクトル rは 電場 を計算する点であり、r ′は 帯電物体内の点である。 連続電荷分布の定義は以下のとおりです。[ 5 ] [ 6 ]
線電荷密度は、微小電荷dQ (SI 単位: C ) と微小線要素 の比である。 λ q = d Q d ℓ 、 {\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,} 表面積 要素dSを使用する。 σ q = d Q d S 、 {\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,} 体積 要素dVを使用する ρ q = d Q d V 、 {\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}
定義を積分すると、線電荷密度λq ( r )を線または1次元曲線Cに沿って 線積分する ことにより、 領域の総電荷Qが得られます 。 Q = ∫ L λ q （ r ） d ℓ {\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell } q r ) の 表面積分は 、表面S 上で、 Q = ∫ S σ q （ r ） d S {\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS} ρq ( r の 体積積分 V 、 Q = ∫ V ρ q （ r ） d V {\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV} q は、密度が電荷の密度であり、質量密度 、数密度 、確率密度 などの他の密度ではないことを明確にし、電磁気学における波長 、電気抵抗率、導電率の λ 、σ 、ρ の他の多くの用途との衝突を防ぐためのものです。
電磁気学の分野では、簡略化のため添え字は通常省略され、λ 、 σ 、 ρと 表記 さ れます。その他の表記としては、 ρℓ 、ρs 、ρv 、ρL 、ρS ρV など が 。
総電荷を長さ、表面積、または体積で割った値が平均電荷密度となる。 ⟨ λ q ⟩ = Q ℓ 、 ⟨ σ q ⟩ = Q S 、 ⟨ ρ q ⟩ = Q V 。 {\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}
誘電体 材料においては、物体の総電荷は「自由電荷」と「束縛電荷」に分けられる。
束縛電荷は、印加された 電場 E に応答して電気双極子を形成し、近くの他の双極子を分極させて整列させようとする。双極子の向きによる正味の電荷の蓄積が束縛電荷である。束縛電荷と呼ばれるのは、取り除くことができないためである。誘電体材料では、電荷は原子核 に束縛された電子 である。[ 6 ]
自由電荷とは、 静電平衡状態 、すなわち電荷が移動しておらず、結果として生じる電場が時間に依存しない状態になる余剰電荷、または電流を構成する電荷 のことである。[ 5 ]
総電荷密度 体積電荷密度の観点から見ると、総 電荷密度は次のようになります。 ρ = ρ f + ρ b 。 {\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.} σ = σ f + σ b 。 {\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}
拘束された電荷 束縛表面電荷は誘電体 の表面に蓄積された電荷であり、表面に垂直な双極子モーメントによって与えられる。[ 6 ] q b = d ⋅ n ^ | s | {\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}} s は双極子を構成する点電荷間の距離であり、d {\displaystyle \mathbf {d} } は電気双極子モーメント です。n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 単位法線ベクトル です。
無限小 を取る： d q b = d d | s | ⋅ n ^ {\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} } dS で割ると、束縛表面電荷密度が得られる。 σ b = d q b d S = d d | s | d S ⋅ n ^ = d d d V ⋅ n ^ = P ⋅ n ^ 。 {\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.} P は分極密度 、すなわち材料内の電気双極子モーメントの密度であり、 dVは 微小体積要素 である。
発散定理 を用いると、材料内部の束縛体積電荷密度は q b = ∫ ρ b d V = − ∮ S P ⋅ n ^ d S = − ∫ ∇ ⋅ P d V {\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV} ρ b = − ∇ ⋅ P 。 {\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}
負の符号は、双極子内の電荷の符号が反対であること、一方の端が物体の内部にあり、もう一方の端が表面にあることによって生じる。
より厳密な導出は以下に示す。[ 6 ]
自由電荷密度 自由電荷密度は、電気に関するガウスの法則 を簡略化する上で有用な役割を果たします。その体積積分は、帯電した物体内に含まれる自由電荷であり、物体から放出される電束密度 D の正味のフラックスに等しくなります。
Φ D = {\displaystyle \Phi _{D}=} S {\displaystyle {\scriptstyle S}} D ⋅ n ^ d S = ∭ ρ f d V {\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV} 詳細については、マクスウェル方程式 と構成関係 を参照してください。
均一な電荷密度 電荷密度ρ₀ が 均一 で、位置に依存しない、つまり材料領域全体で一定である という特殊な場合、式は次のように簡略化されます。Q = V ρ 0 。 {\displaystyle Q=V\rho _{0}.}
証拠 まず、連続体積電荷密度の定義から始めましょう。 Q = ∫ V ρ q （ r ） d V 。 {\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}
次に、均質性の定義により、ρ q r ) は定数であり、ρ q , 0Q = ρ q 、 0 ∫ V d V = ρ 0 V {\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V} Q = V ρ q 、 0 。 {\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}
線電荷密度と表面電荷密度についても、同様の証明は上記と同じ議論に従う。
個別料金 3次元空間領域R 内の位置r₀ にある単一の点電荷q （ 電子 など） の場合、体積電荷密度はディラックのデルタ関数 で表すことができる。 ρ q （ r ） = q δ （ r − r 0 ） {\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})} r は電荷を計算する位置である。
いつものように、空間のある領域における電荷密度の積分は、その領域に含まれる電荷です。デルタ関数は、任意の関数fに対して シフト特性 を持ちます。 ∫ R d 3 r f （ r ） δ （ r − r 0 ） = f （ r 0 ） {\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})} R上で積分したときに、 R 内の総電荷がq になることを保証します。 Q = ∫ R d 3 r ρ q = ∫ R d 3 r q δ （ r − r 0 ） = q ∫ R d 3 r δ （ r − r 0 ） = q {\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}
これは、 N 個 の離散的な点状電荷キャリアに拡張できます。点r におけるシステムの電荷密度は、位置r i における各電荷q i の電荷密度の合計です。ここで、i = 1, 2, ..., N ρ q （ r ） = ∑ 私 = 1 N q 私 δ （ r − r 私 ） {\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}
合計に含まれる各電荷q i のデルタ関数δ ( r − r i ) は、 R 上の電荷密度の積分がR 内の総電荷を返すことを保証します。 Q = ∫ R d 3 r ∑ 私 = 1 N q 私 δ （ r − r 私 ） = ∑ 私 = 1 N q 私 ∫ R d 3 r δ （ r − r 私 ） = ∑ 私 = 1 N q 私 {\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}
すべての電荷キャリアが同じ電荷q を持つ場合(電子の場合はq = − e 、電子電荷 )、電荷密度は単位体積あたりの電荷キャリア数n ( r ) によって次のように表すことができます。 ρ q （ r ） = q n （ r ） 。 {\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}
線電荷密度と表面電荷密度についても同様の式が用いられる。
量子力学における電荷密度 量子力学 では、電荷密度ρq は 波動関数 ψ ( r )と次の式で関係付けられる。ρ q （ r ） = q | ψ （ r ） | 2 {\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}} q は粒子の電荷であり、| ψ ( r ) | ² = ψ *( r ) ψ ( r )確率密度関数、すなわち、 r に位置する粒子の単位体積あたりの確率です。波動関数が正規化されている場合、領域r ∈ R の平均電荷は次のようになります。Q = ∫ R q | ψ （ r ） | 2 d 3 r {\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} } d 3 r は3 次元位置空間における積分尺度 である。
同一のフェルミオンの系の場合、数密度は、各粒子の確率密度の合計として与えられます 。
n （ r ） = ∑ 私 ⟨ ψ | δ 3 （ r − r 私 ′ ） | ψ ⟩ {\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }
n （ r ） = ∑ 私 ∫ d 3 r 2 ⋯ ∫ d 3 r N Ψ * （ r 、 r 2 、 … 、 r 私 = r ′ 、 … 、 r N ） Ψ （ r 、 r 2 、 … 、 r 私 = r ′ 、 … 、 r N ） 。 {\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}
対称化条件を使用する:n （ r ） = N ∫ d 3 r 2 ⋯ ∫ d 3 r N Ψ * （ r 、 r 2 、 … 、 r N ） Ψ （ r 、 r 2 、 … 、 r N ） 。 {\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).} ρ q （ r ） = q ⋅ n （ r ） {\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}
系の位置エネルギーは次のように表されます。⟨ ψ | U | ψ ⟩ = ∫ V （ r ） n （ r ） δ 3 r {\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} } U e e [ n ] = J [ n ] = 1 2 ∫ δ 3 r ′ ∫ δ 3 r （ （ e n （ r ） ） （ e n （ r ′ ） ） | r − r ′ | ） = 1 2 ∫ δ 3 r ′ ∫ δ 3 r （ ρ （ r ） ρ （ r ′ ） | r − r ′ | ） {\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}
次に、ハートリー・フォック法を用いてエネルギーを以下のように求める。
E [ n ] = 私 + J − K {\displaystyle E[n]=I+J-K}
ここで、I は正電荷による電子の運動エネルギーと位置エネルギー、J は電子間相互作用エネルギー、K は電子の交換エネルギーである。[ 11 ] [ 12 ]
参考文献 ↑ PM Whelan 、MJ Hodgson (1978)。物理学の基本原理 （第2 版）。John Murray。ISBN 0-7195-3382-1 。 ↑ 「物理学2：電気と磁気、講義ノート、第2章、15-16ページ」 （PDF） 。MIT オープンコースウェア 。マサチューセッツ工科大学。2007年。 2017年 12月3日 取得 。 ↑ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2013). Physics for Scientists and Engineers, Vol. 2, 9th Ed . Cengage Learning. p. 704. ISBN 9781133954149 。1 2 パーセル、エドワード（2011年9月22日）。 電気と磁気 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 9781107013605 。1 2 I.S. Grant; WR Phillips (2008). 電磁気学 （第2 版）. マンチェスター物理学、John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9 。1 2 3 4 D.J. グリフィス (2007). 電磁気学入門 (第 3 版). ピアソン・エデュケーション、ドーリング・キンダースリー 。ISBN 978-81-7758-293-2 。↑ French, A. (1968). "8:相対性理論と電気". 特殊相対性理論 . WW Norton . pp. 229–265 . ↑モールド 、 リチャード A. (2001). 「ローレンツ力」。 基礎相対性理論 。 シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア 。ISBN 0-387-95210-1 。↑ Lawden, Derek F. (2012). An Introduction to Tensor Calculus: Relativity and Cosmology . Courier Corporation. p. 74. ISBN 978-0-486-13214-3 。↑ Vanderlinde, Jack (2006). "11.1: 4次元ポテンシャルとクーロンの法則". Classical Electromagnetic Theory . Springer Science & Business Media. p. 314. ISBN 1-4020-2700-1 。↑ 櫻井淳、ジム・ナポリターノ (2021). 現代量子力学 （第3 版）. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. pp. 443–453 . ISBN 978-1-108-47322-4 。↑ リトルジョン、ロバート G. 「原子におけるハートリー・フォック法」 (PDF) 。 ↑ RJ Gillespie & PLA Popelier (2001). "化学結合と分子幾何構造". Environmental Science & Technology . 52 (7). Oxford University Press: 4108– 4116. Bibcode : 2018EnST...52.4108E . doi : 10.1021/acs.est.7b06400 . PMID 29510032 . ↑ Razi Epsztein、Evyatar Shaulsky、Nadir Dizge、David M Warsinger、Menachem Elimelech (2018)。「一価陰イオンのナノろ過におけるイオン電荷密度依存性ドナン排除」 Environmental Science & Technology。52 ( 7 ) : 4108–4116。Bibcode : 2018EnST...52.4108E。doi : 10.1021 / acs.est.7b06400。PMID 29510032 。 {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
さらに読む A. ハルパーン (1988).物理学における3000の解答付き問題集 . シャウムシリーズ、マグロウヒル。ISBN 978-0-07-025734-4 。 G. ウォーン (2010). 『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック 。ISBN 978-0-521-57507-2 。 PA Tipler、G. Mosca (2008)。科学者と 技術者のための物理学 - 現代物理学付き （第6 版）。Freeman。ISBN 978-0-7167-8964-2 。 R.G.ラーナー 、G.L.トリッグ（1991）。物理学百科事典 （第2 版）。VHC出版社。ISBN 978-0-89573-752-6 。CBパーカー（1994）。マグロウヒル物理学百科事典 （第2 版）。VHC出版社。ISBN 978-0-07-051400-3 。 
![{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124f7c648c19be3891f69d030e3cfb3f5b3e349d)
![{\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c61eadb42c4989171e5ef887a6de161644cd3c)
![{\displaystyle E[n]=I+JK}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfbba8842f6360ac3023ba827b3cb6aa35aeea2)