ゲージ共変微分

物理学において、ゲージ共変微分は、物理現象を記述するために使用される座標系自体が場所によってどのように変化するかを考慮しながら、場所によって場がどのように変化するかを表現する手段です。ゲージ共変微分は、量子場理論や流体力学、そして非常に特殊な方法で一般相対性理論など、物理学の多くの分野で使用されています。

物理理論が局所フレームの選択に依存しない場合、局所フレームの変更のグループであるゲージ変換は、理論の物理的内容を変更せずに理論の場に作用します。場の成分の通常の微分は、局所フレームに依存するため、このようなゲージ変換の下では不変ではありません。ただし、ゲージ変換が場とゲージ共変微分に同時に作用する場合、ゲージ変換はフレームの選択に依存しない理論の特性を保存するため、物理学の有効な記述となります。一般相対性理論で使用される共変微分（特殊なケース）と同様に、ゲージ共変微分は、関係する場のフレームを選択した後の局所座標における 接続の表現であり、多くの場合、インデックス表記の形式です。

ゲージ共変微分を理解するには多くの方法があります。この記事で採用されているアプローチは、多くの物理学の教科書で使用されている歴史的に伝統的な表記に基づいています。^{[1] [2] [3]} 別のアプローチは、ゲージ共変微分を一種の接続、より具体的にはアフィン接続として理解することです。^{[4] [5] [6]アフィン接続は、}計量テンソルの概念を定義する必要がないため興味深いものです。アフィン接続の曲率は、ゲージポテンシャルの場の強度として理解できます。計量が利用できる場合は、別の方向に進み、フレームバンドル上の接続を定義できます。この道は一般相対論に直接つながりますが、計量が必要であり、粒子物理学の ゲージ理論には計量がありません。

アフィン幾何学と計量幾何学は互いの一般化ではなく、異なる方向に進みます。（擬似）リーマン幾何学のゲージ群は一般に不定直交群O(s,r) 、または時空に対してはローレンツ群O(3,1) でなければなりません。これは、フレームバンドルのファイバーが、定義により、必然的に時空の接線空間と余接空間を接続しなければならないためです。 ^[7]対照的に、素粒子物理学で使用されるゲージ群は、原理的には任意のリー群になり得ますが、実際には標準モデルはU(1)、SU(2)、およびSU(3)のみを使用します。リー群には計量が備わっていないことに注意してください。

さらに複雑ではあるが、より正確で幾何学的に啓発的なアプローチは、ゲージ共変微分が、ゲージ理論の主ファイバー束の関連バンドルのセクション上の外部共変微分と（正確に）同じものであると理解することです。 ^[8]また、スピノルの場合には、関連バンドルはスピン構造のスピンバンドルになります。^[9]概念的には同じですが、このアプローチでは非常に異なる表記法セットが使用され、微分幾何学の複数の分野ではるかに高度な背景知識が必要になります。

ゲージ不変性の幾何学化の最終段階は、量子論では主ファイバー束の隣接するファイバーを比較するだけでよく、ファイバー自体は余分な追加記述を提供することを認識することです。これは、ゲージ群を改造して、量子場理論におけるゲージ接続の最も近い記述であるゲージ群を得るというアイデアにつながります。^{[6] [10]}

通常のリー代数では、空間対称性（擬リーマン多様体と一般相対論の対称性）のゲージ共変微分は、内部ゲージ対称性と絡み合うことができません。つまり、計量幾何学とアフィン幾何学は必然的に異なる数学的主題です。これがコールマン-マンデュラ定理の内容です。しかし、この定理の前提はリー超代数（リー代数ではない！）によって破られており、単一の統一された対称性が空間対称性と内部対称性の両方を記述できるという希望が生まれています。これが超対称性の基礎です。

より数学的なアプローチでは、インデックスフリー表記法を使用し、ゲージ理論の幾何学的および代数的構造と、リー代数およびリーマン多様体との関係を強調します。たとえば、ゲージ共変性をファイバーバンドルのファイバー上の同変性として扱います。物理学で使用されるインデックス表記法は、理論の全体的な幾何学的構造をより不透明にしますが、実用的な計算にははるかに便利です。^{[7]物理学のアプローチには教育上の利点もあります。ゲージ理論の一般的な構造は、}多変数微分積分学 の最小限の背景知識があれば明らかになりますが、幾何学的なアプローチでは、一般的な理解を深める前に、微分幾何学、リーマン多様体、リー代数、リー代数の表現、主バンドルの一般理論に多大な時間を費やす必要があります。より高度な議論では、両方の表記法が混在していることがよくあります。

この記事では、物理学のカリキュラムで一般的に使用されている表記法と言語をより厳密に追跡し、より抽象的な関連性については簡単に触れるだけにします。

成分場に作用する一般的な（おそらく非アーベル的）ゲージ変換を考えます。場の理論の主な例はコンパクトなゲージ群を持ち、対称性演算子を と書きます。ここで は対称性変換のリー群に関連付けられたリー代数の要素であり、リー代数のエルミート生成元（つまり、ゲージ群の無限小生成元である係数 まで） によって と表すことができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi =(\phi _{a})_{a=1..n}}$${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)}}$${\displaystyle \alpha (x)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{t_{K}\}_{K\in {\mathcal {K}}}}$${\displaystyle \alpha (x)=\alpha ^{K}(x)t_{K}}$

フィールド上では ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi '(x)=U(x)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\phi (x),}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi {'}^{\dagger }\equiv \phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)=\phi ^ {\ダガー }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\ダガー }=U^{-1}.}$

偏微分は次のように変形される。 ${\displaystyle \partial _{\mu}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow \partial _{\mu }\phi '(x)=U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\部分 _{\μ }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\μ }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)}$。

したがって、ラグランジアン内の 形式の運動項はゲージ変換に対して不変ではありません。${\displaystyle \phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi }$

ゲージ不変性が成り立たない根本的な原因は、場を行ベクトルまたはインデックス表記で記述する際に、暗黙的に基底フレーム場、つまり、すべての場が 関数について（アインシュタインの総和を使用して） として一意に表現できるような場の集合を選択し、フレーム場が定数であると仮定していることです。局所的な（つまり従属的な）ゲージ不変性は、フレームの選択下での不変性と見なすことができます。ただし、1 つの基底フレームが他のゲージ同等物と同じくらい優れている場合、局所的なゲージ対称性を破ることなくフレーム場が一定であると仮定することはできません。 ${\displaystyle \phi =(\phi _{1},\ldots \phi _{n})}$ ${\displaystyle \phi _{a}}$${\displaystyle \varphi^{1}(x),\ldots ,\varphi^{n}(x)}$${\displaystyle \phi =\phi _{a}\varphi ^{a}}$${\displaystyle \phi _{a}(x)}$${\displaystyle \varphi^{a}}$${\displaystyle x}$

ゲージ共変微分は、フレームの選択に関して、フィールドの成分ではなくフィールドに直接作用する 偏微分の一般化として導入することができる。ゲージ共変微分は、積の規則を満たす演算子として定義される。${\displaystyle D_{\mu}}$${\displaystyle \partial _{\mu}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi _{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }(f\phi )=(\partial _{\mu }f)\phi +f(D_{\mu }\phi )}$

すべての滑らかな関数に対して（これが接続の定義特性です）。 ${\displaystyle f}$

指数表記に戻るには積の法則を使う

${\displaystyle D_{\mu }\phi =D_{\mu }(\phi _{a}\varphi ^{a})=(\partial _{\mu }\phi _{a})\varphi ^{ a}+\phi _{a}(D_{\mu }\varphi ^{a}).}$。

を固定すると、 は場なので、フレーム場に関して展開できる。したがって、ゲージ共変微分とフレーム場は（おそらく非アーベル的）ゲージポテンシャルを定義する。${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{\mu }\varphi ^{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }\varphi ^{a}=-igA_{\mu b}^{a}\varphi ^{b}}$

（因子はコンパクトゲージ群では慣例的であり、結合定数として解釈される）。逆に、フレームとゲージポテンシャルが与えられると、ゲージ共変微分が一意に定義される。すると、 ${\displaystyle -ig}$${\displaystyle \varphi ^{1},\ldots \varphi ^{n}}$${\displaystyle A_{\mu b}^{a}}$

${\displaystyle D_{\mu }\phi =(D_{\mu }\phi )_{a}\varphi ^{a}=(\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b})\varphi ^{a}}$。

抑制されたフレームフィールドでは、インデックス表記で次のように表される。

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b},}$

これは表記法の乱用により、次のように書かれることが多い。

${\displaystyle D_{\mu }\phi _{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b}}$。

これは物理学でよく使われるゲージ共変微分の定義である。^[11]

ゲージ共変微分は、共変微分が消えるという意味で、追加の構造を「一定」にする追加の条件を満たすと仮定されることが多い。例えば、フィールド上のエルミート積 （例えば、スピノルのディラック共役内積）があり、ゲージ群をユニタリ群に還元する場合、さらに次の条件を課すことができる。${\displaystyle h}$${\displaystyle {\bar {\phi }}\psi }$

${\displaystyle \partial _{\mu }h(\phi ,\psi )=h(D_{\mu }\phi ,\psi )+h(\phi ,D_{\mu }\psi )}$

エルミート積を「定数」にする。これを局所直交座標系 に関して書き表すと、${\displaystyle h}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\phi _{a}^{*}\psi _{a})=\sum _{a}(D_{\mu }\phi )_{a}^{*}\psi _{a}+\phi _{a}^{*}(D_{\mu }\psi )_{a}}$、

そして上記を用いると、 はエルミート行列でなければならない、すなわち（余分な因子 の理由となる）ことがわかる。エルミート行列は（因子 を除いて）ユニタリ群の生成元である。より一般的には、ゲージ共変微分が表現 で作用するゲージ群を保存する場合、ゲージ共変接続は次のように書ける。 ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu a}^{b}={A_{\mu b}^{a}}^{*}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu }^{K}\rho '(t_{K})_{a}^{b}\phi _{b}}$

ここで、は群表現に関連付けられたリー代数の表現です（同上）。 ${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

ゲージ共変微分（またはそのゲージポテンシャル）を物理的な場として含めると、「曲線の接線に沿ってゲージ共変微分がゼロの場」 となることに注意する。${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}\phi =({\frac {d}{dt}}\gamma ^{\mu })D_{\mu }\phi =0}$

は、（滑らかな）曲線に沿った場の定数の物理的に意味のある定義です。したがって、ゲージ共変微分は平行輸送を定義します（また、平行輸送によって定義されます） 。 ${\displaystyle \phi }$

偏微分とは異なり、ゲージ共変微分は交換しません。しかし、交換子が 2 次ではなく 0 次、つまり関数に対して線形であるという意味で、ほぼ交換します。

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }](f\phi )=(\partial _{\mu }\partial _{\nu }f)\phi +\partial _{\nu }fD_{\mu }\phi +\partial _{\mu }fD_{\nu }\phi +fD_{\mu }D_{\nu }\phi -(\mu \leftrightarrow \nu )=f[D_{\mu },D_{\nu }]\phi }$。

線形マップ

${\displaystyle F_{\mu \nu }=-1/(ig)[D_{\mu },D_{\nu }]}$

はゲージ場の強さと呼ばれる（引用文献参照）。指数表記では、ゲージポテンシャル

${\displaystyle F_{\mu \nu \,b}^{\ a}=\partial _{\mu }A_{\nu b}^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu b}^{a}-ig(A_{\mu c}^{a}A_{\nu b}^{c}-A_{\nu c}^{a}A_{\mu b}^{c})}$。

が G 共変微分である場合、後者の項を G のリー代数の交換子として、またリー代数の値として解釈することができます (loc. cit)。 ${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

ゲージ共変微分はゲージ変換の下で共変変換する。すなわち、すべての${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle D_{\mu }\phi (x)\rightarrow D'_{\mu }\phi '(x)=D'_{\mu }U(x)\phi (x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),}$

これは演算子形式では次のような形になる。

${\displaystyle D'_{\mu }U(x)=U(x)D_{\mu }}$

または

${\displaystyle D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{-1}(x).}$

特に（への依存を抑制する） ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -igF'_{\mu \nu }=[D'_{\mu },D'_{\nu }]=[UD_{\mu }U^{-1},UD_{\nu }U^{-1}]=U[D_{\mu },D_{\nu }]U^{-1}=-igUF_{\mu \nu }U^{-1}}$。

さらに、（添え字を省略し、行列の乗算に置き換えると）が上記の形式である場合、 は次のような形式になります。 ${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$${\displaystyle D'_{\mu }}$

${\displaystyle D'_{\mu }=\partial _{\mu }+(\partial _{\mu }U^{-1})U-igUA_{\mu }U^{-1}}$

または、 ${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)}}$

${\displaystyle D'_{\mu }=\partial _{\mu }-i\partial _{\mu }\alpha -igUA_{\mu }U^{-1}}$

これもこの形式です。

ユニタリゲージ群を持つエルミートの場合、 1次の項として 1次の微分作用素が見つかり、${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi \rightarrow \phi '^{\dagger }D'_{\mu }\phi '=\phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi .}$。

量子場の理論で重要な特定の種類の場を研究するゲージ理論では、局所ゲージ変換で不変なラグランジアンではさまざまな場が使用されます。運動項には場の微分が含まれており、上記の議論によりゲージ共変微分が含まれる必要があります。

電荷の複素スカラー場（すなわち）上のゲージ共変微分は接続です。ゲージポテンシャルは（1 x 1）行列、すなわちスカラーです。 ${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle \phi =\phi _{1}\varphi ^{1}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle (D_{\mu }\phi )_{1}=(\partial _{\mu }\phi _{1}-iqA_{\mu }\phi _{1})}$

ゲージ場の強度は

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

ゲージポテンシャルは電磁4元ポテンシャルとして、ゲージ場の強さは電磁場テンソルとして解釈することができます。これは場の電荷のみに関係し、磁気モーメントのような高次の多重極には関係しないため（ ^[12]に置き換えるため、緩く一意ではない方法）、これは最小結合と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle D_{\mu }}$

ディラックの電荷スピノル場の場合、共変微分も接続であり（ガンマ行列と交換する必要があるため）、次のように定義されます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (D_{\mu }\psi )_{\alpha }:=(\partial _{\mu }-iqA_{\mu })\psi _{\alpha }}$

ここで、 は再び電磁四元ポテンシャル、電磁場テンソルとして解釈されます。(マイナス記号はミンコフスキー計量シグネチャ(−, +, +, +)に有効な慣例であり、一般相対論では一般的で以下でも使用されます。素粒子物理学の慣例(+, −, −, −)ではです。電子の電荷は として負に定義され、ディラック場は として正に変換するように定義されます。) ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }}$${\displaystyle q_{e}=-|e|}$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).}$

ゲージ変換が次のように与えられると、

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi }$

ゲージポテンシャルについては

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )}$

すると、 ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )}$、

そして次のように変換する ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi }$

そして次のように変換する ${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}e^{-i\Lambda }}$

となることによって

${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

そしてQEDではラグランジアンはゲージ不変であり、ゲージ共変微分はそのように適切に命名されている。^[要出典]${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

一方、非共変微分はラグランジアンのゲージ対称性を維持しない。なぜなら、 ${\displaystyle \partial _{\mu }}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi }$。

量子色力学では、ゲージ共変微分は^[13]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig_{s}\,G_{\mu }^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }/2}$

ここで、は強い相互作用の結合定数、はグルーオンゲージ場、 は8つの異なるグルーオン、 は8つのゲルマン行列のうちの1つです。ゲルマン行列は、カラー対称群SU(3)の表現を与えます。クォークの場合、 表現は基本表現であり、グルーオンの場合、 表現は随伴表現です。 ${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \alpha =1\dots 8}$${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$

標準モデルにおける共変微分は、電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用を組み合わせたもので、次の形式で表現できる。^[14]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g'}{2}}Y\,B_{\mu }-i{\frac {g}{2}}\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{s}}{2}}\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }}$

ここでのゲージ場は、電弱リー群とカラー対称リー群SU(3)の積の基本表現に属します。結合定数は、ハイパーチャージとボソンの結合と、 3 つのベクトルボソンを介した弱いアイソスピンへの結合を提供します。これらの結合の成分は、ここではパウリ行列として書かれています。ヒッグス機構を介して、これらのボソン場は、質量のない電磁場と、3 つの質量のあるベクトルボソンおよびの場に結合されます。 ${\displaystyle U(1)\times SU(2)}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle W^{j}}$ ${\displaystyle (j=1,2,3)}$ ${\displaystyle \sigma _{j}}$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle W^{\pm }}$${\displaystyle Z}$

一般相対論における共変微分は、ゲージ共変微分の特別な例です。これは、接バンドル(またはフレームバンドル) 上のレヴィ・チヴィタ接続(特殊なリーマン接続)に対応します。つまり、接ベクトル場、またはより一般的にはテンソルに作用します。通常はではなくと記述されます。この特別なケースでは、(ローカル) 座標の選択によって偏微分 が得られるだけでなく、ベクトル場を として一意に表現できる接ベクトルのフレームとしても機能します(これは、積則を満たす滑らかな関数の演算子としてのベクトル場の定義、つまり微分を使用します)。したがって、この場合、「内部インデックスは空間時間インデックスでもあります」。わずかに異なる正規化 (および表記) を除けば、ゲージポテンシャルは、次で定義される クリストッフェル記号です。${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle D}$${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{d}}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle \partial _{1},\ldots \partial _{d}}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v=v^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle A_{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\partial _{\nu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\partial _{\lambda }}$。

これは共変微分を与える。

${\displaystyle (\nabla _{\mu }v)^{\nu }=(\nabla _{\mu }(v^{\lambda }\partial _{\lambda }))^{\nu }=((\partial _{\mu }v^{\lambda })\partial _{\lambda }+v^{\lambda }(\nabla _{\mu }\partial _{\lambda }))^{\nu }=\partial _{\mu }v^{\nu }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }v^{\lambda }}$。

ゲージ共変微分との形式的な類似性は、座標の選択がベクトル場のフレームの選択から切り離されている場合に、より明確になります。特にフレームが正規直交である場合、そのようなフレームは通常d-Beinと呼ばれます。 ${\displaystyle e_{1}=e_{1}^{\mu }\partial _{\mu },\ldots ,e_{d}=e_{d}^{\mu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle (\nabla _{\mu }v)^{n}=(\nabla _{\mu }(v^{\ell }e_{\ell }))^{n}=((\partial _{\mu }v^{\ell })e_{\ell }+v^{\ell }(\nabla _{\mu }e_{\ell }))^{n}=\partial _{\mu }v^{n}+\Gamma _{\mu \ell }^{n}v^{\ell }}$

ここで、ゲージ共変微分の「ゲージ自由度」の直接的な類似物は、時空内の各点における正規直交 d-Bein の選択の任意性、すなわち局所ローレンツ不変性^[要出典]である。しかし、この場合、レヴィ・チヴィタ接続の定義に対する座標選択のより一般的な独立性により、微分同相写像または一般座標不変性が得られる。 ${\displaystyle \nabla _{\mu }e_{m}=\Gamma _{\mu m}^{\ell }e_{\ell }}$

流体力学では、流体のゲージ共変微分は次のように定義される。

${\displaystyle \nabla _{t}\mathbf {v} :=\partial _{t}\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

ここで、は流体の速度ベクトル場である。 ^[要出典]${\displaystyle \mathbf {v} }$

• 運動量
• つながり（数学）
• 最小限の結合
• リッチ計算

• 神部 勉、「理想流体のゲージ原理と変分原理」。(PDF ファイル)