トポロジカル絶縁体

最もよく知られているトポロジカル絶縁体の中には、Bi ₂ Te _{3や Bi 2} Se ₃ (n 型熱電材料) および Sb ₂ Te ₃ (p 型熱電材料)との合金など、熱電材料でもあるものがあります。 ^{[ 34 ]}熱伝導率が低く、電気伝導率が高く、ゼーベック係数(すなわち、温度の増分変化による電圧の増分変化)が高い材料では、高い熱電変換効率が実現されます。トポロジカル絶縁体は、熱伝導率を低下させる傾向のある重い原子で構成されていることが多く、そのため熱電材料として有利です。最近の研究では、バンド反転によって引き起こされるバルクバンド構造の歪みにより、トポロジカル絶縁体で優れた電気特性 (すなわち、高い電気伝導率とゼーベック係数) が生じる可能性があることも示されています。^{[ 35 ]}多くの場合、電気伝導率とゼーベック係数は熱電材料の特性として相反するものであり、同時に最適化することは困難です。トポロジカル絶縁体におけるバンド反転によって誘発されるバンド歪みは、電子／正孔の実効質量を減少させ、バレー縮退度（すなわち、電荷輸送に寄与する電子バンドの数）を増加させることで、これら2つの特性を媒介することができる。その結果、トポロジカル絶縁体は一般的に熱電応用において有望な候補となる。

周期系は定義上、いくつかの並進に対して不変であり、周期ハミルトニアンの固有状態を、系を変化させない並進演算子の固有値で表すことができます。並進演算子の固有値は結晶運動量（または準運動量）と呼ばれ、通常は次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{1},k_{2},...,k_{d})}$（ここでdはシステムの次元数である）。これらの量子数は、自由粒子の波数ベクトルに類似した役割を果たす。結晶の周期性はk空間に周期性をもたらす。${\displaystyle \mathbf {k} }$そして${\displaystyle \mathbf {k} +\mathbf {G} }$、 どこ${\displaystyle \mathbf {G} }$は逆波数ベクトルであり、同じ状態（または状態の集合）を記述します。逆波数ベクトルを除いて等価でないすべての準運動量の集合は、ブリルアンゾーンと呼ばれます。^{[ 36 ]} ブリルアンゾーンの周期性の結果として、その反対側の辺または面は互いに同一視されるべきであり、したがってブリルアンゾーンは d 次元トーラスを記述します。$\displaystyle T^{d}}$[ ^{37 ]​}

最も簡単に記述できるトポロジカル絶縁体は、単位セルあたり2つの自由度（例えば2つの軌道）を持つ周期的な結晶絶縁体です。以下の説明の多くはこれらの系にのみ当てはまりますが、あらゆる結晶トポロジカル絶縁体に容易に一般化できます。2バンド系の注目すべき例としては、グラフェンやSu-Shrieffer-Heegerモデル（ポリアセチレンを記述）などがあります。セルの内側と外側の自由度を分離することで、波動関数を次のように記述できます。$${\displaystyle |\psi _{\mathbf {k} }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{m}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{m}}|m\rangle \otimes |\alpha \rangle \equiv |\mathbf {k} \rangle \otimes |\alpha \rangle }$$どこ${\displaystyle m}$単位格子にラベルを付けます。$\displaystyle \mathbf {R} _{m}}$格子ベクトルです。${\displaystyle N}$は単位セルの数（無限の場合もそうでない場合もある）であり、${\displaystyle |\alpha \rangle }$これは単位セルの内部状態であり、この場合、一般的に次のように記述できます。${\displaystyle |\alpha \rangle =a|A\rangle +b|B\rangle }$（ここで、AとBは内部自由度である）。^{[ 38 ]}ブロッホの定理により、この基底はハミルトニアンをブロック対角化する。そのようなブロックの1つは、${\displaystyle h_{\mathbf {k} }\equiv \langle \mathbf {k} |H|\mathbf {k} \rangle }$準運動量に対応する${\displaystyle \mathbf {k} }$は、$2×2$2バンドの場合のエルミート行列（この行列はしばしばブロッホ・ハミルトニアンと呼ばれる）。$2×2$エルミート行列はパウリ行列の線形結合として表すことができる。$\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2}}$そして$\displaystyle \sigma ^{3}}$そして単位行列。したがって、任意の2バンド周期ハミルトニアンは次のように書くことができる^{[ 38 ]}$${\displaystyle h_{\mathbf {k} }=d_{i}(\mathbf {k} )\sigma ^{i}+d_{0}(\mathbf {k} )I}$$ここで、繰り返しインデックスに対する総和が仮定される。$d_i$は3次元の実数値ベクトルであり、${\displaystyle I}$は単位行列です。この定式化の利点は、ハミルトニアンをベクトルとして見ることができることです。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$、そしてブリルアンゾーンのn次元部分集合は、n次元表面をパラメータ化する。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$この意味で、${\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},d_{2},d_{3})}$2つの空間間のマッピングとして：$${\displaystyle \mathbf {d} :T^{d}\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle T^{d}}$k空間に対応し、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$我々の場合は、空間に対応する${\displaystyle 2\times 2}$エルミート行列。さらに、このハミルトニアンの基底は、ベクトルのスカラー積と回転を実行することを可能にする。${\displaystyle \mathbf {d} }$後者は特に興味深い。${\displaystyle \sigma ^{3}}$斜めであるということは、 ${\displaystyle h_{\mathbf {k} }}$回転によって対角化できる${\displaystyle \mathbf {d} }$と並行する${\displaystyle z}$軸。したがって、次の形式のユニタリ行列が存在する。${\displaystyle R_{\mathbf {k} }=\exp[i\mathbf {\theta (\mathbf {k} } )\cdot {\frac {\mathbf {\sigma } }{2}}]}$そのため$${\displaystyle R_{\mathbf {k} }h_{\mathbf {k} }R_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\begin{pmatrix}|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}&0\\0&-|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}\end{pmatrix}}}$$どこ${\displaystyle \mathbf {\theta } (\mathbf {k} )}$は回転軸であり、その大きさが回転角を決定する。エネルギーは、次の事実から推測できる。${\displaystyle (h_{\mathbf {k} }-d_{0}I)^{2}=d_{i}d^{i}}$最も重要なのは回転です${\displaystyle R_{\mathbf {k} }}$方向のみに関係する${\displaystyle \mathbf {d} }$したがって、${\displaystyle h_{\mathbf {k} }}$それらはその大きさに依存しない。また、固有状態のみを含む量も同様である。

トポロジーとの関連性

そのような量の重要な例として、ベリー接続が挙げられる。$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha ,\beta }(\mathbf {k} )\equiv i\langle \psi _{\alpha }(\mathbf {k} )|\nabla _{\mathbf {k} }|\psi _{\beta }(\mathbf {k} )\rangle }$$どこ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$はバンド指数です。経路に沿ったその積分は幾何学的位相を与え、これはエネルギーの変化によるものではない断熱進化中に状態が得る位相に対応します。2次元材料では、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ブリルアンゾーン全体にわたる積分はホール伝導率を与え^{[ 39 ]} 、その積分は結晶の分極を計算するためにも使用できる^{[ 40 ]} 。ベリー接続はゲージ不変ではないが、閉じた経路にわたるその積分はゲージ不変であるため、積分のみとなることに注意されたい。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$閉じた領域における値は、観測可能な量に対応し得る。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$方向のみに依存する${\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )}$これは、d-トーラスからのマッピングと考えることができる。${\displaystyle T^{d}}$2次元球面へ${\displaystyle S^{2}}$[ ^{41 ]​}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{2}}$$させて${\displaystyle {\mathcal {O}}\in \mathbb {R} }$は、ベリー位相を積分することによって得られる物理的に観測可能な量である。${\displaystyle T^{d}}$ブリルアンゾーン（例えばホール伝導率）。これは複合マップとして見ることができる。${\displaystyle {\mathcal {O}}({\hat {\mathbf {d} }}(T^{d}))}$

$${\displaystyle {\mathcal {O}}:T^{d}\to S^{2}\to \mathbb {R} }$$したがって、そのような観測量は以下に依存する必要がある${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$考えてみましょう${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$そして${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}$2 つの連続マッピング${\displaystyle T^{d}}$に${\displaystyle S^{2}}$。 もし${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$滑らかに変形できる${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}$それらはホモトピー的に同値であると言われている。^{[ 42 ]}例えば、球面上のループは、次のような写像と考えることができる。${\displaystyle T^{d}=S^{1}}$は単位円であり、球面上のすべてのループは、すべて滑らかに一点に変形できるため、同値である。${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{1}}$これは、${\displaystyle \mathbf {d} }$が平面上にある場合（したがってブロッホハミルトニアンは 2 つのパウリ行列のみで構成される）、これはもはや当てはまりません。円上のすべてのループを一点に縮約できるわけではありません。ホモトピー的に同値な写像の集合を同値類と呼びます。多様体が与えられた場合${\displaystyle M}$、間の写像の同値類の集合${\displaystyle M}$そして${\displaystyle S^{n}}$写像の合成演算により、n 番目のホモトピー群と呼ばれる。${\displaystyle M}$と指摘した${\displaystyle \pi _{n}(M)}$[ ^{42 ]} 2バンドシステムに関連するホモトピー群^は${\displaystyle \pi _{2}(T^{d})}$そして${\displaystyle \pi _{1}(T^{d})}$ブリルアンゾーンの閉部分集合からのマッピングのみを考慮できるため（${\displaystyle T^{d}}$）2次元球面へ${\displaystyle S^{2}}$または円${\displaystyle S^{1}}$（これは、${\displaystyle S^{2}}$例えば、${\displaystyle S^{1}}$単位円、それから${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$: 円を円にマッピングすると、円の周囲に存在するループが得られます。このようなループは円の周りを整数回巻き付けることができ、巻き付け回数が異なるループは互いに変形できません。別の例は${\displaystyle \pi _{2}(S^{1})=\{I\}}$球面上のすべてのループは一点に滑らかに変形できるため、円から2次元球面へのすべての写像はホモトピー的に同値である。ホモトピー群の要素にラベルを付ける数を位相不変量と呼ぶ。円の第一ホモトピー群に対するそのような位相不変量の例として、前述の巻き数がある。 ^{[ 42 ]}この場合${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )=\cos(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {y} }}}$巻き数を計算する1つの方法${\displaystyle \nu }$は$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }d\phi (\mathbf {k} )}$$

トポロジカル絶縁体の合成は困難であり、固体材料でアクセス可能なトポロジカル相は限られている。^{[ 68 ]}このため、トポロジカル絶縁体と同じ原理をシミュレートするシステム上でトポロジカル相を探すことが奨励されている。フロケトポロジカル絶縁体（FTI）を作るために、離散時間量子ウォーク（DTQW）が提案されている。この 周期的に駆動されるシステムは、トポロジカルに非自明な有効（フロケ）ハミルトニアンをシミュレートする。^{[ 69 ]}このシステムは、1次元から3次元までのトポロジカル絶縁体の普遍的なクラスの有効ハミルトニアンを再現する。^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} 興味深いことに、フロケトポロジカル絶縁体のトポロジカル特性は、外部磁場ではなく外部周期駆動によって制御できる。距離選択的リュードベリ相互作用によって強化された原子格子は、1、2、または3次元の数百のサイトとステップにわたって、異なるクラスのFTIをシミュレートできる。^{[ 73 ]}長距離相互作用により、トポロジカルに秩序付けられた周期境界条件を設計することができ、実現可能なトポロジカル相をさらに豊かにする。^{[ 73 ]}

トポロジカル絶縁体は、金属有機化学気相成長法（MOCVD）などのさまざまな方法を使用して成長させることができます。 ^{[ 74 ]}

物理蒸着（PVD）^{[ 75 ]} 、溶媒熱合成^{[ 76 ]} 、 超音波化学技術^{[ 77 ]} 、および分子線エピタキシー

(MBE)。^{[ 52 ]} MBEはこれまで最も一般的な実験手法でした。薄膜トポロジカル絶縁体の成長は弱いファンデルワールス相互作用によって支配されます。^{[ 78 ]}弱い相互作用により、薄膜をバルク結晶から剥離して、きれいで完璧な表面を得ることができます。エピタキシーにおけるファンデルワールス相互作用は、ファンデルワールスエピタキシー（VDWE）としても知られており、異なるまたは同じ元素の層状材料間の弱いファンデルワールス相互作用によって支配される現象です^{[ 79 ]}。この現象では、材料が互いに積み重ねられています。このアプローチにより、ヘテロ構造や集積回路用の他の基板上に層状トポロジカル絶縁体を成長させることができます。^{[ 79 ]}

分子線エピタキシー（MBE）は、結晶性基板上に結晶性材料を成長させて規則的な層を形成するエピタキシー法です。MBEは高真空または超高真空下で行われ、元素は様々な電子ビーム蒸着装置で加熱されて昇華します。その後、気化した元素はウェハ上に凝縮し、互いに反応して単結晶を形成します。

MBEは、高品質の単結晶薄膜を成長させるのに適した技術です。大きな格子不整合や界面の欠陥を避けるために、基板と薄膜は類似した格子定数を持つことが望ましいです。MBEは、合成が高真空中で行われるため汚染が少なくなるという点で、他の方法よりも優れています。さらに、成長速度や基板界面に存在する原料の比率を制御できるため、格子欠陥が低減されます。^{[ 80 ]}また、MBEでは、サンプルを層ごとに成長させることができ、その結果、エンジニアリングされたヘテロ構造のための滑らかな界面を持つ平坦な表面が得られます。さらに、MBE合成技術は、トポロジカル絶縁体サンプルを成長チャンバーから角度分解光電子分光法（ARPES）や走査トンネル顕微鏡（STM）などの特性評価チャンバーに簡単に移動できるという利点があります。^{[ 81 ]}

^{弱いファンデルワールス結合により格子整合条件が緩和されるため、TIはSi(111) [ 82 ]}やAl ^{[ 83 ] [ 84 ]} などの様々な基板上に成長させることができる。₂ O₃、GaAs(111)、 ^{[ 85 ]} InP(111)、CdS(0001)およびY₃ Fe₅ O₁₂ .

物理蒸着（PVD）法は、剥離法の欠点がなく、同時に、分子線エピタキシーによる完全制御成長よりもはるかに簡便で安価です。PVD法は、トポロジカル絶縁体（例えばBi）を含む様々な層状準二次元材料の単結晶を再現性よく合成することを可能にします。₂ Se₃、Bi₂ Te₃ ) ^{[ 86 ]}得られた単結晶は明確な結晶学的配向を持ち、その組成、厚さ、サイズ、および所望の基板上の表面密度を制御できます。厚さの制御は、通常、自明な（バルク）電子チャネルが輸送特性を支配し、トポロジカル（表面）モードの応答を覆い隠す3D TIにとって特に重要です。厚さを減らすことで、自明なバルクチャネルの全伝導への寄与が減り、トポロジカルモードが電流を運ぶようになります。 ^{[ 87 ]}

トポロジカル絶縁体の同定の最初のステップは、合成直後、つまり真空を破ってサンプルを大気中に移動させる前に行われます。これは、角度分解光電子分光法（ARPES）または走査トンネル顕微鏡（STM）技術を使用して行うことができます。^{[ 81 ]}さらに、X線回折やエネルギー分散分光法などの構造および化学プローブによる測定も行われますが、サンプルの品質によっては、感度不足が残る可能性があります。輸送測定では、トポロジカル絶縁体を一意に特定することはできません。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$状態の定義によるトポロジー。