グラスマン数

数理物理学において、グラスマン数は、ヘルマン・グラスマンにちなんで名付けられ（反可換数または超数とも呼ばれる）、複素ベクトル空間の外積分系の元である。 ^[1] 1次元代数の特殊な場合は双対数として知られている。グラスマン数は、物理学においてフェルミオン場の経路積分表現を表現するために初期に使用されていたが、現在では超対称性が構築される超空間の基礎として広く使用されている。

グラスマン数は、反交換要素またはオブジェクトによって生成されます。反交換オブジェクトの考え方は、数学の複数の領域で発生します。これらは通常、微分幾何学で見られ、そこでは微分形式は反交換です。微分形式は通常、多様体上の微分によって定義されます。ただし、基礎となる多様体の存在を「忘れる」または「無視する」状況、および形式が微分として定義されていることを「忘れる」または「無視する」状況を想定し、代わりに、反交換オブジェクトがあり、他の事前定義または前提となるプロパティがない状況を単純に想定することができます。このようなオブジェクトは代数、具体的にはグラスマン代数または外積代数を形成します。

グラスマン数はその代数の要素です。「数」という呼称は、それらが「普通の」数とそれほど変わらない振る舞いをするという事実によって正当化されます。それらは加算、乗算、除算することができ、ほとんど体のように振る舞います。さらに、グラスマン数の多項式を考えれば、正則関数というアイデアにつながります。そのような関数の導関数を取り、さらに反導関数も考えることができます。これらのアイデアはそれぞれ注意深く定義することができ、通常の数学の同等の概念とかなりよく対応しています。類似性はそれだけではありません。超数学の分野全体があり、ユークリッド空間の類似物は超空間、多様体の類似物は超多様体、リー代数の類似物はリー超代数などです。グラスマン数は、これらすべてを可能にする基礎となる構成要素です。

もちろん、他の分野、あるいは環に対しても同様のプログラムを追求することができ、これは実際に数学では広く一般的に行われています。しかし、反交換挙動はフェルミオンの量子力学的挙動と強く同一視できるため、超数学は物理学において特別な意味を持ちます。反交換はパウリの排他原理の反交換です。したがって、グラスマン数、そして一般に超数学の研究は、物理学におけるその有用性によって強く推進されています。

具体的には、量子場の理論、またはより狭義には第二量子化では、多粒子量子状態を作成するラダー演算子を使用します。フェルミオンのラダー演算子は、パウリの排他原理によって強制されるため、必然的に反対称波動関数を持つ場の量子を作成します。この状況では、グラスマン数は、いくつかの（通常は不定の）フェルミオンを含む波動関数に直接的かつ直接的に対応します。

フェルミオンの数が固定かつ有限である場合、反交換関係とスピノルとの間の明示的な関係は、スピン群によって与えられる。この群は、クリフォード代数における単位長さベクトルのサブセットとして定義することができ、反交換ワイルスピノルに自然に因数分解される。反交換とスピノルとしての表現は、どちらもスピン群に対して自然に生じる。本質的に、グラスマン数は、スピンから生じる関係を捨て、反交換による関係のみを保持するものと考えることができる。

グラスマン数は、 n 個のグラスマン変数またはグラスマン方向またはスーパーチャージの集合によって生成される外積代数 の個々の要素または点であり、nは無限大になる可能性がある。「グラスマン変数」という用語の使用は歴史的なものであり、それ自体は変数ではなく、単位代数の基本要素として理解する方が適切である。この用語は、主な用途が積分を定義することであり、積分の変数がグラスマン値であるため、言葉の誤用によりグラスマン変数と呼ばれるという事実に由来する。同様に、方向の概念は、通常のユークリッド空間が追加のグラスマン値の「方向」で拡張される超空間の概念に由来する。電荷の名称は、物理学における電荷の概念に由来し、これは物理的対称性の生成元に対応する (ノイマンの定理による)。認識されている対称性は、単一のグラスマン変数による乗算によってフェルミオンとボソンの順序が入れ替わることです。これについては、以下で詳しく説明します。 ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

グラスマン変数は、ベクトル空間（ n次元）の基底ベクトルです。これらは体 上の代数を形成します。体 は通常は複素数とみなされますが、実数などの他の体も考えられます。代数は単位代数であり、生成元は反可換です。

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

は複素数上のベクトル空間の元なので、定義により複素数と可換である。つまり、複素数xに対して、 ${\displaystyle \theta_{i}}$

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

生成子の二乗は消えます:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$以来${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

言い換えれば、グラスマン変数はゼロの 非ゼロ平方根です。

形式的には、V を基底 を持つn次元複素ベクトル空間とする。グラスマン変数が であるグラスマン代数は、 Vの外積代数として定義され、すなわち ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

ここで は外積、は直和です。この代数の個々の要素はグラスマン数と呼ばれます。定義が確立されると、グラスマン数を書くときにくさび記号を省略するのが標準です。一般的なグラスマン数は次のように書くことができます。 ${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \wedge}$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

ここで、 は厳密に増加するk組で、 は階数kの複素完全反対称テンソルです。また、、（ の条件付き）、およびより大きな有限積は、 の部分空間の基底ベクトルの役割を果たしていることがわかります。 ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \Lambda}$

n 個の線形独立グラスマン変数によって生成されるグラスマン代数の次元は2 ⁿです。これは、上記の和に適用される二項定理と、上記の反交換関係により、変数の( n + 1)重積が必ずゼロになるという事実から生じます。 の次元は、 nから二項係数kを選択することにより与えられます。 n = 1の特殊なケースは双対数と呼ばれ、 1873 年にウィリアム クリフォードによって導入されました。 ${\displaystyle \Lambda^{k}V}$

Vが無限次元 の場合、上記の級数は終了せず、次のように定義される。

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

一般的な要素は今

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

ここで、は超数の本体や魂と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle z_{B}}$${\displaystyle z_{S}}$ ${\displaystyle z}$

有限次元の場合（同じ用語を使用）魂は冪零であり、すなわち

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

しかし、無限次元の場合は必ずしもそうではない。^[2]

Vが有限次元の 場合、

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

そしてVが無限次元の場合^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

文献には、2つの異なる種類の超数が一般的に登場します。1つは有限個の生成元（通常はn = 1、2、3、または4）を持つ超数で、もう1つは可算無限個の生成元を持つ超数です。これら2つの状況は、一見すると無関係に思えるかもしれませんが、それほど無関係ではありません。まず、超多様体の定義において、1つの変種では可算無限個の生成元を使用しますが、次元を小さな有限数に効果的に削減するトポロジーを採用しています。^{[4] [5]}

他のケースでは、有限の数のジェネレータから始めても、第 2 の量子化の過程で、フェルミオンが運ぶ可能性のあるすべての運動量ごとに 1 つずつ、無限の数のジェネレータが必要になります。

グラスマン数の定義体としては通常、実数ではなく複素数が選ばれます。これは、共役や反転が導入されたときに奇妙な動作を回避するためです。グラスマン数には、次のような演算子 * が導入されるのが一般的です。

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

がジェネレータであり 、${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

次に、となるグラスマン数zを考え、これらを（超）実数と呼び、 に従うものを（超）虚数と呼ぶことができます。これらの定義は、グラスマン数が実数を基本体として使用する場合でも問題なく適用されます。ただし、そのような場合、生成元の数が 4 未満であれば、多くの係数が強制的に消滅します。したがって、慣例により、グラスマン数は通常、複素数上で定義されます。 ${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle z^{*}=-z}$

他の規則も可能であり、上記の規則は DeWitt 規則と呼ばれることもあります。Rogers は反転にこれを採用しています。この規則では、実数スーパー数は常に実数係数を持ちますが、DeWitt 規則では、実数スーパー数は実数係数と虚数係数の両方を持つ場合があります。ただし、通常は DeWitt 規則を使用するのが最も簡単です。 ${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

奇数のグラスマン変数の積は互いに反交換します。このような積はしばしばa 数と呼ばれます。偶数のグラスマン変数の積は（すべてのグラスマン数と）交換します。これらはしばしばc 数と呼ばれます。用語の誤用により、a 数は反交換 c 数と呼ばれることがあります。この偶数と奇数の部分空間への分解により、代数に次数が割り当てられます。したがって、グラスマン代数は超可換代数の典型的な例です。c 数は の部分代数を形成しますが、a 数は形成しないことに注意してください（これらは部分空間であり、部分代数ではありません）。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

グラスマン数の定義により、複素数の解析と同様に数学的解析を実行できます。つまり、超正則関数を定義したり、導関数を定義したり、積分を定義したりすることができます。基本的な概念のいくつかは、双対数に関する記事でより詳細に説明されています。

一般的なルールとして、通常の数学的実体の超対称類似体を定義するには、無限の数の生成元を持つグラスマン数を扱う方が通常は簡単です。ほとんどの定義は単純になり、対応するボゾン定義から引き継ぐことができます。たとえば、単一のグラスマン数は、1次元空間を生成するものと考えることができます。すると、ベクトル空間、つまりm次元の超空間は、これらの 1 次元のm倍の直積として現れます^{[明確化が必要]これは本質的に}m個の生成元を持つ代数と同等であることが示されますが、これには作業が必要です。^{[6] [明確化が必要]}${\displaystyle \Lambda .}$

スピノル空間は、ワイルスピノル（および反スピノル）の空間のグラスマン代数または外積代数として定義され、 n 個のフェルミオンの波動関数は に属します。 ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

グラスマン数に対する積分はベレジン積分（グラスマン積分と呼ばれることもある）として知られています。フェルミ場の経路積分を再現するには、グラスマン積分の定義に次の特性が必要です。

• 直線性$${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• 部分積分式$${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

さらに、任意の関数のテイラー展開は2項で終了する。なぜなら 、量子場理論ではさらに積分変数のシフトに対する不変性が要求されるからである。${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$${\displaystyle \theta ^{2}=0}$${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

この条件を満たす唯一の線形関数は定数（通常は1）のB倍であるため、ベレジンの定義^[7]

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

この結果、グラスマン量の積分には次の規則が適用されます。

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

したがって、グラスマン数の積分と微分の操作は同一であると結論付けられます。

量子場理論の経路積分定式化では、フェルミオン反交換場に対してグラスマン量の次のガウス積分が必要であり、 A はN  ×  N行列である。

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$。

複数のグラスマン数を積分するときには曖昧さが生じる。最も内側の積分を最初に実行する慣例により、

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

一部の著者は、演算子のエルミート共役に似た複素共役も定義している。^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

追加の条約により

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

θとθ*を独立したグラスマン数として扱い、

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

したがって、ガウス積分は次のように評価される。

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

そして、 θθ*という追加の因子は、通常のガウス分布と同様に、 実質的に(1/b)という因子を導入する。

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

ユニタリー性を証明した後、固有値b _iを持つエルミート行列Bを含む一般ガウス積分を評価できる。^{[8] [9]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

グラスマン数は行列で表すことができます。たとえば、2 つのグラスマン数と によって生成されるグラスマン代数を考えてみましょう。これらのグラスマン数は 4×4 行列で表すことができます。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

一般に、 n個の生成子上のグラスマン代数は、2 ⁿ × 2 ⁿの正方行列で表すことができます。物理的には、これらの行列は、占有数基底におけるn 個の同一のフェルミオンのヒルベルト空間に作用する上昇演算子と考えることができます。各フェルミオンの占有数は 0 または 1 であるため、2 ^{n 個の}可能な基底状態があります。数学的には、これらの行列は、グラスマン代数自体の左外部乗算に対応する線形演算子として解釈できます。

グラスマン数にはいくつかの一般化があります。これには、次のようなN変数に関する規則が必要です。

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

ここで、インデックスはすべての順列にわたって合計され、結果として次のようになります。

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

となる。これらは、 N > 2 であるNテンソルの超行列式 を計算する場合 や、2 より大きいべき乗の多項式の判別式を計算する場合に有用である。Nが無限大に近づく極限ケースもあり、その場合には数に対して解析関数を定義できる。例えば、N  = 3 の場合、単一のグラスマン数は行列で表すことができる。

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

つまり、2つのグラスマン数の場合、行列のサイズは10×10になります。 ${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

たとえば、 グラスマン変数が 2 つある N = 3 の規則は次のようになります。

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

そうすれば、

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

など

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

これは2×2×2テンソルの 超行列式の定義を次のように与える。

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

• グラスマン
• ヘルマン・グラスマン（言語学者、数学者）
• 超空間
• 外積代数

• デウィット、B. (1984)。『超多様体』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42377-5。
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995).量子場理論入門(第 5 版 (訂正) 印刷). マサチューセッツ州レディング: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975。
• ロジャース、アリス(2007a)。超多様体:理論と応用(PDF)。ワールドサイエンティフィック。第 1 章。doi : 10.1142/1878。ISBN 978-981-3203-21-1。
• ロジャース、アリス(2007)。『超多様体：理論と応用』。ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-3203-21-1。