最小限の結合

解析力学と量子場の理論において、最小結合とは、電荷分布のみが関与し、電荷分布の高次多重極モーメントは関与しない場間の結合を指す。この最小結合は、例えば、電子の磁気モーメントをラグランジアン内に直接含めるパウリ結合とは対照的である。^[1]

電気力学では、すべての電磁相互作用を説明するには、最小限の結合で十分です。粒子のより高いモーメントは、最小限の結合とゼロでないスピンの結果です。

デカルト座標では、電磁場内の非相対論的古典粒子のラグランジアンは次のようになります（ SI単位系）。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

ここで、qは粒子の電荷、 φは電気スカラーポテンシャル、A _i、i = 1、2、3は磁気ベクトルポテンシャルの成分であり、すべて明示的におよびに依存する場合があります。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$

このラグランジアンはオイラー・ラグランジュ方程式と組み合わされ、ローレンツ力の法則 を生み出す。

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

これを最小結合と呼びます。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの値はゲージ変換中に変化し、^[2]ラグランジアン自体も余分な項を拾いますが、ラグランジアン内の余分な項はスカラー関数の全時間微分に加算されるため、同じオイラー-ラグランジュ方程式が生成されます。

正準運動量は次のように与えられる。

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

正準運動量はゲージ不変ではなく、物理的に測定できないことに注意する。しかし、運動量

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

ゲージ不変であり、物理的に測定可能です。

したがって、ハミルトニアンはラグランジアンの ルジャンドル変換として、

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

この方程式は量子力学で頻繁に使用されます。

ゲージ変換の下では、

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

ここで、f ( r , t ) は空間と時間の任意のスカラー関数であり、前述のラグランジアン、正準運動量、ハミルトニアン変換は次のように表される。

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=Hq{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

それでも同じハミルトン方程式が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

量子力学では、波動関数はゲージ変換中に 局所 U(1)群変換^[3]も受けるため、すべての物理的結果は局所U(1)変換に対して不変でなければならないことを意味する。

粒子（静止質量mおよび電荷q ）の相対論的ラグランジアンは次のように与えられます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

したがって、粒子の正準運動量は

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\ドット {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

つまり、運動量と位置運動量の合計です。

速度を解くと、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

つまりハミルトニアンは

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2 }c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

この結果、力の方程式（オイラー・ラグランジュ方程式に相当） が得られる。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

そこから導き出される

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

上記の導出ではベクトル計算の恒等式を利用しています。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

相対論的（運動）運動量の関数としてのハミルトニアンの同等の表現は、P = γm ẋ ( t ) = p - q Aであり、

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

これには、運動運動量P は実験的に測定できるのに対し、正準運動量p は測定できないという利点があります。ハミルトニアン (全エネルギー) は、相対論的エネルギー(運動+静止) E = γmc ²と位置エネルギーV = eφの合計として見ることができることに注意してください。

宇宙論的インフレーションの研究では、スカラー場の最小結合は通常、重力との最小結合を指します。これは、インフレーション場 の作用がスカラー曲率と結合していないことを意味します。重力との唯一の結合は、計量 （プランク単位）から構築されたローレンツ不変測度との結合です。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

ここで、ゲージ共変微分を利用する。 ${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$