基数

カーディナリティは集合の固有の性質であり、その大きさ、つまりおおよそ含まれる個々のオブジェクトの数を定義します。[ 1 ^{]しかし、}根本的には、要素の数を参照したり、そもそも数を定義したりすることなく、2 つの集合のカーディナリティを比較できるため、数や計数の概念とは異なります。たとえば、上の図では、リンゴの集合とオレンジの集合が比較されており、すべての果物がちょうど 1 回使用されているため、それぞれの個数がわからなくても、これら 2 つの集合のカーディナリティは同じであることがわかります。^{[ 2 ]}このように、カーディナリティは、いわゆる1 対 1 対応で集合を配置することによって測定されます。つまり、一方の集合の各オブジェクトは、もう一方の集合の専用の「ペア」に割り当てられ、どちらの集合からもペアになっていないオブジェクトは残されません。可能であれば、集合のカーディナリティは同じであると言われ、そうでない場合は、一方の集合が他方の集合より厳密に大きいか厳密に小さいと言われます。 ^{[ 3 ]}

基数の基本概念は、集合と関数という観点から展開されますが、これらは数学以外の分野における対応する概念よりも抽象的です。非公式には、集合はオブジェクトの任意の集まりとして理解でき、通常は中括弧で表されます。例えば、${\displaystyle S=\{1,2,3\}}$⁠ は、セットを指定します。${\displaystyle S}$⁠、数字の 1、2、3 が含まれています。記号⁠${\displaystyle \in }$⁠は集合のメンバーシップを表します。例： ⁠${\displaystyle 1\in S}$⁠は「1は集合の要素である」と述べている。${\displaystyle S}$⁠「これは定義により真実である」${\displaystyle S}$上。ここ${\displaystyle S}$は有限ですが、それは一般的には必須条件ではありません。集合の唯一の要件は、それが明確に定義されていることです。つまり、任意のオブジェクトに対して、${\displaystyle x}$⁠、 を判断できます⁠${\displaystyle x}$そのセットに属する${\displaystyle (x\in S)}$⁠、または⁠${\displaystyle x}$そのセットには属していません${\displaystyle (x\notin S)}$無限集合の一例として、すべての自然数の集合が挙げられる。${\displaystyle \{1,2,3,\cdots \}}$⁠ . ^{[ 4 ] [ a ]}

関数、または対応関係は、ある集合の各要素を別の集合の一意の要素にマッピングするもので、多くの場合、矢印図で表されます。たとえば、隣の表は、自然数の集合を文字の集合にマッピングするいくつかの関数を示しています。関数が2つの要素を同じ場所にマッピングしない場合、それは単射と呼ばれます。関数が出力集合のすべての要素をカバーする場合、それは全射と呼ばれます。関数が単射かつ全射である場合、それは全単射または1対1対応と呼ばれます。関数は、矢印図を描けるものに限定されず、関数が適切に定義されている限り、関数は定義されます。つまり、考えられるすべての入力に対して、出力が定義されます。たとえば、次のような関数を定義できます。${\displaystyle f}$自然数に2を掛けることによって：${\displaystyle f(1)=2,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(2)=4,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(3)=6,\dots \,}$⁠ ⁠${\displaystyle f(n)=2n\dots }$[ ^{6 ]​}

基数性という用語は、後期ラテン語のcardo (「蝶番にする」)に由来し、文字通りにも比喩的にも中心または要となるものを指していました。これが中世ラテン語を経て英語に伝わり、cardinal は、ある意味で基本的であると考えられるものを表すようになりました。例えば、重大な罪、主要な方向、そして (言語学では) 基数などです。[7][8] 最後の基数は、数えるために使用される数 (例えば、1、2、3 )を指し、 [ 9 ]^{順序を表す序数(}例えば、1、2、3番目) [ ^{10 ]や}、意味を持た^{ないラベル付け}に使用される名目数(例えば、ジャージ番号やシリアル番号) ^{[ 11 ]とは対照的です。}

数学において、基数の概念は、19 世紀後半にドイツの数学者ゲオルク・カントールによって初めて導入されました。彼はMächtigkeitという用語を使用しましたが、これは「大きさ」または「力」と訳すことができます。ただし、カントールはこの用語をヤコブ・シュタイナーの射影幾何学に関する著作に帰属させています。^{[ 12 ]} 1930 年頃、基数と基数という用語は文法的な意味から採用され、後の翻訳ではこれらの用語が使用されるようになりました。^{[ 13 ] [ 14 ] [ b ]}

「同じサイズ」の 2 つの集合間の直感的な関係は、それらのオブジェクトを 1 対 1 でペアにできるということです。つまり、一方の集合の各オブジェクトに他方の集合の専用の「ペア」を割り当てることができ、どちらの集合からもペアになっていないオブジェクトが残らない場合、各集合には同じ数のオブジェクトがあります。2 つの集合間の 1 対 1 のペアリングは、各オブジェクトをそのペアにマッピングすることによって、それらの間の全単射関数を定義します。同様に、2 つの集合間の全単射は、各オブジェクトをそれがマッピングされるオブジェクトとペアにすることによって、それらの要素のペアリングを定義します。したがって、これらの「ペアリング」と「全単射」の概念は、少なくとも直感的には同等です。^{[ 17 ]}したがって、次の定義が与えられます。

2つの集合は、その要素を1対1で対応させることができる場合、同じ濃度を持つ、または同数であると言われます。つまり、それらの間に全単射関数が存在する場合です。これはしばしば次のように表記されます。${\displaystyle A\sim B}$⁠、または⁠${\displaystyle A\approx B}$⁠ . ^{[ 20 ]}あるいは、これらの集合は、同等、類似、等能、または等能であると言うこともできる。 ^{[ 26 ]}例えば、集合⁠${\displaystyle E=\{0,2,4,6,{\text{...}}\}}$偶数からなる集合は、集合と同じ濃度を持つ。${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,{\text{...}}\}}$自然数の関数なので${\displaystyle f(n)=2n}$はからの全単射である${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠から⁠${\displaystyle E}$⁠ . ^{[ 27 ]}

有限集合における「全体は部分より大きい」という性質は、無限集合ではもはや成り立たず、機能しない全射や単射の存在は、全単射が存在しないことを証明するものではない。例えば、関数⁠${\displaystyle g}$⁠から⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠から⁠${\displaystyle E}$⁠ 4を掛けることで定義される、 ⁠${\displaystyle g(n)=4n}$⁠は単射ですが、全射ではありません（例えば、2 は に写像されないため）。さらに、関数⁠${\displaystyle h}$⁠から⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠から⁠${\displaystyle E}$⁠、最も近い偶数に切り捨てることで定義されます。${\displaystyle h(n)=2\operatorname {floor} (n/2)}$（床関数を参照）は全射ですが、単射ではありません（例えば、0と1はどちらも0に写像されるため）。${\displaystyle g}$⁠も⁠${\displaystyle h}$挑戦できる​${\displaystyle E\sim \mathbb {N} }$⁠ は、 ⁠の存在によって確立されました${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 28 ]}

等価

基数理論を発展させる上での基本的な結果は、等数性が同値関係を形成するということである。つまり、等号と同じ 3 つの基本特性 (反射性、対称性、推移性) を満たす関係である。^{[ 29 ] [ c ]}

反射性、すなわち、すべての集合はそれ自身と同じ濃度を持つという性質。${\displaystyle (A\sim A)}$⁠、恒等関数から導かれる：任意の集合に対して⁠${\displaystyle A}$⁠、各要素をそれ自身にマッピングする関数は、からの全単射である。${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle A}$対称性とは、もし${\displaystyle A}$⁠ は⁠と同じカーディナリティを持つ${\displaystyle B}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim B)}$⁠、それから⁠${\displaystyle B}$⁠ は⁠と同じカーディナリティを持つ${\displaystyle A}$⁠ ⁠${\displaystyle (B\sim A)}$⁠、任意の全単射が成り立つため⁠${\displaystyle f:A\to B}$逆関数 を持つ${\displaystyle f^{-1}:B\to A}$⁠、これも全単射です。推移性、つまり⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$同じカーディナリティを持つ${\displaystyle (A\sim B)}$⁠、そして⁠${\displaystyle B}$そして​​${\displaystyle C}$同じカーディナリティを持つ${\displaystyle (B\sim C)}$それなら、​${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle C}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim C)}$⁠ 、関数の合成から導かれる：与えられた全単射⁠${\displaystyle f:A\to B}$そして​​${\displaystyle g:B\to C}$⁠ 、それらの構成${\displaystyle g\circ f}$はからの全単射である${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle C}$（画像参照） ^{[ 29 ]}

等数性は3つの性質すべてを満たすため、同値関係です。これは、集合を同値類（互いに等数である集合のグループ）にグループ化し、各グループが集合の可能なサイズを定義することを意味します。これが、各グループの「サイズ」を表す代表値である基数の概念を動機づけており、これは以下のセクションで展開されます。^{[ 31 ]}

セット​${\displaystyle A}$⁠は集合よりも大きくない${\displaystyle B}$⁠マッピングできる場合⁠${\displaystyle B}$重複なし。つまり、 の濃度は${\displaystyle A}$はの濃度以下である${\displaystyle B}$⁠から単射関数が存在する場合⁠${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle B}$⁠、または同等に、 ^{[ d ]}からの全射が存在する場合⁠${\displaystyle B}$⁠から⁠${\displaystyle A}$（または）${\displaystyle A}$（空です）。これは次のように書かれています。${\displaystyle A\preceq B}$⁠、または⁠${\displaystyle A\lesssim B}$⁠ . ^{[ 35 ]}と読みます " ⁠${\displaystyle A}$はより大きくない${\displaystyle B}$⁠、または " ⁠${\displaystyle A}$⁠は⁠に支配されて いる${\displaystyle B}$⁠。 ^{[ 36 ]}もし⁠${\displaystyle A\preceq B}$しかし、注入はありません。${\displaystyle B}$⁠から⁠${\displaystyle A}$⁠、それから⁠${\displaystyle A}$は、より厳密に小さいと言われています。${\displaystyle B}$⁠、下線なしで次のように書きます⁠${\displaystyle A\prec B}$⁠ . ^{[ 37 ]}例えば、 ⁠${\displaystyle A}$4つの要素があり、${\displaystyle B}$5つある場合、以下が真である。${\displaystyle A\preceq A}$⁠、 ⁠${\displaystyle A\preceq B}$⁠、そして⁠${\displaystyle A\prec B}$⁠ .

不等式の基本的な性質は反射性（任意の⁠${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle a\leq a}$⁠ )、推移性（もし⁠${\displaystyle a\leq b}$そして​​${\displaystyle b\leq c}$⁠、それから⁠${\displaystyle a\leq c}$⁠ ) および反対称性(もし⁠${\displaystyle a\leq b}$そして​​${\displaystyle b\leq a}$⁠、それから⁠${\displaystyle a=b}$基数不等式​${\displaystyle (\preceq )}$⁠上記のように定義すると、恒等関数は単射であるため反射的であり、関数合成により推移的である。 ^{[ 38 ]}反対称性、つまり両方向への単射が与えられた場合、全単射を見つけることができるという事実は自明ではなく、いわゆるシュレーダー・ベルンシュタインの定理の内容である。 ^{[ 39 ]}そのような証明の1つは、隣の図の助けを借りて次のように要約できる。

両方向への注射が与えられた場合（${\displaystyle f:A\to B}$⁠、そして⁠${\displaystyle g:B\to A}$⁠ )、セットを取る⁠${\displaystyle A}$⁠そして各点を青色に「着色」します。次に、集合のイメージを取得します。${\displaystyle B}$⁠オン⁠${\displaystyle A}$注入後、つまり注入が投影される点の集合を赤色で塗ります。次に、の画像を取得します。${\displaystyle A}$この画像では${\displaystyle B}$⁠、そしてそれらの点を再び青色に塗ります。これらの集合の像を再帰的に交互に切り替えることで、元の集合の「着色」が得られます（図を参照）。各点について、有限ステップで停止して青または赤に確定的に着色されるか、無限に切り替えが続きます。 ⁠の点のうち${\displaystyle A}$⁠青色に明確に着色されているものを、次の再帰的イメージにマッピングします（つまり、適用します）${\displaystyle f}$それから​${\displaystyle g}$⁠ )、他のすべての点はそのまま残します。これにより、集合が変換されます。${\displaystyle A}$⁠まさにそのイメージに⁠${\displaystyle B}$⁠。この変換を行い、続いて逆変換を行う。${\displaystyle g}$⁠、からの全単射を与える⁠${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle B}$（以来）${\displaystyle g}$は像上で単射かつ全射であり、その逆は全単射である）。 ^{[ 32 ]}

基数不等式のもう1つの性質は全体性であり、これは任意の2つの集合が比較可能であることを意味します。つまり、任意の⁠${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$⁠、どちらか⁠${\displaystyle a\leq b}$または​​${\displaystyle b\leq a}$⁠。完全な証明には後述の概念が必要ですが、議論は簡単に次のように要約できます。すべての整列集合は、その集合の順序型と呼ばれる一意の順序数と同型です。整列定理により、すべての集合は整列可能です。次に、それらの順序型を比較す​​ることにより、次のことが示されます。${\displaystyle A\preceq B}$または​​${\displaystyle B\preceq A}$この事実は選択公理と同等^である。 ^[ 40 ^]

集合が可算であるとは、それが有限であるか、または自然数 の集合と全単射を持つ場合をいう。${\displaystyle (\mathbb {N} )}$この場合、それは可算無限と呼ばれます。可算無限集合には、可算という用語^{も使われることがあります。 [ 41 ]}例えば、すべての偶数の自然数の集合は可算集合であり、真部分集合であるにもかかわらず、自然数の集合全体と同じ濃度を持ちます。同様に、平方数の集合は可算集合であり、これは現代の集合論以前の数百年間、逆説的であると考えられていました（ § カントール以前の集合論を参照）。しかし、集合論の台頭以来​​、歴史的に驚くべき、あるいは当初は直感に反すると考えられてきた他の例がいくつかあります。 ^{[ 42 ]}

関数の視覚的描写の2つの画像⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠から⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$左は正の有理数に対応したバージョン。右はすべての整数のペアに対応した螺旋。${\displaystyle (p,q)}$各分数について${\displaystyle p/q}$⁠ .

有理数​​${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$それらは商または分数 として表すことができるものです。${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$2 つの整数の⁠。有理数は、分数の集合をすべての整数の順序対の集合とみなすことで可算であることを示すことができます。これは、グリッド上のすべての整数点の集合として視覚化できます。すると、直感的な関数は、最終的にグリッド上の各点を通る繰り返しパターン、つまり螺旋状の線を引くことで記述できます。たとえば、正の分数の場合はグリッド上の各対角線を通るか、すべての整数のペアの場合は格子螺旋を通ることになります。 ^{[ 43 ]}これらは有理数を覆い隠しています。たとえば、分数は⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{8}},\,\dots }$すべては以下にマッピングされます${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$グリッド法ではこれら全てを別々の順序対として扱うため、この関数は を示します。${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert \leq \vert \mathbb {N} \vert }$⁠いいえ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert =\vert \mathbb {N} \vert }$⁠ 。これは、シュレーダー・ベルンシュタインの定理を使用してグリッド内のこれらの数値を「スキップ」するか、カルキン・ウィルフ木などを使用してこれを自然に行う関数を設計することによって修正。 ^{[ 44 ]}

整数係数を持つ多項式方程式の解である場合、その数は代数的数と呼ばれます。例えば、2の平方根は${\displaystyle {\sqrt {2}}}$⁠は解決策です⁠${\displaystyle x^{2}-2=0}$⁠、そして有理数⁠${\displaystyle p/q}$⁠ は⁠の解決策です${\displaystyle qx-p=0}$逆に、どの多項式の根にもなり得ない数を超越数と呼びます。例として、オイラー数( e ) と円周率 ( π )が挙げられます。一般に、ある数が超越数であることを証明するのは非常に難しいと考えられており、超越数の種類はごくわずかしか知られていません。しかし、多項式を辞書式順序で並べることで、代数的数の集合が可算集合であることを示すことができます(例えば、カントールの最初の集合論の論文 § 証明を参照)。代数的数の集合は可算集合であるのに対し、実数は非可算集合であるため (次の小節で示します)、超越数は個々の識別がはるかに難しいにもかかわらず、実数の大部分を占めているはずです。つまり、ほとんどすべての実数は超越数です。 ^{[ 45 ]}

ヒルベルトのホテル

ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスは、ドイツの数学者デイヴィッド・ヒルベルトが考案した有名な思考実験で、可算無限集合の直感に反する性質、すなわち、それらの集合が自身の真部分集合と同じ濃度を持つことができるという性質を説明するために考案されました。シナリオは、自然数ごとに1つずつ、無限個の部屋があるホテルを想像することから始まります。すべての部屋は満室です。しかし、そこに新しい客が入ってきて部屋を求めます。ホテルは、1号室の宿泊客を2号室へ、2号室の宿泊客を3号室へ、3号室を4号室へ、そして一般にn号室をn+1号室へ移動させることで対応します。すると、すべての宿泊客は依然として部屋を持っていますが、1号室は新しい宿泊客のために空いています。^{[ 46 ]}

次に、このシナリオは、部屋を探している無限に長いバスに乗った新しい客を想像して続きます。ホテルは、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、そして一般的にn号室の客を2n号室へ移動させることで対応します。こうして偶数番号の部屋はすべて埋まりますが、奇数番号の部屋はすべて空室となり、無限に長いバスに乗った新しい客のためのスペースが確保されます。このシナリオはさらに続き、このような無限のバスが無限にホテルに到着すると仮定し、ホテルがまだ対応できることを示します。最後に、すべての実数に対応する座席を備えた無限のバスが到着すると、ホテルはもはや対応できなくなります。^{[ 46 ]}

集合が可算でない場合、つまり無限であり、自然数の集合よりも厳密に大きい場合、その集合は非可算集合と呼ばれます。この例としてよく挙げられるのが実数の集合です。${\displaystyle (\mathbb {R} )}$実数は数直線上のすべての数の集合と理解できます。実数が非可算であることを証明する一つの方法は、カントールの対角線論法と呼ばれ、1891年のカントールの証明に帰せられています^{[ 47 ]。}ただし、彼の方法はより一般的な表現とは異なります^{[ 48 ] 。}

これは、自然数と 0 から 1 の間の実数の集合 (区間 10 から 10 までの区間 10 から 10 までの実数の集合) の間に何らかの 1 対 1 の対応関係が存在するという矛盾した仮定から始まる。${\displaystyle [0,1]}$⁠ ) 次に、各実数の十進数表現を取ります。例えば、${\displaystyle 0.5772...}$先頭にゼロが付き、その後に任意の数字の並びが続く。1 = 0.999...なので、 1 もこのセットに含まれる。これらの実数をリストで考えると、新しい数の最初の桁がリストの最初の数と異なり、2 番目の桁がリストの 2 番目の数と異なる、といったように、新しい数を作成することが常に可能である。新しい数は一意の 10 進数表現を持たなければならない。つまり、 9 が繰り返されたり、0 が繰り返されたりしてはならない。たとえば、桁が 2 でない場合は、新しい数の桁を 2 にし、2 の場合は 3 にする。 ^{[ 49 ]}すると、この新しい数はリストのどの数とも少なくとも 1 桁異なるため、リストに含まれてはならない。これは、実数を自然数と 1 対 1 で対応させることはできず、したがって厳密に大きくなければならないことを示している。 ^{[ 50 ]}

関連する推論を用いて確立された、非可算集合のもう一つの古典的な例は、自然数の冪集合であり、 と表記される。${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$これは、のすべての部分集合の集合です。${\displaystyle \mathbb {N} }$空集合とを含む⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$それ自体。この方法はカントールの元の対角線論法に非常に近い。ここでも、一対一の対応が存在すると背理法で仮定する。${\displaystyle f}$⁠間⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$そして​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠、したがって、 のあらゆる部分集合が⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$は自然数に割り当てられます。これらの部分集合は、で定義された順序でリストに配置されます。${\displaystyle f}$（画像参照）。ここで、部分集合を定義することができます。${\displaystyle T}$の​​${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠このリストの「対角線」の否定を取ることによってリストに含まれないものを以下のように得る： ^{[ 51 ]}

もし​${\displaystyle 1\in f(1)}$⁠、それから⁠${\displaystyle 1\notin T}$つまり、1がリストの最初の部分集合に含まれている場合、1は部分集合に含まれない。${\displaystyle T}$さらに、もし${\displaystyle 2\notin f(2)}$⁠、それから⁠${\displaystyle 2\in T}$つまり、2 という数字がリストの 2 番目の部分集合に含まれていない場合、2 は部分集合に含まれています。${\displaystyle T}$⁠。一般に、各自然数に対して⁠${\displaystyle n}$⁠、 ⁠${\displaystyle n\in T}$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle n\notin f(n)}$⁠、意味⁠${\displaystyle n}$⁠はサブセットに入れられます⁠${\displaystyle T}$リスト内の n 番目の部分集合にその数が含まれていない場合のみ${\displaystyle n}$⁠。次に、各自然数について⁠${\displaystyle n}$⁠、 ⁠${\displaystyle T\neq f(n)}$つまり、​${\displaystyle T}$は、任意の数に対して、リストの n 番目の部分集合ではありません。${\displaystyle n}$そのため、それはによって定義されたリストのどこにも出現しない。${\displaystyle f}$⁠ . 以来⁠${\displaystyle f}$は任意に選択されたものであり、これは からのすべての関数が であることを示しています。${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠から⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$少なくとも1つの要素が欠けているはずなので、そのような全単射は存在できず、したがって${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ は数えられないものでなければならない。 ^{[ 51 ]}

これら2つのセットは、${\displaystyle \mathbb {R} }$そして​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠は、（例えば、各部分集合に小数展開を割り当てることによって）連続体の濃度と呼ばれる同じ濃度を持つことが示される。 ^{[ 52 ]}

カントールの定理は上記の第2定理を一般化したもので、すべての集合はその冪集合よりも厳密に小さいことを示しています。大まかに言うと、証明は次のようになります。集合が与えられたとき、${\displaystyle A}$⁠、全単射が存在すると仮定して背理法を用いる。${\displaystyle f}$⁠から⁠${\displaystyle A}$⁠から⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$⁠。次に、部分集合⁠${\displaystyle T\subseteq A}$⁠対角線の否定を取ることによって、形式的には、${\displaystyle T=\{a\in A:a\notin f(a)\}}$⁠、リストには含まれません。したがって、すべての関数には少なくとも1つの要素が欠けており、そのため⁠${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$さらに、​${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$それ自体が集合であるため、議論を繰り返して示すことができる。${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert <\vert {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))\vert }$⁠ . 取得⁠${\displaystyle A=\mathbb {N} }$これは、${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))}$はよりもさらに大きい${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠は既に不可算であることが示されています。この議論を繰り返すと、無限には無限に多くの「サイズ」があることがわかります。 ^{[ 53 ]}

自然数の基本的な概念に基づくと、集合は濃度を持つと言われる。${\displaystyle n}$⁠それが集合と1対1に対応できる場合${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$⁠、その要素を数えることと類似している。 ^{[ 66 ]}例えば、集合⁠${\displaystyle S=\{A,B,C,D\}}$は、集合と自然な対応関係にある。${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$したがって、濃度は 4 であると言われます。他の用語としては、「その濃度は 4 です」または「その基数は 4 です」などがあります。形式的な文脈では、自然数は、ペアノ公理を満たすオブジェクトの何らかの構成として理解できます。ペアノ公理とは、ある意味で自然数と同じであるような性質のリストです。 ^{[ 67 ]}

このような対応関係が存在することを示すことは、必ずしも自明ではありません。組み合わせ論は、結果を得るための手段としても目的としても、また有限構造の特定の性質として、主に計数を扱う数学の分野です。 ^{[ 68 ]}有限集合の濃度という概念は、多くの基本的な組み合わせ原理と密接に結びついており、それらを復元するための集合論的基礎を提供します。集合の可能なサイズに関する帰納法によって、有限濃度が自然数と一意に対応することが示せます（有限集合 § 濃度の一意性を参照）。^{[ 69 ]}これは、ヒュームの原理や全単射証明の基礎を検証する他のいくつかの概念と関連しており、有限集合をそれ自身の真部分集合と1対1に対応させることはできないという、鳩の巣原理のある定式化と同等です。 ^{[ 70 ]}

加法原理は、互いに素な集合が与えられた場合、${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$⁠、 ⁠${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$⁠、直感的には、部分の合計が全体に等しいことを意味します。 ^{[ 71 ]}乗法原理は、2 つの集合が与えられた場合、${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$⁠、 ⁠${\displaystyle \vert A\times B\vert =\vert A\vert \cdot \vert B\vert }$⁠、直感的には、${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert }$これらの集合からオブジェクトをペアにする方法。 ^{[ 72 ]}これらは両方とも、帰納法とともに全単射証明によって証明できます^{。 [ 73 ]}より一般的な結果は包含排除原理であり、重複する集合の要素の数を数える方法を定義します。 ^{[ 74 ]}

当然ながら、集合は、空集合であるか、または集合と対応させることができる場合に有限集合と定義される。${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$⁠、ある自然数に対して⁠${\displaystyle n}$[ ^{66 ]}しかし、「数」の定義に^依存しない「有限」の定義も存在する。例えば、集合がそれ自身の真部分集合と1対1に対応できない場合、その集合はデデキント有限と呼ばれるが、この定義では選択公理が元の定義と同等でなければならない。 ^{[ 75 ]}

アレフ数は、無限集合の大きさを表す基数列であり、アレフ で表されます。${\displaystyle \aleph }$ヘブライ語アルファベットの最初の文字。 ^[ 76 ^]最初のアレフ番号^は${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ は「アレフゼロ」、「アレフヌル」、または「アレフヌル」と呼ばれ、すべての自然数の集合の濃度を表します。${\displaystyle \aleph _{0}=\vert \mathbb {N} \vert =\vert \{0,1,2,3,\cdots \}\vert }$⁠ . それから、 ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$は次に大きい基数を表し、次には${\displaystyle \aleph _{2}}$⁠、など。 ^{[ 77 ]}集合論でこれを形式化する最も一般的な方法は、フォン・ノイマン順序数、フォン・ノイマン基数割り当てとして知られる。 ^{[ 78 ]}

順序数は、順序の概念を無限集合に一般化したものです。例えば、2は1の後に来ます。${\displaystyle 1<2}$⁠、そして両方の後に3が来る、と表記される。${\displaystyle 1<2<3}$⁠。次に、新しい数を定義します。${\displaystyle \omega }$⁠ は、すべての自然数の後に来るもので、 と表記されます。${\displaystyle 1<2<3<\cdots <\omega }$さらに​​${\displaystyle \omega <\omega +1<\dots <\omega +\omega =\omega \cdot 2}$⁠、など。 ^{[ 79 ]}より厳密には、これらの序数は次のように定義できます。

⁠${\displaystyle 0:=\{\}}$空集合、​​${\displaystyle 1:=\{0\}}$⁠、 ⁠${\displaystyle 2:=\{0,1\}}$⁠、 ⁠${\displaystyle 3:=\{0,1,2\}}$など。そうすれば、を定義できます。${\displaystyle m<n{\text{, if }}\,m\in n}$例えば、​${\displaystyle 2\in \{0,1,2\}=3}$したがって​​${\displaystyle 2<3}$定義する​${\displaystyle \omega$ :=\{0,1,2,3,\cdots \}} は⁠を与える${\displaystyle \omega }$望ましい性質は、すべての有限順序数よりも大きい最小の順序数であることです。さらに、${\displaystyle \omega +1:=\{0,1,\cdots ,\omega \}}$など。^{[ 80 ]}

以来​${\displaystyle \omega \sim \mathbb {N} }$自然な対応関係により、次のように定義できる。${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ はすべての有限順序数の集合として定義される。つまり、${\displaystyle \aleph _{0}:=\omega }$⁠ . それから、 ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$は、すべての可算順序数（すべての順序数）の集合です。${\displaystyle \alpha }$カーディナリティ付き​${\displaystyle \vert \alpha \vert \leq \aleph _{0}}$⁠ )、最初の不可算序数。集合はそれ自身を含むことができないため、${\displaystyle \aleph _{1}}$厳密に大きなカーディナリティを持つ必要があります。${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}}$[ ^{81 ]} さらに、^​​${\displaystyle \aleph _{2}}$は、濃度が以下のすべての順序数の集合です。${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠、そして一般的に後継枢機卿は${\displaystyle \kappa ^{+}}$は、濃度が までのすべての順序数の集合です。${\displaystyle \kappa }$⁠。無限基数について別の言い方をすると、${\displaystyle \kappa ^{+}}$は、上の可能な整列の数です。${\displaystyle \kappa }$順序同型まで。 ^[ 82 ^{]このような集合が}常に存在することを証明することはハルトッグスの定理として知られており、集合より小さくも等しくもない最小の順序数は、${\displaystyle \kappa }$はハートッグス数と呼ばれます。${\displaystyle \kappa }$⁠ . ^{[ 83 ]}それから、 ⁠${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$制限順序数の場合${\displaystyle \lambda }$は、すべての小アレフの結合です^{。 [ 84 ]}

ここで順序数の重要性は、計数の概念を無限集合に一般化することにある。計数する際、暗黙のうちに対象の集合に順序を割り当てるが、どのような順序を割り当てても最終的な計数結果は常に同じであり、これは基数と順序数の間の関連性を示している。^{[ 85 ]}さらに、整列定理により、濃度が の集合は存在し得ない。${\displaystyle \aleph _{0}}$そして​​${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠、そしてすべての無限集合には、あるアレフに一意に対応する濃度が存在する。${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$⁠、ある序数に対して⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ . ^{[ 86 ]}これにより、各集合をその等数アレフに割り当てることにより、基数関数の構成的定義を使用することができます。 ^{[ 87 ]}

基本的な算術演算は、上記の有限組み合わせ原理の定理を拡張することで、基数に対して非常に自然な方法で行うことができます。直感的な原理は、もし⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$⁠が互いに素である場合、これらの集合の加算は単純にそれらの和集合を取ることであり、次のように表記されます。${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$⁠ . ^{[ 88 ]}したがって、もし⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$は無限であり、基数加算は次のように定義されます。${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert$ :=\vert A\sqcup B\vert } ⁠ただし⁠${\displaystyle \sqcup }$⁠は互いに素な和集合を表します。同様に、2 つの集合の乗算は直感的にはそれらの要素をペアにする方法の数です (乗法原理のように)。したがって、基数乗算は次のように定義されます。${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert$ :=\vert A\times B\vert } ⁠、ただし⁠${\displaystyle \times }$はデカルト積を表します。 ^{[ 89 ]}これらの定義は、標準算術の基本特性を満たすことが示されています。 ^{[ 90 ]}

• 連想性：${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\sqcup C\vert =\vert A\sqcup B\vert +\vert C\vert }$⁠、そして⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\times C\vert =\vert A\times B\vert \cdot \vert C\vert }$⁠
• 可換性：${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\vert B\vert +\vert A\vert }$⁠、そして⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert =\vert B\vert \cdot \vert A\vert }$⁠
• 分配性：${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\sqcup C\vert =\vert A\times B\vert +\vert A\times C\vert }$⁠

有限算術の多くの性質は無限算術にも当てはまりますが、上記および下記の表にあるように、厳密な不等式（ケーニッヒの定理など）はまれです。たとえば、有限算術では、任意のゼロでない数に対して、${\displaystyle n}$⁠、 ⁠${\displaystyle n+n>n}$しかし、偶数の集合はどちらも${\displaystyle (E)}$⁠そして奇数の集合⁠${\displaystyle (F)}$カーディナリティを持つ${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠、それは示しています⁠${\displaystyle \vert E\sqcup F\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$したがって​​${\displaystyle \aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}}$実際、任意の無限基数に対して、${\displaystyle \kappa +\kappa =\kappa \cdot \kappa =\kappa }$^{このように、無限基数の加算と乗算は、}（少なくとも選択公理の下では）非常に扱いやすいと考えられている。 ^[ 91 ^]

基数べき乗${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }}$は集合べき乗によって定義され、すべての関数の集合である。${\displaystyle f:B\mapsto A}$つまり、​${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }:=\vert A^{B}\vert }$これは当然ながら「繰り返し乗算」の役割を無限集合にまで拡張するものである。 ^{[ 92 ]}有限集合の場合、これは標準的な自然数のべき乗と一致することが示されるが、その系として、0の0乗は1にということが含まれる。${\displaystyle (0^{0}=1)}$空集合から^それ自身への関数はただ一つ、空関数だけである。 ^[ 93 ^]組み合わせ論的議論を用いて示すことができる。${\displaystyle 2^{\vert A\vert }=\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$⁠、各部分集合の指示関数を考慮することによって。一般に、基数べき乗は加算や乗算ほど扱いやすいものではありません。たとえば、式⁠が証明できるとしても${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$確かに何らかのアレフに対応しているが、それがどのアレフに対応しているかは標準的な集合論からは証明できない。 ^{[ 94 ]}

すべての基数の集合とは、すべての基数を含む仮想的な集合を指します。このような集合は存在し得ないため、逆説的であると考えられており、ブラリ＝フォルティのパラドックスに関連しています。基数をその濃度の代表として定義することから始めます。まず、ある集合が存在すると仮定します。${\displaystyle S:=\{X\,\vert X{\text{ is a cardinal number}}\}}$⁠。次に、最大の基数が存在する場合、${\displaystyle \kappa \in S}$⁠、次にパワーセット⁠${\displaystyle 2^{\kappa }}$は厳密に大きいので、 には含まれません。${\displaystyle S}$逆に、最大要素が存在しない場合は、和集合は${\displaystyle \bigcup S}$⁠ には、すべての要素の要素が含まれています。${\displaystyle S}$⁠、したがって各要素以上である。 ⁠には最大の要素がないため${\displaystyle S}$任意の要素に対して${\displaystyle x\in S}$⁠ 、別の要素があります${\displaystyle y\in S}$⁠そのため⁠${\displaystyle \vert x\vert <\vert y\vert }$そして​​${\displaystyle \vert y\vert \leq {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$したがって、任意の⁠${\displaystyle x\in S}$⁠、 ⁠${\displaystyle \vert x\vert <{\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$⁠、そして⁠${\displaystyle {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }\notin S}$したがって、すべての基数の集合は大きすぎて集合を形成することができず、真のクラスである。 ^[ 108 ^]ゲオルク・カントールはすべての基数の集合をת ‎ (タヴ、ヘブライ語アルファベットの最後の文字) と表記し、それを「矛盾した多重性」とみなした^{。[ 107 ]}

選択公理（AC）は、数学の基礎における基本的な原理であり、その歴史の中で多くの論争に巻き込まれてきました。非公式には、任意の空でない集合の集合が与えられたとき、その集合が無限であっても、各集合から1つの要素を選択することによって新しい集合を構成できると述べています。ACに関する論争は、主にこれらの要素の選択方法の性質に関係していました。ほとんどの公理は集合とは何かを記述するか、明示的な集合を構成できるようにするように見えますが、ACはどの集合が構築されたかは示さず、そのような選択関数が存在することだけを示し、構築された集合は暗黙のうちに残ります。現代の数学者にとって、ACはほとんど論争の的ではありません。しかし、その独特な歴史的論争のため、ACは他の公理には与えられない特別な扱いを受けることが多く、それを使用する基本的な証明ではそれを指摘する必要があります。^{[ 121 ]}

選択公理は基数の性質と非常に密接に関係している。選択公理は基数が何であるか、そしてそれが集合と比較する意味について厳密な構造を課す。選択公理が偽であると仮定すると、基数ははるかに複雑な構造を持ち、選択公理が提供するような線形的な順序付けに抵抗する。例えば、基数不等式は単射と全射を同等に扱わない。具体的には、ある集合が存在し、そこから全射が存在する。${\displaystyle A}$上に​${\displaystyle B}$しかし、注射は行われなかった。${\displaystyle B}$⁠から⁠${\displaystyle A}$したがって、単射は厳密に強い概念である。なぜなら、単射が与えられた場合、反対方向への全射を常に見つけることができるからである。同様に、基数不等式は部分順序を維持するが、基数不等式の下で比較不可能な集合が存在する。つまり、三分割法則は成り立たず、どの集合も⁠ ではない集合が存在する。${\displaystyle A<B}$⁠、 ⁠${\displaystyle A\sim B}$⁠、 ⁠${\displaystyle A>B}$⁠保持。これら2つ（三分割と全射が挿入を意味すること）はACと同等である。 ^{[ 122 ]}

三分割法が成り立たず、アレフ列に自然な整列順序があるため、どのアレフにも対応しない濃度を持つ集合が存在する。したがって、濃度関数は${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$定義するのがやや難しくなります。実際、各集合をその基数の一意の「代表」にマッピングする基数関数、つまりヒュームの原理と冪等性を満たす関数（${\displaystyle \vert \vert S\vert \vert =\vert S\vert }$または​​${\displaystyle \vert S\vert \sim S}$⁠ ) — ACなしでは不可能です。 ^{[ 123 ]} ACなしの集合論では、ダナ・スコットによって導入された、フレーゲ・ラッセル基数を彷彿とさせるいわゆるフレーゲ・ラッセル・スコット定義を採用することでこの問題に対処しています。この定義の下では、「すべての集合の集合」は⁠と同数であるとみなされます。${\displaystyle A}$しかし、スコットのトリックを適用してこれらのクラスを正規化します。具体的には、このクラスを最小ランクの集合のみに縮小します。つまり、フォン・ノイマン階層で最も早く現れる集合縮小します。フォン・ノイマン階層は整列しているため、最小ランクが存在し、これらの集合はすべてそのランクを共有するため、その集合は階層内で制限され、したがって真のクラスではなく集合を構成します。 ^{[ 124 ]}

基数算術ははるかに複雑で、最も単純な恒等式の多くが失われます。恒等式⁠${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\operatorname {max} (\vert A\vert ,\vert B\vert )}$⁠は、すべての集合が比較可能であることを要求する「最大」の明確な概念を必要とするため、成り立たない。同様に、次の命題も成り立たない。${\displaystyle A\times A\sim B\times B\implies A\sim B}$（基数を二乗する関数は単射である）、そして、ゼロでない基数の任意の積は常にゼロでないという主張（バートランド・ラッセルによって乗法公理と呼ばれた）は、どちらも AC と同等である。^{[ 125 ]}さらに、一般化連続体仮説（GCH、すなわち、${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$⁠全ての⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ ) は ZFC とは無関係であり、ZF+GCH が AC を導出するのに十分であることが示され、したがって、AC が偽であれば、GCH が成り立たないことがわかる。 ^{[ 126 ]}

集合論の中には、集合の集まりであるクラスを含むものがあり、これにより理論は自己参照の問題に遭遇することなく任意の集合の集まりについて議論することができます（例：自身を含まないすべての集合の集合）。クラスは、少なくとも直感的には、集合を形成するには「大きすぎる」場合に、適切なクラスと呼ばれます。たとえば、すべての集合の宇宙、すべての基数のクラス、およびすべての順序数のクラスは適切なクラスです。このような集合論には、フォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデル集合論（NBG）やモース＝ケリー集合論（MK）などがあります。カントールは当初、これらの「大きすぎる」集合のサイズを「絶対無限」と呼び、それを超限と区別しました。彼は前者を「矛盾」によって特徴づけ、パラドックスを引き起こし、その概念を神と関連付けました。^{[ 127 ]}

真のクラスには、ある意味で濃度を割り当てることができます。集合とクラスを形式的に区別した最初の人物はジョン・フォン・ノイマンで、彼は「集合を形成するには大きすぎる」という概念を形式化しました。より正確には、彼はクラスが「大きすぎる」（真のクラス）のは、それが集合の宇宙全体と同数である場合のみであると定義しました（サイズ制限の公理を参照。MK集合論では公理として使用され、NBGでは定理として導出可能）。したがって、すべての真のクラスは同じ「サイズ」を持ちます。この公理にはいくつかの含意があり、そのほとんどは初期の集合論のサイズ制限の原理に関連しています。これは、指定の公理、置換の公理、和集合の公理、および全体選択の公理を含意します。^{[ 128 ]}

大きな基数公理は、その名の通り非常に大きな基数、つまりZFC内で存在を証明できないほど大きな基数の存在を主張します。例えば、到達不可能な基数とは、おおよそ、和集合、極限、冪集合などの基本的な集合論的演算を用いて下から近づくことができない基数です（より厳密には、通常の極限基数で、より大きいもの）。${\displaystyle \aleph _{0}}$（ ）大きな基数はフォン・ノイマン階層の観点から理解され、 と表記される。${\displaystyle V_{\alpha }}$（ある序数に対して）${\displaystyle \alpha }$これは、空集合から得られる集合と理解でき、その後、冪集合を再帰的に適用します。${\displaystyle \alpha }$⁠回。具体的には、${\displaystyle V_{0}=\varnothing }$⁠、 ⁠${\displaystyle V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$そして​​${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }V_{\alpha }}$制限順序数の場合${\displaystyle \lambda }$⁠ . ^{[ 129 ]}

大きな基数を定義する既知の性質は数多く存在し、それらは一貫性の強さという点で、一見線形階層構造になっているように見える。類推すると、無限公理のないZFCでは、有限集合の存在しか証明できない。したがって、${\displaystyle V_{\omega }(={\mathcal {P}}(\varnothing )\cup {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\cup \cdots )}$⁠ 、その存在は通常の ZFC で証明可能であり、ZFC –無限のモデルとして機能することができるため、ZFC が無矛盾であれば、ZFC –無限も無矛盾である。 ^{[ 130 ]}同様に、ZFC +「到達不可能な基数が存在する」は ZFC の無矛盾を意味する。なぜなら、 ⁠${\displaystyle \kappa }$アクセスできません。${\displaystyle V_{\kappa }}$ZFC のモデルとして機能しうる (グロタンディーク宇宙を参照) 。より強力な大きな基数公理は、より大きな基数の存在を主張し、それぞれの基数はより弱いシステムの一貫性を証明する。 ^{[ 131 ]}

大きな基数は、実用的および哲学的理由の両方から、集合論研究の最前線に位置づけられています。実用的な意味では、証明されていない、あるいは証明不可能な予想が、十分に強力な大きな基数の公理によって解決されることがしばしばあります。例えば、可測基数の存在は、ゲーデルの構成可能性公理と矛盾します。同様に、ラインハルト基数の存在は選択公理と矛盾するため、ラインハルト基数はより議論の的となる大きな基数の公理となっています。哲学的な意味では、W・ヒュー・ウッディンなどの集合論者のプラトン的な見解によれば、これらの公理は、考慮されるべき「とされる」集合を含めるように体系を拡張するだけです。つまり、これらの公理によってさらにアクセスできるようになる、何らかの基本的な集合の宇宙が存在するということです。 ^{[ 132 ]}このため、集合論の他の可能な公理と比較して、大きな基数公理が一般的に優先されます。この見解は、多元主義と呼ばれることもある競合する哲学の間で議論の的となっており、^{[ 133 ]}多元主義は、集合論は集合論のマルチバースとして理解されるべきであり、「絶対的」または「真の」モデルではないと主張しています。^{[ 134 ]}

決定性公理( AD) は、自然数上の特定の種類の数学ゲームは決定されている、つまり、必ず勝てる戦略が1人のプレイヤーにあると主張します。^{[ 135 ]} AD の結果に関する最初の本格的な研究は、実数の定義可能な集合を大まかに研究する記述集合論において、 1960 年代に始まりました。これは、AD が実数の非常に優れた規制特性につながることが注目されたためです。^{[ 136 ]}しかし、この公理は AC と矛盾することが示され、そのため集合論の基本公理として採用されることはありませんでした。^{[ 137 ]}

AD は実数の濃度と密接に関係しており、AC とは異なる構造を持つ。AD の下では、実数は整列できない。つまり、${\displaystyle \mathbb {R} }$はどのアレフにも対応しません。それにもかかわらず、ADは実数に完全集合の性質として知られる厳格な構造を課し、実数のすべての集合は可算であるか、または濃度がちょうど であることを意味します。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$⁠、実数全体と等しい。同様に、すべての実数集合がルベーグ可測であることも意味し、サイズがゼロではないが長さを割り当てることができない集合の存在を排除する。このような非可測集合の存在は、バナッハ・タルスキーのパラドックスを可能にし、1つの球を有限個の断片に切り分け、それらを滑らかに再配置して、最終的に2つの固体球を得ることができることを示しているが、これはADの下では不可能になる。 ^{[ 138 ]}

一方、集合が存在できるという制約により、実数を実数の数よりも厳密に多くのグループに分割できることを意味する。具体的には、次のことを示す単射を見つけることができる。${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert \leq \vert \mathbb {R} /\mathbb {Q} \vert }$（実数の同値類、ただし、${\displaystyle x\sim y}$⁠ if ⁠${\displaystyle x-y\in \mathbb {Q} }$⁠ )。ただし、注射の場合⁠${\displaystyle F:\mathbb {R} /\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$が存在した場合、上に線形順序が存在する${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$（提供者）${\displaystyle a\leq b}$もし​​${\displaystyle F(a)\leq F(b)}$⁠ )。これにより、ADに矛盾する、尺度を割り当てることのできない集合を構築することが可能になります。したがって、そのような注入は存在し得ず、したがって⁠${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert <\vert \mathbb {R} /\mathbb {Q} \vert }$⁠ . ^{[ 139 ]}

しかし、AD と大きな基数および連続体仮説との関係は、ドナルド A. マーティン、ジョン R. スティール、W. ヒュー ウッディンなどの集合論者の間で依然として大きな関心を集めており、少なくとも部分的には、AD が無限に多くのウッデ​​ィン基数が存在するという大きな基数公理と等しく矛盾しないためである。^{[ 140 ]}