三分法の法則

数学では、三分法の法則により、すべての実数は正、負、ゼロのいずれかであるとされています。^[1]

より一般的には、集合X上の二項関係 Rが三分関係であるとは、 X内のすべてのxとyに対して、 xRy、yRx、x  =  yのいずれか 1 つが成立する場合を指します。Rを< と書き、形式論理では次のように表されます。

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

• 関係が三分関係であるとは、それが非対称かつ連結である場合に限ります。
• 三分関係が推移的でもある場合、それは厳密な全順序である。これは厳密な弱順序の特別なケースである。^{[2] [3]}

• 集合X = { a , b , c } 上で、関係R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} は推移的かつ三分的であり、したがって厳密な全順序です。
• 同じ集合上で、循環関係R = { ( a , b ), ( b , c ), ( c , a ) } は三分関係ですが推移的ではなく、むしろ反推移的です。

何らかの数の集合Xに関する三分法則は、通常、Xに暗黙的に与えられた順序関係が三分法的なものであることを表します。例としては、「任意の実数xとyに対して、 x < y、y < x、またはx  =  yのいずれか 1 つが適用される」という法則があります。一部の著者は、実数の加法的線形順序群構造に依存して、 y を0 に固定することさえあります^[1]。後者は、三分法順序を備えた 群です。

古典論理では、この三分法の公理は実数同士の通常の比較に当てはまり、したがって整数同士や有理数同士の比較にも当てはまります。^{[要説明]この法則は}直観主義論理では一般には当てはまりません。^[要出典]

ツェルメロ・フランケル集合論とバーネイズ集合論では、選択公理がなくても、整列可能な集合の基数の間で三分法の法則が成り立つ。選択公理が成り立つ場合、任意の基数の間で三分法が成り立つ（その場合、それらはすべて整列可能であるため）。 ^[4]

• 解説書には三分法の法則の初期の定式化が含まれている
• 二分法
• 矛盾律
• 排中律
• 3者間比較