反対称関係

数学において、集合上の二項関係が 反対称であるとは、その関係にある相異なる元のペアが によって他方の元と関連づけられていないことである。より正式には、はすべて に対して である場合 、 は反対称である。あるいは同値 として、 は反対称である。 反対称性の定義は、実際に が任意の に対して成り立つかどうかについては何も述べていない。集合上の反対称関係は、反射的（つまり、すべてに対して）、非反射的（つまり、 が存在しない）であるか、または反射でも非反射でもない。関係が非対称となるのは、反対称かつ非反射である場合のみである。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b\in X,}$ $${\displaystyle {\text{if }}\,aRb\,{\text{ with }}\,a\neq b\,{\text{ then }}\,bRa\,{\text{ must not hold}},}$$$${\displaystyle {\text{if }}\,aRb\,{\text{ and }}\,bRa\,{\text{ then }}\,a=b.}$$${\displaystyle aRa}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle aRa}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle aRa}$${\displaystyle a\in X}$

自然数の割り切れる関係は、反対称関係の重要な例です。この文脈では、反対称性とは、2 つの数がそれぞれ他方の数で割り切れる唯一の方法は、2 つが実際に同じ数である場合であることを意味します。同様に、とが異なる場合、が の因数である場合、はの因数になることはできません。 たとえば、12 は 4 で割り切れますが、4 は 12 で割り切れません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n.}$

実数における通常の順序関係 は反対称です。つまり、2 つの実数に対して不等式と不等式が成り立つ場合、と は必ず等しくなります。同様に、任意の集合の部分集合における部分集合順序も反対称です。2 つの集合が与えられ、のすべての要素が にも にもあり、 のすべての要素がにも にある場合、 と には必ず同じ要素がすべて含まれているため、 は必ず等しくなります。 典型的な反対称関係の実生活の例は、「 のレストランの代金を支払う」というものです (特定の状況に限定されていると理解されます)。通常、自分の代金を支払う人もいれば、配偶者や友人の代金を支払う人もいます。2 人が互いの代金を支払わない限り、この関係は反対称です。 ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\subseteq B{\text{ and }}B\subseteq A{\text{ implies }}A=B}$$

部分順序と全順序は定義により反対称です。関係は対称と反対称の両方になることができます (この場合、コア反射的である必要があります)。また、対称でも反対称でもない関係もあります (たとえば、生物種に関する「捕食する」関係)。

反対称性は非対称性とは異なります。関係が非対称となるのは、反対称かつ非反射的である場合のみです。

• 反射関係 – すべての要素をそれ自体に関連付ける二項関係
• 数学における対称性

• Weisstein、Eric W.「反対称関係」。MathWorld。
• リップシュッツ、シーモア、マーク・ラース・リップソン (1997)。離散数学の理論と問題。マグロウヒル。p. 33。ISBN 0-07-038045-7。
• nLab 反対称関係