選択の公理

数学において、選択公理（略称：ACまたはAoC）は集合論の公理の一つである。非公式に言えば、選択公理は、任意の空でない集合の集合が与えられたとき、その集合が無限集合であっても、各集合から1つの要素を選んだ別の集合を特定できると述べている。正式には、この公理は構成ではなく存在を確立するものであり、すべての集合に対して、次のことを述べている。${\displaystyle I}$そしてすべての${\displaystyle I}$-索引付きファミリー${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$空でない集合の集合が存在する${\displaystyle I}$-インデックス付きセット${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$要素の$\displaystyle \cup _{i\in I}S_{i}}$そのため${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$すべての${\displaystyle i\in I}$選択公理は、整列定理の証明を形式化するために、 1904年にエルンスト・ツェルメロによって定式化された。^{[ 1 ]}

多くの場合、要素を選択することによって作成される集合は、選択公理を援用することなく作成できます。特に、要素を選択する集合の数が有限である場合（この場合、帰納法を適用できます）、または、要素の選択方法に関する標準的な規則（各集合のちょうど1つの要素に対して成り立つ何らかの特徴的な性質）が利用可能な場合です。例として、自然数から選択された集合が挙げられます。このような集合からは、常に最小の数を選択できます。たとえば、集合{ {4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000 } } が与えられた場合、各最小要素を含む集合は {4, 10, 1} です。この場合、「最小の数を選択する」は選択関数です。自然数から無限個の集合が収集されたとしても、各集合から最小の要素を選択して集合を作成することで、常に選択関数を形成することが可能です。ここでは選択公理は必要ありません。一方、実数のすべての空でない部分集合の集合については、それぞれの部分集合から1つの要素を選択するための既知の標準的な規則は存在しない。この場合、目的の選択関数を構築するには、選択公理を適用する必要がある。

バートランド・ラッセルは次のような類推を提唱しました。靴のペアが無秩序に並んだ無限の集合であっても、各ペアから左の靴を選び出すことで、適切な靴の集合（つまりセット）を得ることができます。これにより、選択公理を用いずに選択関数を定義することが可能になります。しかし、靴下のペアが無秩序に並んだ無限の集合（左の靴下か右の靴下かといった区別する特徴がないと仮定）の場合、各ペアから靴下を1つ選ぶ自然な（つまり標準的な）方法は存在しないため、望ましい選択関数を構築するには選択公理に頼らざるを得ません。^{[ 2 ]}

当初は議論の的となった選択公理は、現在ではほとんどの数学者によって何の留保もなく使用されており、[ ^{3 ]標準}的な公理的集合論である選択公理付きツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）にも含まれている。その理由の一つは、チコノフの定理など、一般的に受け入れられている多くの数学的結果の証明には選択公理が必要であることである。現代の集合論者は、決定性公理など、選択公理と両立しない公理も研究している。構成的数学の中には選択公理を避けるものもあれば、受け入れるものもある。

選択関数（セレクタまたは選択とも呼ばれる）は関数である${\displaystyle f}$コレクション上で定義${\displaystyle X}$空でない集合の集合で、すべての集合に対して${\displaystyle A}$で${\displaystyle X}$、${\displaystyle f(A)}$は${\displaystyle A}$この概念を用いると、次の公理を述べることができる。

正式には、これは次のように表現できます。

$${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \in X\lor \exists f\left[\mathrm {dom} \ f=X\land \forall A\in X\left[f\left(A\right)\in A\right]\right]\right].}$$

家族に対する各選択機能${\displaystyle X}$空でない集合の は、集合のデカルト積の要素です。${\displaystyle X}$、そしてその逆もまた然り。したがって、選択公理の同等の形式は次のようになる。

この形式は、より一般的な形式を意味しており、デカルト積は一般的なインデックス付き集合族（重複を含む場合もある）である。なぜなら、重複する因子からは常に同じ要素を選択できるからである。

バリエーション

選択公理には、他にも多くの同値な表現が存在する。これらの表現は、集合論の他の基本公理が存在する場合、選択公理を含意し、かつ選択公理によって含意されるという意味で同値である。

あるバリエーションでは、選択関数をその範囲に置き換えることで、選択関数の使用を回避している。

任意の集合が与えられた場合${\displaystyle X}$空集合が要素でない場合${\displaystyle X}$そして要素${\displaystyle X}$が互いに素である場合、集合が存在する。${\displaystyle C}$要素のいずれかとの交差${\displaystyle X}$要素をちょうど1つ含んでいます。^{[ 5 ]}

これは一階述語論理では次のように定式化できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x(&\\&\exists e(e\in x\land \lnot \exists y(y\in e))\lor \\&\exists a\,\exists b\,\exists c\,(a\in x\land b\in x\land c\in a\land c\in b\land \lnot (a=b))\lor \\&\exists c\,\forall e\,(e\in x\implies \exists a\,(a\in e\land a\in c\land \forall b\,((b\in e\land b\in c)\implies a=b))))\end{aligned}}}$$

ご了承ください${\displaystyle P\lor Q\lor R}$論理的に同等である${\displaystyle (\lnot P\land \lnot Q)\implies R}$英語では、この一階述語論理の文は次のようになります。

任意の集合が与えられた場合${\displaystyle X}$、

${\displaystyle X}$要素として空集合を含む、または

要素${\displaystyle X}$ペアごとに互いに素ではない、または

集合が存在する${\displaystyle C}$要素のいずれかとの交差${\displaystyle X}$要素をちょうど1つ含んでいます。

これは、集合の任意の分割に対して保証します。${\displaystyle X}$部分集合の存在${\displaystyle C}$の${\displaystyle X}$パーティションの各部分から正確に1つの要素のみを含む。

別の同等の公理はコレクションのみを考慮する${\displaystyle X}$これらは本質的に他の集合の冪集合である。

任意の集合に対して${\displaystyle A}$、​​${\displaystyle A}$（空集合を除いた）には選択関数がある。

この定式化を用いる著者は、しばしば選択関数について言及する。${\displaystyle A}$しかし、これは選択関数の少し異なる概念です。その定義域は、の冪集合です。${\displaystyle A}$（空集合を除いた）ので、任意の集合に対して意味がある。${\displaystyle A}$一方、この記事の他の箇所で使用されている定義では、集合の集合に対する選択関数の定義域はその集合自体であり、集合の集合に対してのみ意味を持ちます。この選択関数の別の概念を用いると、選択の公理は簡潔に次のように述べることができます。

すべての集合には選択関数がある。^{[ 6 ]}

これは以下と同等です

任意の集合に対して${\displaystyle A}$関数があります${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(A)\setminus \{\emptyset \}\to A}$任意の空でない部分集合に対して${\displaystyle B}$の${\displaystyle A}$、${\displaystyle f(B)}$横たわる${\displaystyle B}$。

したがって、この公理の否定は次のように表現できる。

セットがあります${\displaystyle A}$すべての関数に対して${\displaystyle f}$（空でない部分集合の集合について）${\displaystyle A}$) サブセットが存在する${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle f(B)}$嘘をつかない${\displaystyle B}$。

19世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙のうちにしばしば用いられていた。例えば、集合Xが空でない集合のみを含むことが確定した後、数学者は関数Fを定義するために「すべてのs∈Xについて、F ( s )をsの要素の一つとする」と述べることがあった。一般に、選択公理を用いずにFの存在を証明することは不可能であるが、このことはツェルメロまで気づかれずにいたようである。

選択公理を必要とする証明は、集合論の言語で対象を正統的に定義することなく、対象の存在を確立することができる。例えば、選択公理は実数の整列が存在することを示唆するが、選択公理を持つ集合論のモデルの中には、実数の個々の整列を定義できないものもある。同様に、選択公理を用いてルベーグ可測でない実数の部分集合が存在することを証明できるが、そのような集合は定義できないことは矛盾しない。^{[ 8 ]}

選択公理は、これらの無形物（存在が証明されているが、いかなる標準的な方法でも構成できない対象）の存在を主張しており、これはいくつかの哲学的原理と矛盾する可能性がある。^{[ 9 ]}すべての集合の標準的な整列順序が存在しないため、整列順序に依存する構成は、標準的な結果が望まれる場合であっても（圏論ではよくあることだが）、標準的な結果を生み出さない可能性がある。これは、選択公理の使用に反対する議論として用いられてきた。

選択公理に対するもう一つの反論は、それが直感に反すると思われる対象の存在を暗示しているという点である。^{[ 10 ]}一例として、バナッハ・タルスキーのパラドックスがある。これは、3次元の単位球を有限個の断片に分解し、回転と平行移動のみを用いて、それぞれの断片を元の球と同じ体積を持つ2つの球に再構成できるというものである。選択公理を用いて構築されたこの分解における断片は、非可測集合である。

一見矛盾しているように見えるこれらの結果にもかかわらず、ほとんどの数学者は選択公理を数学における新しい結果を証明するための有効な原理として受け入れている。しかし、この議論は十分に興味深いものであり、ZFC（ZF＋AC）の定理が（ZFの公理のみを用いて）選択公理と論理的に同値である場合は注目に値すると考えられている。また、数学者は選択公理が偽であることを必要とする結果を探しているが、この種の演繹は選択公理が真であることを必要とする演繹よりも一般的ではない。

ZFの定理は、その理論のどのモデルにおいても、その特定のモデルにおける選択公理の真偽に関わらず真である。以下に示す選択公理の含意（選択公理自体の弱いバージョンを含む）は、ZFの定理ではないため列挙されている。例えば、バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、ZFだけでは証明も反証もできない。ZFでは単位球の必要な分解を構成することは不可能であり、そのような分解が存在しないことを証明することも不可能である。このような命題は、例えば「ACが成り立つならば、バナッハ＝タルスキーのパラドックスにおける分解が存在する」といった条件文として言い換えることができる。このような条件文は、元の命題がZFと選択公理から証明可能な場合に、ZFで証明可能となる。

前述のように、ZFCの古典理論では、選択公理によって、あるタイプの対象の存在を、そのタイプのインスタンスの明示的な標準構成なしに証明できる非構成的証明が可能になります。実際、集合論とトポス理論では、ディアコネスクの定理によって、選択公理が排中律を含意することが示されています。したがって、非古典論理が用いられる構成的集合論では、この原理は利用できません。

マルティン・レーフ型理論で原理を定式化すると状況は異なります。マルティン・レーフ型理論と高階ハイティング算術では、選択公理の適切な記述は（アプローチに応じて）公理として含まれるか、定理として証明可能です。^{[ 11 ]}この違いの原因は、型理論の選択公理が構成的集合論の選択公理が持つような外延性を持たないことです。 ^{[ 12 ]}型理論の文脈については後述します。

構成的文脈ではさまざまな選択原理が徹底的に研究されており、それらの原理の地位は、構成的数学の学派や種類によって異なります。構成的集合論におけるいくつかの結果は、排中律を含意しない可算選択公理または従属選択公理を使用しています。構成的分析の枠組みを開発したことで有名なエレット・ビショップは、選択公理は構成的に受け入れられると主張し、次のように述べています。

構成的数学には選択関数が存在する。なぜなら、選択は存在そのものの意味によって暗示されているからである。^{[ 13 ]}

特に可算選択公理は構成的数学でよく用いられるが、その使用には疑問も呈されている。^{[ 14 ]}

1922 年という早い時期から、アブラハム・フランケル^{[ 15 ]}によって導入され、アンジェイ・モストフスキ^{[ 16 ]}によってさらに発展させられた順列モデルの手法により、ウレレメントを持つ ZF の変種では選択公理が失敗する可能性があることが知られていました。基本的な手法は次のように説明できます。n = 1, 2, 3...に対してx _nとy _{n を}異なるウレレメントとし、有限個のnを除くすべての n に対して、各セットが交換x _n ↔ y _nに関して対称であるようなモデルを構築します。すると、セットX = {{ x ₁ , y ₁ }, { x ₂ , y ₂ }, { x ₃ , y ₃ }, ...} はモデルに含めることができますが、{ x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...}のようなセットは含めることができず、したがってX は選択関数を持つことができません。

1938年、^{[ 17 ]}クルト・ゲーデルは、ZFCを満たす内部モデル（構成可能宇宙）を構築することにより、選択公理の否定がZFの定理ではないことを示し、ZF自体が無矛盾であればZFCも無矛盾であることを示した。1963年、ポール・コーエンは、この目的のために開発された強制法を用いて、ZFが無矛盾であると仮定すると、選択公理自体がZFの定理ではないことを示した。彼は、ZF¬C（ACの否定を公理として追加したZF）を満たすはるかに複雑なモデルを構築し、ZF¬Cが無矛盾であることを示した。コーエンのモデルは、順列モデルに似た対称モデルであるが、要素の代わりに（強制法によって正当化された）自然数の「一般的な」部分集合を使用する。^{[ 18 ]}

これらの結果を総合すると、選択公理はZF公理から論理的に独立していることが明らかになる。ZF公理が無矛盾であるという仮定は無害である。なぜなら、既に矛盾を抱えている体系に別の公理を追加しても、状況が悪化することはないからである。独立性ゆえに、証明において選択公理（またはその否定）を用いるかどうかの決定は、集合論の他の公理に依拠して行うことはできない。他の根拠に基づいて決定する必要がある。

選択公理を用いる利点の一つは、そうでなければ証明できないような単純化された命題を証明できるため便利であるという点です。選択公理を用いて証明できる定理の多くは、洗練された一般的な性質を持っています。例えば、任意の2つの集合の濃度は比較可能であること、すべての非自明な単位環には極大イデアルが存在すること、すべてのベクトル空間には基底が存在すること、すべての連結グラフには全域木が存在すること、コンパクト空間のすべての積はコンパクトであることなどです。選択公理は、定理を「より大きな」対象に一般化することを可能にする場合もよくあります。例えば、有限次元のすべてのベクトル空間には基底が存在することは選択公理を用いなくても証明できますが、すべてのベクトル空間への一般化には選択公理が必要です。同様に、コンパクト空間の有限積は選択公理を用いなくてもコンパクトであることが証明できますが、無限積への一般化（チコノフの定理）には選択公理が必要です。

独立性の証明は、ペアノ算術の言語で表現できるすべての命題を含む、幅広い数学的命題が、ZFC で証明可能な場合に限り ZF で証明可能であることも示している。^{[ 19 ]}このクラスの命題には、 P = NPという命題、リーマン予想、その他多くの未解決の数学的問題が含まれる。このクラスの問題を解こうとする場合、証明の存在だけが問題であれば、ZF または ZFC のどちらを使用しても違いはない。ただし、ZF よりも ZFC からの定理の証明の方が短い場合がある。

選択公理は、ZFとは独立した重要な命題の唯一の例ではありません。例えば、一般化連続体仮説（GCH）は、ZFとは独立しているだけでなく、ZFCとも独立しています。しかし、ZFとGCHを組み合わせるとACが導かれるため、GCHはACよりも厳密に強い主張となります。ただし、両者ともZFとは独立しています。

構成可能性の公理と一般化連続体仮説はそれぞれ選択公理を含意し、厳密には選択公理よりも強い。フォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデル集合論やモース＝ケリー集合論のようなクラス理論では、全体選択公理と呼ばれる公理があり、これは真のクラスにも適用されるため、集合の選択公理よりも強い。全体選択公理は、サイズの制限公理から導かれる。タルスキの公理は、タルスキ＝グロタンディーク集合論で使用され、（一般的に言えば）すべての集合が何らかのグロタンディーク宇宙に属することを述べているが、これは選択公理よりも強い。

ZFの公理を仮定するものの AC や ¬AC を仮定しない場合、選択公理と同等となる重要な命題が存在する (つまり、ZF におけるそれらの真理値は決定不能であるが、AC における真理値と同じである)。^{[ 20 ]}その中で最も重要なのは、ツォルンの補題と整列定理である。実際、ツェルメロは当初、整列定理の証明を形式化するために選択公理を導入した。

• 集合論
  • 三分割法：任意の2つの集合の要素数は互いに比較可能である。つまり、任意の2つの集合が与えられたとき、（少なくとも）一方の集合から他方の集合への単射が存在する。
  • タルスキの選択定理：すべての無限集合に対して${\displaystyle A}$セット${\displaystyle A}$そして${\displaystyle A\times A}$それらは同じ濃度を持つ。つまり、それらの間には全単射が存在する。
  • すべての射影${\displaystyle f:S\to T}$右逆関数を持つ。つまり、関数が存在する。${\displaystyle g:T\to S}$そのため${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{T}}$。
  • 互いに素な集合ごとに${\displaystyle {\mathcal {C}}}$空でない集合の集合が存在する${\displaystyle C\subseteq \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$それは、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ちょうど 1 つの要素において。つまり、集合のすべての分割には横断線が存在する。^{[ 21 ]}
  • 関係${\displaystyle R}$セットから${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle Y}$すべての${\displaystyle x\in X}$、${\displaystyle y\in Y}$と${\displaystyle xRy}$すると、関数が存在する${\displaystyle f:X\to Y}$そのため${\displaystyle xRf(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$。
  • 任意の添え字付き空でない集合族の直積は空でない。つまり、任意の集合に対して${\displaystyle I}$、そしてどんな${\displaystyle I}$-インデックス付きファミリー${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$空でない集合の集合が存在する${\displaystyle I}$-インデックス付きセット${\displaystyle (s_{i})_{i\in I}}$要素の${\displaystyle \cup _{i\in I}(S_{i})}$そのため${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$。
  • どのコレクションでも${\displaystyle {\mathcal {A}}}$空でない集合には、互いに素な部分集合が存在する。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$集合の和集合が${\displaystyle \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$すべてのメンバーと交差する${\displaystyle {\mathcal {A}}}$（なお、このような互いに素な部分集合は、集合の包含関係に関して極大となる部分集合に他ならない。）
  • 任意の集合に対して${\displaystyle X}$集合包含関係の下で最大の集合が存在する${\displaystyle {\mathcal {A}}}$サブセットの${\displaystyle X}$あらゆる有限部分集合に対して${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の${\displaystyle {\mathcal {A}}}$空でない交差部を持つ${\displaystyle \cap _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$（この記述は、チコノフの定理の標準的な証明において重要な鍵となる。）
  • 整列定理：すべての集合${\displaystyle A}$は整列順序（すなわち、空でないすべての部分集合が${\displaystyle A}$最小要素を持つ)。したがって、すべての基数には開始順序数がある。
  • すべての序数${\displaystyle \alpha }$、 の冪集合（つまり、すべての部分集合の集合）${\displaystyle \alpha }$整然としている。
  • ハウスドルフの極大原理：すべての半順序集合は（包含関係に関して）極大鎖を持つ。言い換えれば、半順序集合においては、すべての鎖を極大鎖に拡張することができる。
  • 反鎖原理：すべての半順序集合は、（包含関係に関して）極大反鎖を持つ。言い換えれば、任意の半順序集合において、すべての反鎖は極大反鎖に拡張できる。
  • ツォルンの補題：もし${\displaystyle (A,<)}$は、すべての鎖が上限を持つ半順序集合である。${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle (A,<)}$少なくとも1つの極大要素を持つ。
  • クラトフスキーの補題：もし${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、任意の部分族に対して、という性質を持つ集合の族である。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の${\displaystyle {\mathcal {A}}}$集合包含によって完全に順序付けられている和集合${\displaystyle \cup _{A\in {\mathcal {C}}}(A)}$は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {A}}}$包含関係に関して最大​​となる要素を少なくとも1つ持つ。
  • テューキーの補題：もし${\displaystyle {\mathcal {A}}}$集合の部分集合の任意の族${\displaystyle X}$集合の性質を持つ${\displaystyle B\subseteq X}$は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$すべての有限部分集合${\displaystyle B}$は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {A}}}$包含関係に関して最大​​となる要素を少なくとも1つ持つ。
  • ケーニッヒの定理：非公式には、基数の列の和は、それより大きい基数の列の積よりも厳密に小さい。（「非公式に」という表現を用いる理由は、基数の「列」の和や積は、選択公理の何らかの側面なしには定義できないからである。）
• 抽象代数
  • すべてのベクトル空間には基底が存在する。言い換えれば、ベクトル空間のすべての線形独立な部分集合は基底に拡張でき、すべての生成部分集合は基底を含む。加群理論の言葉で言えば、すべてのベクトル空間は自由加群である。^{[ 22 ]}
  • クルルの定理：すべての非自明な単位元環は極大イデアルを含む。言い換えれば、単位元環のすべての真イデアルは極大イデアルに拡張できる。
  • 空でないすべての集合に対して${\displaystyle S}$バイナリ演算が定義されています${\displaystyle S}$これにより群構造が与えられる。^{[ 23 ]}（取り消し可能な二項演算で十分である。群構造と選択公理を参照。）
  • すべての自由アーベル群は射影的である。^{[ 24 ]}
  • ベアの基準: すべての可除アーベル群は単射である。^{[ 24 ]}
  • すべての集合は集合のカテゴリーにおける射影対象である。^{[ 25 ] [ 26 ]}
• 機能分析
  • 実数体上のノルムベクトル空間の双対の閉じた単位球は極点を持つ。
• 点集合トポロジー
  • チホノフの定理：任意の添え字付きコンパクト位相空間の族の積はコンパクトである。
  • 位相空間の任意の添え字付き部分集合族の積の閉包は、それらの部分集合の閉包の積に等しい。
• 数理論理学
  • もし${\displaystyle S}$は一階述語論理の文の集合であり、${\displaystyle B}$は一貫した部分集合である${\displaystyle S}$、 それから${\displaystyle B}$は、一貫性のある部分集合の中で最大の集合に含まれる。${\displaystyle S}$特別なケースでは${\displaystyle S}$は、与えられたシグネチャ内のすべての一階述語論理式の集合であり、ブール素イデアル定理と同等のより弱い形式です。以下の「より弱い形式」のセクションを参照してください。
  • レーヴェンハイム＝スコレムの定理：一階理論が無限モデルを持つならば、その理論の言語の濃度以上のあらゆる可能な濃度の無限モデルを持つ。
• グラフ理論
  • すべての連結グラフには全域木が存在する。言い換えれば、連結グラフ内のすべての木は全域木に拡張でき、すべての全域部分グラフには全域木が含まれる。^{[ 27 ] [ 28 ]}

ZFでは証明できない、より弱い命題がいくつか存在する。これらの命題は、ZF内の選択公理（AC）から論理的に導かれるものの、ACと同値ではない。例えば、従属選択公理（DC）が挙げられる。さらに弱い例として、可算選択公理（ACω_またはCC）がある。これは、任意の可算な空でない集合族に対して選択関数が存在することを述べている。これらの公理は、初等数学解析における多くの証明に十分であり、実数のすべての部分集合のルベーグ可測性など、完全な選択公理から反証可能な原理とも整合している。

順序パラメータα ≥ ω +2が与えられた場合、ランクがα未満のすべての集合Sに対して、S は整列可能である。順序パラメータα ≥ 1が与えられた場合、ハートッグス数がω _α未満のすべての集合Sに対して、Sは整列可能である。順序パラメータが増加するにつれて、これらは選択公理の完全版にますます近似する。

選択公理よりも弱い選択公理には、ブール素イデアル定理や一様化公理などがある。前者は、ZF においては、タルスキの 1930 年の超フィルタ補題、すなわちすべてのフィルタは何らかの超フィルタの部分集合であるというものと同等である。

実数のすべての集合がベールの性質を持つという主張をBPと略記すると、BPは、おそらく単一の空でない集合の集合にのみ選択関数が存在しないと主張する¬ACよりも強い。強化された否定は、ACの弱化された形式と両立する可能性がある。たとえば、ZFが矛盾しない場合、ZF + DC ^{[ 39 ]} + BPは矛盾しない。

実数の集合はすべてルベーグ可測であるということは、ZF + DC とも整合的であるが、この整合性結果は、ロバート M. ソロベイによるもので、ZFC 自体では証明できず、緩やかな大きな基数の仮定 (到達不可能な基数の存在) を必要とする。決定性の公理(AD) は、実数の集合はすべてルベーグ可測であり、ベールの性質を持ち、完全集合の性質を持つことを意味する (これら 3 つの結果はすべて AC 自体によって反駁される)。十分強い大きな基数の公理 (無限に多くのウッデ​​ィン基数の存在) が整合的であれば、ZF + DC + AD は整合的である。

クワインの公理的集合論体系である新基礎論（NF）は、それを紹介した1937年の論文のタイトル（「数学的論理のための新基礎論」）からその名を取っている。NF公理系では、選択公理は反証可能である。^{[ 40 ]}

ツェルメロ＝フレンケル集合論には、選択公理が偽となるモデルが存在する。ここでは、「ツェルメロ＝フレンケル集合論に選択公理の否定を加えたもの」をZF¬Cと略記する。ZF¬Cの特定のモデルでは、いくつかの標準的なZFC定理の否定を検証することが可能である。ZF¬CのモデルはZFのモデルでもあるため、以下の各命題について、その命題が真となるZFのモデルが存在する。

• 弱い分割原理の否定：元の集合の要素数よりも厳密に多くの同値類に分割できる集合と、定義域が値域よりも厳密に小さい関数が存在する。実際、これは既知のすべてのモデルにおいて当てはまる。
• 実数から実数への関数fが存在し、 f はaで連続ではないが、fはaで連続である。つまり、aに収束する任意の数列 { x _n }に対して、lim _n f( x _n )=f(a) が成り立つ。
• 可算無限部分集合を持たない、無限個の実数からなる集合が存在する。
• 実数は可算集合の可算和集合である。^{[ 41 ]}これは実数が可算であることを意味するものではない。上で指摘したように、可算集合の可算和集合自体が可算であることを示すには、可算選択公理が必要となる。
• 代数的閉包を持たない体が存在する。
• 互いに同型でない2つの代数的閉包を持つ体が存在する。
• ZF¬Cのすべてのモデルには、基底を持たないベクトル空間が存在する。
• 基底の濃度が異なる2つのベクトル空間が存在する。
• 可算個の生成元上には自由完全ブール代数が存在する。^{[ 42 ]}
• 線形順序付けできない集合が存在する。
• ^{ZFCには、R n}のすべての集合が可測であるようなモデルが存在する。したがって、ZFCでは証明可能なバナッハ・タルスキーのパラドックスのような直感に反する結果を排除することができる。さらに、これは、ACよりも弱いが実解析の大部分を展開するには十分な従属選択公理を仮定しながら可能である。
• ZF¬Cのすべてのモデルにおいて、一般化連続体仮説は成り立たない。

証明については、Jech (2008)を参照のこと。

さらに、集合に定義可能性条件（記述集合論の意味で）を課すことで、一般的な選択公理と両立しない公理から、選択公理の制限版を証明できる場合が多い。これは、例えばモスコヴァキス符号化補題に見られる。

型理論では、選択公理と呼ばれる別の種類の命題があります。この形式は、2つの型σとτ、および型σのオブジェクトと型τのオブジェクト間の関係Rから始まります。選択公理は、型σの各xに対して、 R ( x , y )を満たす型τのyが存在するならば、型σのオブジェクトから型τのオブジェクトへの関数fが存在し、すべての型σのxに対してR ( x , f ( x ))が成り立つと述べています。

$${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$$

集合論とは異なり、型理論における選択公理は通常、公理体系として記述され、Rはすべての論理式、または特定の論理形式のすべての論理式にわたって変化する。

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翻訳元：Jean van Heijenoort、2002年。『フレーゲからゲーデルへ：数学論理学の資料集、1879年～1931年』。新版。ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-32449-8

• 1904年。「すべての集合は整列可能であることの証明」、139-41頁。
• 1908年。「集合論の基礎に関する研究 I」、199-215頁。

• Springer Encyclopedia of Mathematicsの「選択公理」の項目。
• ProvenMathの「選択公理とその等価性」の項目。選択公理、ハウスドルフの最大原理、ツォルンの補題の正式な記述と、それらの等価性を細部に至るまで証明する正式な証明が含まれています。
• 選択の公理の結果 ( 2021年5月15日にWayback Machineにアーカイブ) 、 Paul HowardとJean Rubinの著書に基づく ( 2021年2月26日にWayback Machineにアーカイブ) 。
• 「選択の公理」の項目ジョン・レーン・ベル著、スタンフォード哲学百科事典より。