基数

数学において、基数、または略して基数は、一般に集合の要素の数と呼ばれるものです。有限集合の場合、その基数、または基数は自然数です。無限集合の場合を扱うために、無限基数が導入されました。これは、無限基数の中での順位を示す下付き文字が付いたヘブライ文字 (アレフ)で示されることがよくあります。 ${\displaystyle \aleph}$

濃度は、全単射関数によって定義されます。2 つの集合の濃度が同じであるためには、 2 つの集合の要素間に1 対 1 の対応(全単射)が必要です。有限集合の場合、これは要素の数という直感的な概念と一致します。無限集合の場合、動作はより複雑になります。ゲオルク・カントールによる基本定理は、無限集合が異なる濃度を持つこと、特に実数集合の濃度が自然数集合の濃度よりも大きいことを示しています。また、無限集合の真部分集合が元の集合と同じ濃度を持つことも可能ですが、これは有限集合の真部分集合では起こり得ないことです。

基数の 超限列が存在する:

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$

この数列は、ゼロを含む自然数（有限基数）で始まり、その後にアレフ数が続きます。アレフ数は序数でインデックス付けされます。選択公理が真であれば、この超限数列にはすべての基数が含まれます。選択公理が真でない場合（選択公理 § 独立性を参照）、アレフ数ではない無限基数が存在します。

基数は集合論の一部としてそれ自体のために研究されています。また、モデル理論、組合せ論、抽象代数、数学的解析などの数学の分野でも使用されるツールです。圏論では、基数は集合の圏の骨組みを形成します。

現在理解されている濃度の概念は、集合論の創始者であるゲオルク・カントールによって1874 年から 1884 年にかけて定式化されました。濃度は有限集合の側面を比較するために使用できます。たとえば、集合 {1,2,3} と {4,5,6} は等しくありませんが、濃度は同じ3 です。これは、2 つの集合の間に全単射(つまり、1 対 1 の対応)が存在することによって確立されます。たとえば、対応 {1→4、2→5、3→6} などです。

カントールは、彼の一対一の概念を無限集合^[1]（例えば、自然数の集合N = {0, 1, 2, 3, ...}）に適用した。したがって、彼はN 個の可算（可算無限）集合と一対一である集合すべてを と呼び、それらはすべて同じ基数を共有する。この基数は、アレフ零と呼ばれる。彼は無限集合の基数を超限基数と呼んだ。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$

カントールは、直感に反するように見えるかもしれないが、Nの任意の無限部分集合はNと同じ濃度を持つことを証明した。また、自然数の順序付きペアの集合はすべて可算であることも証明した。これは、すべての有理数の集合も可算であることを意味する。なぜなら、すべての有理数は整数のペアで表すことができるからである。後に、彼はすべての実代数的数の集合も可算であることを証明した。各実代数的数z は、それが解である多項式方程式の係数である有限の整数列、すなわち順序付けられた n 組 ( a ₀、a ₁、 ...、a _n )、a _i ∈ Zと 1 組の有理数 ( b ₀、b ₁ )としてエンコードされる場合があります。この場合、 z は、区間 ( b ₀、b ₁ ) 内に存在する係数 ( a ₀、a ₁、 ...、a _n )を持つ多項式の唯一の根です。

カントルは 1874 年の論文「すべての実代数的数の集合の性質について」で、実数の集合の基数がNの基数より大きいことを示して、高次の基数が存在することを証明しました。彼の証明ではネストされた区間の議論が使用されましたが、 1891 年の論文では、独創的ではるかに単純な対角線の議論を使用して同じ結果を証明しました。実数集合の新しい基数は連続体の基数と呼ばれ、カントルはそれを記号で表しました。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

カントルは基数の一般理論の大部分を発展させ、最小の超限基数（アレフゼロ）が存在すること、またすべての基数に対して次に大きい基数が存在することを 証明した。${\displaystyle \aleph_{0}}$

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}$

彼の連続体仮説は、実数の集合の濃度は と同じであるという命題である。この仮説は数学の集合論の標準的な公理とは独立しており、つまり、それらから証明することも反証することもできない。これは 1963 年にポール・コーエンによって示され、 1940 年の クルト・ゲーデルによる初期の研究を補完するものである。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

非公式な用法では、基数とは、0 が含まれる場合に通常計数と呼ばれる数であり、0、1、2、... となります。これらは、 0 から始まる自然数と同一視される場合があります。計数とは、正式に有限基数として定義できる数とまったく同じです。無限基数は、高レベルの数学と論理学でのみ使用されます。

より正式には、非ゼロの数は、セットのサイズを記述するか、シーケンス内の要素の位置を記述するという 2 つの目的で使用できます。有限セットとシーケンスの場合、シーケンス内の位置を記述するすべての数に対して、正確なサイズを持つセットを構築できるため、これら 2 つの概念が一致することは簡単にわかります。たとえば、3 はシーケンス <'a','b','c','d',...> 内の 'c' の位置を記述し、3 つの要素を持つセット {a,b,c} を構築できます。

しかし、無限集合を扱う場合、2 つの概念は実際には無限集合に対して異なるため、これら 2 つを区別することが重要です。位置の側面を考慮すると順序数が導き出されますが、サイズの側面はここで説明する基数によって一般化されます。

基数の正式な定義の背後にある直感は、集合に含まれる要素の種類に関係なく、集合の相対的なサイズまたは「大きさ」の概念を構築することです。有限集合の場合、これは簡単です。集合に含まれる要素の数を数えるだけです。より大きな集合のサイズを比較するには、より洗練された概念に頼る必要があります。

集合Y が集合Xと同じ大きさ以上であるとは、Xの要素からYの要素への単射 写像が存在する場合です。単射写像は、集合Xの各要素を集合Yの一意の要素で識別します。これは例で簡単に理解できます。集合X = {1,2,3} およびY = {a,b,c,d} があるとします。このサイズの概念を使用すると、写像が存在することがわかります。

1 → ア

2 → ば

3 → は

これは単射なので、Y の基数はX以上であると結論付けられます。要素 d には要素マッピングがありませんが、単射マッピングのみが必要であり、必ずしも全単射マッピングは必要ないため、これは許可されます。この概念の利点は、無限集合に拡張できることです。

次に、これを等式スタイルの関係に拡張することができます。2つの集合 XとY が同じ濃度を持つとは、 XとYの間に一対一の関係が存在する場合を指します。シュレーダー・ベルンシュタインの定理によれば、これはXからYへの単射写像と、YからXへの単射写像の両方が存在することと同等です。このとき、 | X | = | Y | と書きます。 X自体の濃度は、| a | = | X |となる最小の順序数aとして定義されることがよくあります。 ^[2]これはフォン・ノイマンの基数割り当てと呼ばれます。この定義が意味をなすためには、すべての集合がある順序数と同じ濃度を持つことを証明する必要があります。このステートメントは整列原理と呼ばれます。ただし、オブジェクトに明示的に名前を割り当てなくても、集合の相対的な濃度について議論することは可能です。

使用される典型的な例は、無限ホテルのパラドックス、またはヒルベルトのグランドホテルのパラドックスです。無限の数の部屋があるホテルに宿屋の主人がいるとします。ホテルは満室で、その後新しいゲストが到着します。部屋 1 にいたゲストに部屋 2 に移動し、部屋 2 のゲストに部屋 3 に移動するように依頼することで、余分なゲストを収容することができ、部屋 1 は空のままになります。このマッピングのセグメントを明示的に記述できます。

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

ｎ → ｎ + 1

...

この割り当てにより、集合 {1,2,3,...} は集合 {2,3,4,...} と同じ濃度を持つことがわかります。これは、最初の集合と 2 番目の集合の間の一対一性が示されているためです。これにより、同じ濃度の適切な部分集合 (つまり、デデキント無限集合) を持つ任意の集合が無限集合であると定義されます。この場合、{2,3,4,...} は {1,2,3,...} の適切な部分集合です。

これらの大きなオブジェクトを検討する場合、カウント順序の概念が、これらの無限セットに対して上で定義された基数の概念と一致するかどうかも確認する必要があります。実際には一致しません。上記の例を検討すると、「無限よりも 1 大きい」オブジェクトが存在する場合、そのオブジェクトは、最初に使用した無限セットと同じ基数を持つ必要があることがわかります。各数を順番にカウントして検討するというアイデアに基づいて、順序数と呼ばれる、数の異なる形式的な概念を使用することもできます。また、有限数から外に出ると、基数と順序数の概念が分岐することがわかります。

実数の基数は、今説明した自然数の基数よりも大きいことが証明できます。これは、カントールの対角線論法を使用して視覚化できます。基数に関する古典的な問題 (たとえば、連続体仮説) は、他の無限基数のペアの間にある基数が存在するかどうかを発見することに関係しています。最近では、数学者はより大きな基数の特性を説明してきました。

濃度は数学で非常に一般的な概念であるため、さまざまな名前が使用されています。濃度の同一性は、等ポテンス、等ポレンス、等数性と呼ばれることがあります。したがって、同じ濃度を持つ 2 つの集合は、それぞれ、等ポテンス、等ポレント、等数性であると言われます。

正式には、選択公理を仮定すると、集合Xの濃度は、 Xと α が一対一であるような最小の順序数α です。この定義は、フォン・ノイマンの基数割り当てとして知られています。選択公理を仮定しない場合は、別のアプローチが必要です。集合Xの濃度の最も古い定義(カントールでは暗黙的、フレーゲとプリンキピア・マテマティカでは明示的) は、Xと数が等しいすべての集合のクラス [ X ] です。これは、 Xが空でない場合、このコレクションは集合としては大きすぎるため、 ZFCやその他の関連する公理集合論システムでは機能しません。実際、 X ≠ ∅ の場合、集合mを { m } × Xにマッピングすることによって宇宙から [ X ]に注入できるため、サイズ制限公理により、[ X ] は適切なクラスです。ただし、この定義は型理論やNew Foundationsおよび関連システムでは機能します。ただし、このクラスをXと同数でランクが最小のものに限定すると、機能します (これはDana Scottによるトリックです。^[3]任意のランクを持つオブジェクトのコレクションがセットであるため機能します)。

フォン ノイマンの基数割り当ては、有限集合の基数がその集合のすべての可能な順序付けの共通順序数であることを意味し、基数演算と順序演算 (加算、乗算、累乗、適切な減算) は有限数に対して同じ答えを与えます。しかし、無限数に対しては異なります。たとえば、順序演算では ですが、基数演算では、フォン ノイマン割り当ては になります。一方、スコットのトリックは、基数 0 が であり、それが順序数 1 でもあることを意味し、これは混乱を招く可能性があります。可能な妥協案（有限演算の整列を利用しながら、選択公理への依存と無限演算の混乱を回避する）は、フォン・ノイマン割り当てを有限集合（整列可能で、適切な部分集合と等しくないもの）の基数に適用し、他の集合の基数にはスコットのトリックを使用することです。 ${\displaystyle 2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$${\displaystyle \{\emptyset \}}$

正式には、基数間の順序は次のように定義されます。 | X | ≤ | Y | は、 XからYへの単射関数が存在することを意味します。カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理は、 | X | ≤ | Y | かつ | Y | ≤ | X | の場合、 | X | = | Y | となります。選択公理は、2 つの集合XとYが与えられたとき、 | X | ≤ | Y | または | Y | ≤ | X | のいずれかとなるという命題と同等です。^{[4] [5]}

集合X は、 | X | = | Y | となるXの真部分集合Yが存在する場合デデキント無限であり、そのような部分集合が存在しない場合にはデデキント有限である。有限基数は自然数であり、ある自然数nに対して | X | = | n | = nとなる場合のみ集合Xが有限であるという意味である。その他の集合は無限である。

選択公理を仮定すると、デデキントの概念が標準的な概念に対応することが証明できます。また、自然数の集合の基数（アレフ ヌルまたはアレフ-0、アレフはヘブライ語アルファベットの最初の文字で、 で表される）が最小の無限基数（つまり、任意の無限集合には基数 のサブセットがある）であることも証明できます。次に大きい基数は で表され、以下同様に続きます。すべての順序数 α に対して基数があり、このリストはすべての無限基数を網羅しています。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha},}$

自然数の通常の演算を一般化した基数に対する算術演算を定義できます。有限基数の場合、これらの演算は自然数の通常の演算と一致することが示されます。さらに、これらの演算は通常の算術と多くの特性を共有しています。

^{選択公理が成り立つ場合、すべての基数 κ には κ + と}表記される後継基数があり、ここで κ ⁺ > κ であり、κ とその後継基数の間には基数は存在しません。(選択公理がない場合、ハートッグスの定理を使用して、任意の基数 κ に対して、 となる最小の基数 κ ⁺が存在することが示されます。) 有限基数の場合、後継基数は単に κ + 1 です。無限基数の場合、後継基数は後継順序数とは異なります。 ${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

XとYが互いに素である場合、加算はXとYの和集合によって与えられます。2 つの集合がまだ互いに素でない場合は、同じ基数の互いに素な集合に置き換えることができます (たとえば、XをX ×{0}に、 Y をY ×{1}に置き換えます)。

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$^[6]

ゼロは加法単位κ + 0 = 0 + κ = κです。

加算は結合( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν )です。

加算は可換です κ + μ = μ + κ。

どちらの議論でも、加算は減少しません。

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ および }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )) 。}$

選択公理を仮定すると、無限基数の加算は容易である。κまたはμのいずれかが無限であれば、

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

選択公理を仮定し、無限基数σと基数μが与えられたとき、 μ ≤ σの場合にのみμ + κ = σとなる基数κ が存在します。 μ < σ の場合にのみ、それが一意になります (そしてσと等しくなります) 。

基数の積はデカルト積から得られます。

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}$^[6]

κ ·0 = 0· κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 またはμ = 0)。

1 つは乗法恒等式κ ·1 = 1 · κ = κです。

乗算は結合 ( κ · μ ) · ν = κ ·( μ · ν ) です。

乗算は可換です κ · μ = μ · κ。

乗算は両方の引数で非減少です: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · νおよびν · κ ≤ ν · μ )。

乗算は加算に 分配されます: κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · νおよび ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ。

選択公理を仮定すると、無限基数の乗算も簡単である。κ またはμのいずれかが無限大で、両方ともゼロでない場合、

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

したがって、2 つの無限基数の積はそれらの合計に等しくなります。

選択公理を仮定し、無限基数πと非ゼロ基数μが与えられると、 μ ≤ πの場合にのみμ · κ = πとなる基数κ が存在します。 μ < π の場合にのみ、それが一意（かつπに等しい）になります。

累乗は次のように表される。

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,}$

ここでX ^YはYからXまでのすべての関数の集合である。^[6]右辺がとのみに依存していることは簡単に確認できる。 ${\displaystyle {|X|}}$${\displaystyle {|Y|}}$

κ ⁰ = 1 (特に 0 ⁰ = 1)、空関数を参照してください。

1 ≤ μの場合、 0 ^μ = 0 となります。

1μ =1^です。

κ ¹ = κです。

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν。

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν。

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν。

指数はどちらの引数でも非減少です。

(1 ≤ νおよびκ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) および

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν )。

2 ^{| X | は}集合Xのべき集合の基数であり、カントールの対角論法は任意の集合Xに対して2 ^{| X |} > | X | であることを示しています。これは、最大基数が存在しないことを証明しています (任意の基数κに対して、常にそれより大きい基数 2 ^κを見つけることができるため)。実際、基数のクラスは適切なクラスです。 (この証明は、一部の集合論、特にNew Foundationsでは失敗します。)

このセクションの残りのすべての命題は選択公理を前提としています。

κとμ が両方とも有限で 1 より大きく、νが無限である場合、 κ ^ν = μ ^{ν と}なります。

κが無限で、μが有限で非ゼロの場合、 κ ^μ = κ となります。

2 ≤ κかつ 1 ≤ μであり、そのうちの少なくとも 1 つが無限大である場合、次のようになります。

最大 ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ 最大 (2 ^κ , 2 ^μ )。

ケーニッヒの定理を使用すると、任意の無限基数κに対してκ < κ ^{cf( κ )}およびκ < cf(2 ^κ )を証明できます。ここで、 cf( κ ) はκの共終点です。

選択公理を仮定し、無限基数κと0 より大きい有限基数μが与えられると、満たす基数νは になります。 ${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$${\displaystyle \kappa}$

選択公理を仮定し、無限基数κと 1 より大きい有限基数μが与えられた場合、 を満たす基数λ が存在する場合と存在しない場合があります。ただし、そのような基数が存在する場合、それは無限かつκ未満であり、1 より大きい有限基数νも を満たします。 ${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

無限基数κの対数は、 κ ≤ 2 ^μとなる​​最小の基数μとして定義される。無限基数の対数は、位相空間の基数不変量の研究など、数学のいくつかの分野で有用であるが、正の実数の対数が持つ特性のいくつかを欠いている。^{[7] [8] [9]}

連続体仮説（CH）は、 との間に厳密には基数は存在しないと述べている。後者の基数は とも表記されることが多く、連続体（実数の集合）の基数である。この場合、${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

同様に、一般化連続体仮説(GCH) は、任意の無限基数 に対して、厳密にと の間にある基数は存在しないことを述べています。連続体仮説と一般化連続体仮説はどちらも、集合論の通常の公理、ツェルメロ-フランケル公理​​と選択公理 ( ZFC )とは独立していることが証明されています。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$

実際、イーストンの定理は、正規基数 に対して、ZFC が の基数に課す唯一の制約は であり、指数関数が非減少であることを示しています。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$

注記

文献

• ダウベン、ジョセフ・ウォーレン（1990年）、ゲオルク・カントール：無限の数学と哲学、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 0691-02447-2
• ハーン、ハンス、「無限」、第 IX 部、第 2 章、第 3 巻、数学の世界。ニューヨーク: サイモン & シュスター、1956 年。
• ハルモス、ポール、素朴集合論。ニュージャージー州プリンストン: D. Van Nostorm Company、1960 年。Springer -Verlag 社、ニューヨーク、1974 年再版。ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag 版)。 
• シンドラー、ラルフ・ディーター（2014）。集合論：独立性と真実の探求。Universitext。Cham：Springer-Verlag。doi：10.1007 /978-3-319-06725-4。ISBN 978-3-319-06725-4。

• 「基数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]