制限カーディナル

数学において、極限基数とは特定の基数を指します。基数λが弱極限基数であるとは、 λが後継基数でもゼロでもないことを意味します。つまり、他の基数からλへは、後継基数操作を繰り返しても到達できないということです。文脈が明確な場合、これらの基数は単に「極限基数」と呼ばれることもあります。

基数λは、繰り返し冪集合演算を行ってもλに到達できない場合、強極限基数である。これは、λがゼロではなく、すべてのκ < λに対して2 ^κ < λであることを意味する。すべての強極限基数は弱極限基数でもある。なぜなら、カントールの定理により、すべての基数κに対してκ ⁺ ≤ 2 ^κが成り立つからである。ここで、κ ^{+ は}κの後継基数を表す。

最初の無限基数、$\displaystyle \aleph _{0}}$(アレフノート)は強い極限基数であり、したがって弱い極限基数でもある。

限界基数を構築する一つの方法は、和集合演算を用いることです。${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は弱限界基数であり、それより前のすべてのアレフの和集合として定義される。一般に${\displaystyle \aleph _{\beta }}$任意の極限順序数βは弱極限基数である。

ב演算は、強い極限基数を取得するために使用できます。この演算は、次のように定義される順序数から基数へのマップです。

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$（冪集合と同数の最小の順序数）

βが極限順序数である場合、${\displaystyle \beth _{\beta }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\beta \}.}$

枢機卿

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

は、共終性ωの強い極限基数です。より一般的には、任意の順序数αが与えられたとき、基数

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

は強極限基数である。したがって、強極限基数は任意に大きくなる可能性がある。

選択公理が成り立つ場合、すべての基数には最初の序数があります。その最初の序数が${\displaystyle \omega _{\beta }\,,}$基数は次の形式になります${\displaystyle \aleph _{\beta }}$同じ序数添え字βの場合。序数βは、${\displaystyle \aleph _{\beta }}$は弱い限界基数です。なぜなら${\displaystyle \aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$βが後続順序数である場合${\displaystyle \aleph _{\beta }}$は弱極限ではない。逆に、基数κが後継基数である場合、${\displaystyle \kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$それから${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.}$したがって、一般的には、${\displaystyle \aleph _{\beta }}$が弱い極限基数であるのは、βがゼロであるか極限順序数である場合に限る。

アレフの序数添え字は基数が弱極限であるかどうかを示しますが、基数が強極限であるかどうかは示しません。例えば、ZFC は、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は弱い極限基数であるが、それを証明も反証もしない${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は強い極限基数である（Hrbacek and Jech 1999:168）。一般化された連続体仮説は、${\displaystyle \kappa ^{+}=2^{\kappa }\,}$任意の無限基数κに対して。この仮定の下では、弱極限基数と強極限基数の概念は一致する。

弱極限基数または強極限基数の概念は、「到達不能性」の概念を定義します。つまり、後継者演算と冪集合演算を有限回繰り返すだけでは不十分な場合を扱っています。そのため、上記の直感的な定義の両方で「到達できない」という表現が使われています。しかし、「和集合演算」は常にこれらの基数に「アクセス」する別の方法を提供します（実際、極限順序数も同様です）。より強い到達不能性の概念は、共終性を用いて定義できます。弱極限基数κ（それぞれ強極限基数）の場合、 cf( κ ) = κ（つまりκは正則）である必要があり、 κ はκ個未満のより小さな基数の和（和集合）として表現できません。このような基数は、弱到達不能基数（それぞれ強到達不能基数）と呼ばれます。${\displaystyle \aleph _{\omega }}$そして${\displaystyle \beth _{\omega }}$これらは両方とも共終性ωの特異基数であり、したがってアクセス不可能ではない。

$\displaystyle \aleph _{0}}$両方の「強さ」を持つ到達不可能な基数となるはずだが、到達不可能の定義ではそれらが非可算でなければならない。選択公理を持つ標準的なツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）では、上記のどちらの種類の到達不可能な基数の存在の無矛盾性さえ証明できない。$\displaystyle \aleph _{0}}$ゲーデルの不完全性定理により、より具体的には、${\displaystyle \kappa }$弱くアクセス不能な場合${\displaystyle L_{\kappa }\models ZFC}$到達不可能な基数は、大きな基数の階層の最初のものを形成する。

• カレル、フルバチェク。Jech、Thomas (1999)、集合論入門(3 版)、CRC Press、ISBN 0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (third millennium  ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-44761-X , ISBN 978-3-540-44085-7
• クネン、ケネス（1980）、『集合論：独立性証明入門』、エルゼビア、ISBN 978-0-444-86839-8

• http://www.ii.com/math/cardinals/カーディナルに関する無限のインク