ジョン・ペン・メイベリー

ジョン・ペン・メイベリー（1939年11月18日 - 2016年8月19日）は、アメリカの数理哲学者であり、独特のアリストテレス数学哲学の創始者であり、その哲学を著書『集合論における数学の基礎』で表現した。^[1]イリノイ大学でガイシ・タケウチの指導の下で博士号を取得した後、1966年にブリストル大学数学科に就任。2004年に退職するまで、数学講師として同大学に在籍した。

メイベリーの哲学は、数学を非物質的だが理解可能な客観的実体についての真理の発見に関わる超越論的科学とするプラトンの伝統を形而上学的に傲慢なものとして否定している。この立場は、現役の数学者の間でおそらく「沈黙する多数派」の見解と異なる。ロジャー・ペンローズは、典型的なプラトンの立場を雄弁に表現している。

「自然数は、人類や地球上の他の生物が存在する前から存在しており、すべての生命が滅んだ後も存在し続けるだろう。自然数は4つの平方数の和であるというのは常に事実であり、この事実をラグランジュが思いつくまで待つ必要はなかった。」^[2]

一方、メイベリーは、操作主義によって汚染された数学の理解を激しく否定している。彼は次のように書いている。

「私は数学における操作主義を、数学者が数え、計算し、証明を書き、記号を発明し、図を描くなどの活動（実際のものまたは理想化されたもの）の中に数学の基礎が発見されるという教義であると考えています。……実際のものであろうと理想化されたものであろうと、人間の活動や能力の考慮は数学の基礎には入り込む余地がなく、私たちは数学の基礎となる要素、原理、方法からそれらを排除するためにあらゆる努力をしなければなりません。」^[3]

最も典型的で最も広く普及している操作主義の教義は、自然数は 1 から始まり、1 を足して 2 になり、さらに 1 を足して 3 になり、これを無限に続けることで構成できるというものである。これはN = 1, 2, 3 …… という表記で表現される。ここで、ドットは「1 を足す」という無限の繰り返しを表す。これらの省略のドットを受け入れるということは、無限の繰り返しの理解可能性を受け入れるということである。メイベリーは、この種の定義は十分に明確で、時間の性質に関する素朴でおそらく誤った直観から十分に切り離されているため、さらなる正当化なしに数学に含めることを正当化できるとは考えていない。彼は次のように書いている。

「自然数体系が主要なデータ、つまり単に「与えられた」ものとしてとらえられるとき、数学的帰納法による証明の原理や、その体系に沿った再帰による定義も「与えられた」ものとして見るのは自然なことです。……自然数は、数え上げていく過程で得られるもの、つまり 1,2 と見なされます。……ここで省略記号の点「……」は、何となく自明であるように見えます。結局のところ、どれだけ数え上げてきたとしても、数え上げを続ける方法はわかっているのです。しかし、これらの省略記号の点には、自然数という概念の謎がすべて含まれています。……数え上げや計算の操作も主要なデータとしてとらえられるべきではありません。それらは、より基本的な概念に基づいて分析されなければなりません。したがって、反カントール派のすべての学派が共有する操作主義を拒否することになります。

私たち現代人にとって、数字は、数えたり計算したりできるという点で存在意義を持ちますが、ギリシャの「数」（arithmoi）は、それ自体が単純で理解しやすい性質を持つオブジェクトでした。私たちの自然数は、（原則として）私たちが（数え上げることによって）構築できるものであり、いわば、ギリシャの数字は単に「そこにあった」のです。 .......

私は、この自然数の操作主義的概念が、数学の基礎に関する私たちの考えの根底にある中心的な誤りであると確信しています。これは異端者に限定されるものではなく、正統派カントール派の大多数によって共有されています。」^[4]

彼の立場は、過去数世紀の教育実践だけでなく、古代にまで遡る伝統とも相容れない。ユークリッドは『原論』第 5 巻の定義 4 で、同じ種類の 2 つの大きさ A と B が「互いに比を持つ」と次のように定義している。

「大きさは互いに比率を持ち、掛け合わせると互いを超えることができると言われている」^[5]

言い換えれば、例えば A をそれ自体に繰り返し加算した結果が、例えば B をもう一方を超える大きさになる場合、つまり、ある自然数nに対して、n A > B である。逆に、A と B のいずれかをそれ自体に無限に繰り返し加算しても、もう一方を超える大きさが生成されない場合は、これらの間に比はありません。ユークリッドは第 5 巻で比の一般理論を展開し、第 6 巻では、第 1 巻から第 4 巻で示されている導出を大幅に簡素化し、第 1 巻から第 4 巻の定理の一部の範囲を拡張するために比の概念の威力を実証しています。特に注目すべき例は、相似三角形を使用したはるかに単純な証明がすぐに利用できる第 3 巻の命題 35 と、ピタゴラスの定理を正方形から一般的な相似図形に拡張した第 6 巻の命題 31 です。

第 7 巻で、ユークリッドは、直線、角度、図形といった幾何学的な大きさのほかに、別の種類の大きさとして「arithmos」という概念を導入している。これは「多数の単位」として理解されるべきものであり、単位とは「何かを 1 と呼ぶためのもの」である。単数と空集合の地位については多少の留保があるが、ギリシャの「arithmos」という概念は、本質的には現代の「集合」の概念である。メイベリーは、ユークリッドの共通概念 5「全体は部分より大きい」を arithmoi に適用した場合の意味は、arithmoi は合同ではあり得ないということであり、この語はヒースにならって「ぴったりと当てはめることができる」と理解されている^[6] 。言い換えれば、集合は、集合とその集合の適切な部分集合との間に 1 対 1 の対応がないという現代的な意味で有限である、ということに、啓示のような衝撃を受けたと述べている。ギリシャの算術、特にユークリッドの第 VII 巻から第 IX 巻が、実際には有限集合の研究であるという事実は、「arithmos」が「数」と広く翻訳されていること、および 17 世紀に数の概念が元の「arithmos」の意味から「比率」に変化したことで不明瞭になっています。この意味の変化は、ニュートンの講義で明確に表現されています。

「数とは、単位の多さではなく、ある量と、私たちが単位として捉える同じ種類の別の量との抽象化された比率を意味します。」^[7]

メイベリーの、数学の重要な概念の発展における真の歴史的順序に関する確信は、彼の哲学的志向の中心となっている。彼は、ジェイコブ・クラインの『ギリシャの数学的思想と代数の起源』^[8]とリチャード・デデキントの回想録『数とは何か、そして数とは何か』 ^[9]を読んだことで、この確信に至った。

17 世紀半ばから 19 世紀にかけて、自然数とそれが依存する無限反復の概念は、実用的にも哲学的にも数学の基礎的地位を獲得しました。哲学的側面では、カントは算術命題を総合的な先験的知識として分類し、空間の直観に由来する幾何学定理の同様の分析と並行して、それらの説得力のある性質を時間の直観に由来するものとして追跡しました。算術に関するカントの一般的な立場は、19 世紀の最も偉大な実践数学者から支持されました。ガウスでさえ、幾何学の地位に関するカントの立場には反対でしたが、算術に関するカントの立場を支持しました。

「私は、我々の幾何学の必然性は、少なくとも人間の理解力では証明できないという確信にますます近づいている。おそらく、次の人生では、現在我々が得ることのできる空間の性質に関する別の見解にたどり着くだろう。それまでは、幾何学を、先験的に存在する算術と同じランクに置くべきではなく、むしろ、たとえば力学と同じランクに置くべきである。」^[10]

ほぼ1世紀後、ポアンカレは次のように書いています。

「この算術の領域では、我々は微小分析から遠く離れていると考えるかもしれないが、数学的無限の概念はすでに優勢な役割を果たしており、それがなければ科学はまったく存在しないだろう。なぜなら、一般論は何も存在しないからである。……したがって、再帰による推論の規則は、r の矛盾の原理に還元できないという結論から逃れることはできない。……分析的証明や実験ではアクセスできないこの規則は、まさに先験的な総合的直観の型である。」^[11]

19 世紀の重要人物のうち、カント的コンセンサスに反対したのはデデキントだけだったようです。『Was sind und was sollen die Zahlen』の中で、彼は冷静にこう書いています。

「算術（代数、解析学）を論理学の一部として語るとき、私は数の概念を空間と時間の概念や直観から完全に独立して考えているということを暗に意味している。」^[12]

メイベリーが大いに尊敬していたデデキントは、自然数はカント的な時間直観や無限に繰り返される操作に頼ることなく確立できることを示した。しかし彼は、カントールの無限公理を明確に受け入れた上でそれを行ったが、メイベリーが指摘するように、これは単にユークリッドの共通概念 5 を算術に応用したものと理解するのが最も適切である。しかし、デデキントの研究によって、自然数と反復プロセスが特別な基礎的地位にあるという見解がほとんどの数学者の間で信用を失うことはなかった。直観主義運動は、メイベリーと同様に数学の意味についてのプラトン主義的理解を拒否しながらも、この主題の操作主義的理解に頼り、無限に延長される反復プロセスの受け入れを彼らの思考の核心にまで押し上げた。形式主義運動は、有限一貫性の証明を通じてカントールの無限公理の数学的成果を保存するというヒルベルトの計画に従い、同様に、形式システムの定義とその特性の確立において、不定反復とそれに関連する再帰による定義および帰納法による証明に特別な地位を与えました。

メイベリーの立場は、ユークリッドの第 5 巻から始まるこれらすべては、ユークリッドの第 1 巻から第 4 巻に例示されている数学の真の精神から逸脱しているというものである。彼の本の主な目的は、彼の立場を説明し、それが数学の本質的な内容や現代の実践を蝕むものではないことを示すことであるが、数学とは何かについてのより明確なアリストテレス的な理解と、彼のより厳密な意味の理解に適した厳密さの基準を推奨することで、彼はカントールが始めた、3 世紀にわたる形式主義の後に数学に意味を回復するという伝統に従っている。しかし、メイベリーの目には、たとえば適切なクラスが客観的に存在すると主張する現代のプラトンに触発された教義は、たとえば 19 世紀初頭の形式主義に触発されたピーコックの教義「永久形式の同値性の原理」と同じくらい、良識と真実性から逸脱している。^[13]

メイベリーの肯定的な哲学的見解は、アリストテレスから一部影響を受け、また、特に 19 世紀のほぼ 2500 年にわたる数学の経験に対する考察から一部影響を受けた、少数の哲学的教義を固く守ることから生まれたものである。

彼はアリストテレス的実在論者であり、数学、特に算数の学問は昆虫学や鳥類学などの他の特別な関心のある科学分野と並んで、客観的に存在する現世の事物を扱う自然科学であるというアリストテレスの意見に基本的に同意している。アリストテレスは次のように書いている。

「数学における普遍的な主張は、大きさや算術を超えてそれらから離れた分離可能な実体に関するものではありません。それらはまさにこれらの事物に関するものであり、大きさを持つものや分割可能なものとしてではないというだけです。」

（アリストテレスが言いたいのは、幾何学では具体的な物体の特定の大きさは偶然の産物であり幾何学者にとっては無関係なものとして扱われ、算術では同様に具体的な単位（人間や小石など）が実際には分割可能であるという事実を無視するということです。）

その他:

「それぞれの科学はそれぞれの領域を扱っており、健康の科学は健康そのものを研究するもので、人間の科学は人間そのものを研究するものである。幾何学についても同じことが言える。数学の科学は、その対象が偶然知覚可能という特徴を持っているという理由だけで、知覚可能な実体をその領域とすることはしない（もちろん、知覚可能なものとして研究されるわけではないが）。しかし、その一方で、数学は知覚可能な実体から分離可能な他の実体をその領域とすることもないだろう。」^[14]

メイベリーが関心を寄せる科学は算術であり、ユークリッドが第 7 巻から第 9 巻でその言葉に与えた意味を純粋に解釈するとともに、また、彼が主張するように、カントルがその言葉に与えた意味においても理解される。メイベリーの核となる立場の第一は、算術学者が単位や arithmoi として事物や事物の特定の複数を研究する点において、昆虫学者が昆虫や昆虫のコロニーとして事物や事物の特定の複数を研究する点と本質的に類似しているというアリストテレスの見解に同意することである。彼はユークリッドの簡潔な「単位」の定義を受け入れており、「εκαστον των οντων」を「存在するもののそれぞれ」と訳したことだけは哲学的に意味が重すぎるとして異議を唱えている。「arithmos」の定義に関して、メイベリーはユークリッドの定義「arithmos は単位から成る多数である」の「多数」という言葉の前に「明確な」という言葉を置くことに決定的な意味がある。これによって彼が意味するのは、arithmoi が明確な客観的存在、境界、または限界を持つということである。これは、arithmoi がサイズに制限があるとか、数え上げなどの操作手順に従うとか、言語的に定式化された何らかの条件が成り立つものだけを含むという意味ではなく、個々のものについて、それが arithmos 内にあるか、そこにないかのどちらかであることが真実であるという意味においてのみである。特に、共通概念 5 (全体は部分より大きい) への適合は、概念「arithmos」自体には暗示されておらず、すべての arithmoi が、たまたまこの特性を持っているという判断に過ぎません。何らかの条件への適合または何らかの一般名詞との一致によって定義される複数性 (たとえば、「3 つ以上の単位を持つ arithmoi」または「馬」) に対して、メイベリーはアリストテレスの言葉「種」を使用します。種が存在するのは、私たちがそれを想像できるからです。種は世界にある客観的なものではなく、私たちの頭の中の考えであり、種に該当するものは arithmos と一致する場合もあれば、一致しない場合もあります。同様の意見は、存在や順序などの「特性」や、冪集合演算子や和集合演算子などの「グローバル関数」などの他の概念にも当てはまります。メイベリーは次のように書いています。

「集合と種の本質的な違いは、集合は存在するが、種は存在しないという点です。つまり、種はオブジェクトではなく、フィクションまたは仮想オブジェクトであるということです。」

「しかし、結局のところ、さまざまな種類のグローバル関数についての話にもかかわらず、グローバル関数のようなものは存在しないことを覚えておくことが重要です。そして、そのような関数について話すとき、私たちは最終的に、集合を参照するための独自の表記規則について話しているのです。」^[15]

メイベリーの核となる哲学的教義の 2 つ目は、事物と事物の arithmoi が客観的に存在し、外部現実の構造の一部であるというものである。arithmos の存在論的資格は、まさにその構成単位の資格である。しかし、数学者の任務は、空の雲、赤の色合い、人間の感情状態、22 世紀の人間など、種に分類される事物が、可能な arithmoi の単位を構成するのに十分に明確に個別化されているかどうか、あるいは、事物の多様性の境界 (たとえば、ケンタウロスと人魚を「人類」という種に分類すべきか? 赤の色合いが終わって紫の色合いが始まるのはいつなのかは正確に決まっているか?) が、arithmos を構成するのに十分に明確に定義されているかどうかを調査または推測することではない。算術士の仕事は、単位としてとらえられる客観的で明確に個別化された事物と、算術としてとらえられるそのような事物の明確な複数が存在するという単純な仮定から始まる。メイベリーは次のように書いている。

「アリストテレスの数の概念は、理論的算術の事実を説明するために考案された最良の手段である。算術的推論において、数学者は物事を考えられる最も抽象的かつ一般的な方法で、すなわち同一性と差異性の法則に従う範囲でのみ考える。そのような法則に従うものが存在することを、数学者は単に当然のこととして受け入れている。」^[16]

そして、少し後になって:

「しかし、本来の意味における数、つまり、単位から構成される多数は、単なる心の作り物である「自然数」とは異なり、むしろ、人間やその精神活動とは独立した、世界に真に存在する存在である。数学的経験に何らかの意味を持たせようとするなら、これらを認めざるを得ないものである。」^[17]

メイベリーの核となる哲学的教義の 3 つ目は、「すべてに対して」および「存在する」という量化子を使用して行われた定義、定義された特性、および構築された議論は、各量化子のスコープが明確な算術に限定されている場合にのみ、客観的事実のステートメントとして理解可能であるというものです。したがって、たとえば、単位としての少女を扱っており、「賢い」という特性に関して 2 人の少女を比較する方法を知っている場合、「ジョーンはクラスで一番賢い少女です」とは賢明に言えますが、「ジョーンは一番賢い少女です」とは全面的に言えません。後者のステートメントは、「少女」という種に分類されるすべてのものを量化することを意図しているからです。この立場は、ペアノ算術とツェルメロ-フランケル集合論という 2 つの古典的な一階公理系の基礎的な主張を拒否する追加の理由をメイベリーに与えます。彼は、そのような形式システムの構築そのものに内在する操作主義に反対するだけでなく、帰納と置換の公理図式における述語の形成において、制限のない量指定子を自由に使用することの理解可能性も否定しています。

メイベリーの 4 番目の核となる教義は、3 番目の教義と関連しています。彼は、単位と算術、つまり物事を扱う場合、問題なく古典的論理を使用できるが、種、グローバル関数、一般的な構成特性などの思考を扱う場合は、直観主義的論理が適切であると主張しています。特に、「算術 a のすべてのメンバーは特性 P を持つ」という仮定が不合理を意味することがわかっている場合、「P(x) が成立しない a の要素 x が存在する」と正当に推論できます。ただし、種に対して量化子を使用して、たとえば「P を持つ何かが存在する」または「P はすべてのものに当てはまる」というステートメントを作成する場合、真であるか偽であるかのどちらかである客観的な事実を報告しているわけではありません。このような発言を肯定する人は、その発言の正当性を念頭に置いていると主張していると理解されなければならない。つまり、全称量化子の場合は、考えられるあらゆる事柄について P がそれについて保持していると信じる根拠、存在量化子の場合は、P が保持する種の実例を知っているということである。無制限量化子を組み込んだ発言は主観的に理解されなければならないため、排中律が単純に有効ではないことは明らかである。たとえば、「P が保持するすべての事柄について」の意味が「私は、それぞれの事柄について P がその事柄について保持する論拠を生み出す一般的な構成を念頭に置いている」であり、「P が保持しない事柄が存在する」の意味が「私は、P が保持できない事柄を生み出す構成を念頭に置いている」である場合、たとえば、私は構成をまったく念頭に置いていない可能性があるため、必ずしもその選言が正しいと断言できるわけではない。このトピックについて、メイベリーは次のように書いている。

「グローバルな定量化を統制する論理的原則とは何でしょうか？これは難しい質問であり、私はそれに完全に答えられる自信がありません。しかし、私は部分的な答え、つまりブラウワーの原則を採用することを提案します。

(i) 慣習的論理（つまり、ブラウワーが「古典的」と呼ぶもの）は有限領域の論理です。特に、数量化の数学的法則は、数量化領域が有限である場合にのみ適用されます。[ここでの「有限」は、メイベリーの「明確な」または「限定された」という意味で使用されています。これは、arithmoi の定義特性です。]

(ii) 表現に全体的量化を必要とする命題には、真か偽かという慣習的な真理値を割り当てることはできない。正当化されるか正当化されないかのどちらかに分類することしかできない。

.....

すると、ブラウワーの原理によれば、「S (x) 内のすべてのオブジェクト x について」という主張は、明確な真理値を持つ従来の (「古典的な」) 命題ではありません。これは、真か偽かではなく、正当化されているか正当化されていないかです。

そのような命題が正当化されると言うことは、tがオブジェクトを表す、または表す可能性のある任意の表現である場合、形式(t)の任意の命題が真であると主張する根拠があると言うことです。一方、主張が正当化されないと言うことは、単にそのような根拠がないと言うことであり、それを否定する根拠があると言うこととは異なります。」^[18]

メイベリーの第 5 の核となる教義は、ユークリッドの幾何学に関する公準とほぼ同様に、算術に関する公準を定めることができるというものであり、幾何学の共通概念と公準の構造によって生み出された期待に反して、そのような公準を含まない『原論』の欠陥を補うものである。メイベリーはこのプログラムを著書の第 4 章で実行している。彼の公準は、形式的にはある程度ユークリッドに従っているが、内容的には 19 世紀および 20 世紀初頭に発せられた集合に関する公理的な考え方に従っている。点と線が与えられた場合に円を作図することや、2 点が与えられた場合に唯一の直線を作図することに関するユークリッドの公準とほぼ類似しているのは、和集合、冪集合、および直積に関する公準であり、これらは 1 つ以上の与えられた算術から新しい算術を生成するグローバルな構成を仮定している。ただし、置換と内包に関する彼の公準は多少異なっている。これらは、単に把握しなければならない個々の構成を規定するのではなく、すべての可能な構成とすべての考えられる特性について断言する。ある意味では、これらは思考から物への一般的な橋の存在を断言するものと理解できる。しかし、どちらも、特定の構成に関する公理と同様に、新しい算術の存在を断言する「有限性原理」として理解できる。したがって、メイベリーの「修正された」ユークリッドは、共通の概念で、両方に適用可能な幾何学と算術という姉妹分野の基礎となり、各分野に 1 つずつ、2 セットの公理が補足される。実際、幾何学が算術の概念に依存している限り、つまり三角形、四角形、五角形などの定義でもそうであるが、より厳密には、たとえば第 6 巻の命題 31 で一般的な多角形について断言している限り、「修正された」ユークリッドは算術の研究を幾何学の研究よりも優先する。

メイベリーの核となる哲学の最後の項目は、ユークリッドが共通概念 5 の力を算術に適用したときに認識できなかったために、大きな歴史的機会を逃し、反復による定義を許したことで大きな誤りを犯し、その結果が数学の歴史に波及したという彼の信念である。共通概念 5 を適切に理解し、反復を避けた「正しい」ユークリッドは、第 7 巻から第 9 巻の実際の控えめな内容、自然数論、有限組合せ論、有限群と体論、より一般的には有限構造の研究に加えて、有限に関係する数学の部分を追求したであろう。メイベリーはこの主題をユークリッド算術と呼び、その基礎を展開するために本のかなりの部分を費やしている。彼は特に、帰納法による証明と再帰による定義がどの程度正当化されるかを確立することに関心がある。彼は、ユークリッドの算術理論が現代の自然数論のマイナーな改訂版であるどころか、実際にはユークリッド算術では自然数の実行可能な概念を確立できないことを示している。ユークリッド算術に関する彼の見解を補足して、メイベリーは、ユークリッドの平行線公理を否定することによって代わりの幾何学が作られたのと同じように、共通概念 5 を否定し、全体と部分を 1 対 1 で対応させることができる算術が少なくとも 1 つ存在することを確認することによって代わりの算術が作られるという見解をとっている。メイベリーが好んでカントール算術と呼ぶこの理論は、もちろん現代の集合論であり、数学のすべて、特に共通概念 5 に従うユークリッドの規定では算術の別の姉妹分野である幾何学を包含できることが (おそらく) 示されている。

メイベリーの哲学は、存在論的および意味論的信念から生まれた、数学の明快さと厳密さに関する新しい基準を課そうとしており、それはまず第一に、ユークリッド数学をカントール数学から体系的に分離するプログラムを通じて達成されるべきものである。ユークリッドの場合、この基準は幾何学と算術の両方の実践者に、反復プロセスへのあらゆる訴えを避けることを要求する。その結果、幾何学における最も差し迫った課題は、第 5 巻で導入された比の概念の使用を避け、第 1 巻から第 4 巻の方法と技法に基づいて第 6 巻の定理を確立することにより、ユークリッドを「修正」することである。算術の場合、対応する課題は、ユークリッドが乗法の定義で認めているような反復手順に頼ることなく、第 7 巻から第 9 巻の結果を確立することである。 (第 7 巻、定義 15) カントール算術にとっての主な課題は、無限数学の大部分 (何らかの形で微積分学から派生した分野) が無制限の量指定子を必要としないこと、したがって、そのような量指定子を含む集合論のツェルメロ-フランケル公理​​の置換スキーマの例は、メイベリーの一般哲学によって禁止されているだけでなく、いずれにしても技術的に冗長であることを示すことです。