ファジー集合

数学において、ファジー集合（不確実集合とも呼ばれる）は、要素が所属度を持つ集合である。ファジー集合は、1965年にLotfi A. Zadehによって、集合の古典的な概念の拡張として独立に導入された。^{[1] [2]} 同時に、Salii（1965）は「L関係」と呼ばれるより一般的な種類の構造を定義し、抽象代数の文脈で研究した。ファジー関係は、 Lが単位区間[0, 1]である場合のL関係の特殊なケースである。これらは現在、ファジー数学全体で使用されており、言語学（De Cock、Bodenhofer、Kerre 2000）、意思決定（Kuzmin 1982）、クラスタリング（Bezdek 1978） などの分野で応用されている。

古典的集合論では、集合内の要素の所属は、二価条件（要素が集合に属するか属さないか）に従って二項で評価される。対照的に、ファジー集合論では、集合内の要素の所属を段階的に評価することができる。これは、実数単位区間 [0, 1]で値を取る所属関数の助けを借りて記述される。ファジー集合は古典的集合を一般化する。なぜなら、古典的集合の指示関数（別名特性関数）は、ファジー集合の所属関数の特殊なケースであり、後者が 0 または 1 の値しか取らない場合であるからである。 ^[3]ファジー集合論では、古典的二価集合は通常、クリスプ集合と呼ばれる。ファジー集合論は、バイオインフォマティクスなど、情報が不完全または不正確な幅広い分野で使用できる。^[4]

ファジー集合は、集合（多くの場合、空でないことが要求される）とメンバーシップ関数のペアです。参照集合（またはで示されることもある）は論議対象領域と呼ばれ、各 の値はにおけるのメンバーシップ度と呼ばれます。関数は、ファジー集合 のメンバーシップ関数と呼ばれます。 ${\displaystyle (U,m)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U,}$${\displaystyle m(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (U,m)}$${\displaystyle m=\mu_{A}}$${\displaystyle A=(U,m)}$

有限集合の場合、ファジィ集合は次のように表記されることが多い。${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$${\displaystyle (U,m)}$${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

とする。すると、と呼ばれる 。${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle x}$

• （メンバーなし）の場合、ファジー集合に含まれない。${\displaystyle (U,m)}$${\displaystyle m(x)=0}$
• 完全に含まれる場合（正会員）、${\displaystyle m(x)=1}$
• （ファジーメンバー）の場合、部分的に含まれる。 ^[5]${\displaystyle 0<m(x)<1}$

宇宙上のすべてのファジィ集合の（クリスプ）集合は（時には単に）で表されます。^[6]${\displaystyle U}$${\displaystyle SF(U)}$${\displaystyle F(U)}$

任意のファジー集合に対して、次のクリスプ集合が定義されます。 ${\displaystyle A=(U,m)}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$αカット（別名αレベルセット）と呼ばれる
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$は強いαカット（別名強いαレベルセット）と呼ばれる。
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$そのサポートと呼ばれる
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$コア（またはカーネル ）と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {カーン} (A)}$

一部の著者は「カーネル」を異なる意味で理解していることに注意してください。以下を参照してください。

• ファジー集合が空（）である場合、その場合のみ（${\displaystyle A=(U,m)}$${\displaystyle A=\varnothing }$

${\displaystyle \forall}$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• 2つのファジー集合とが等しい場合（）${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• ファジィ集合がファジィ集合（）に含まれるのは、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• 任意のファジィ集合 に対して、を満たす任意の要素${\displaystyle A}$${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \mu_{A}(x)=0.5}$

クロスオーバーポイントと呼ばれます。

• ファジー集合 が与えられた場合、が空でない任意の はA のレベルと呼ばれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$
• A のレベルセットは、異なるカットを表すすべてのレベルのセットです。これは次のイメージです。${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$${\displaystyle \mu_{A}}$

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• ファジィ集合の場合、その高さは次のように与えられる。${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

ここで、 は上限を表します。これは、が空でなく、1 により上が制限されるため存在します。Uが有限である場合、上限を最大値に置き換えることができます。${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

• ファジィ集合が正規化されているとは次の場合に限ります。${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

有限の場合、上限が最大値となるため、これはファジー集合の少なくとも 1 つの要素が完全なメンバーシップを持つことを意味します。空でないファジー集合は、ファジー集合のメンバーシップ関数をその高さで割ることによって正規化できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

類似点に加えて、正規化定数が合計ではないという点で通常の正規化とは異なります。

• 有界サポートを持つ実数のファジィ集合の場合、幅は次のように定義されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

が有限集合、またはより一般的には閉集合である場合、幅はちょうど ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

n次元の場合、上記はのn次元体積に置き換えることができます。${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

一般に、これはU上の任意の測度が与えられた場合に、たとえば の積分（たとえば、ルベーグ積分）によって定義できます。${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

• 実ファジィ集合は凸集合（ファジィな意味で、鮮明な凸集合と混同しないように）であるというとき、そのときに限り、${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

一般性を失うことなく、x ≤ yとすると、次の式と等価な式が得られる。

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$。

この定義は、一般の位相空間 Uに対しても拡張できる。つまり、Uの任意の部分集合Zに対して、条件 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

が成り立ち、ここで はZの境界を表し、は関数f (ここでは ) による集合X (ここでは) の像を表します。${\displaystyle \partial Z}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$${\displaystyle \partial Z}$${\displaystyle \mu _{A}}$

ファジー集合の補集合には最も一般的な定義が 1 つありますが、その他の主な演算である和集合と積集合には多少の曖昧さがあります。

• 与えられたファジー集合 に対して、その補集合(またはと表記されることもある) は次のメンバーシップ関数によって定義されます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg {A}}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle cA}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$。

• t をt ノルム、s を対応する s ノルム (別名 t コノルム)とします。ファジー集合のペアが与えられた場合、それらの交差は次のように定義されます。${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\cap {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$、

そしてそれらの和集合は 次のように定義されます。 ${\displaystyle A\cup {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$。

t ノルムの定義により、和集合と積集合は可換、単調、結合的であり、ヌル元と単位元の両方を持つことがわかります。積集合の場合、これらはそれぞれ ∅ とUですが、和集合の場合、これらは逆になります。ただし、ファジー集合とその補集合の和集合は完全な宇宙Uにならない可能性があり、それらの積集合は空集合 ∅ にならない可能性があります。積集合と和集合は結合的であるため、有限のファジー集合族の積集合と和集合を再帰的に定義するのが自然です。ファジー集合の和集合と積集合の一般に受け入れられている標準演算子は、最大演算子と最小演算子であることは注目に値します。

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$そして[ ^7]${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$

• 標準否定子を別の強い否定子に置き換えると、ファジィ集合の差は次のように一般化できる。${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• あいまいな交差、和、補集合の 3 つ組は、ド・モルガンの 3 つ組を形成します。つまり、ド・モルガンの法則はこの 3 つ組にも適用されます。

標準否定子を持つファジー交差/結合ペアの例は、 t ノルムに関する記事で提供されているサンプルから導き出すことができます。

ファジー交差は一般にべき等ではありません。これは、この特性を持つのは標準の t ノルムminだけだからです。実際、算術乗算を t ノルムとして使用すると、結果として得られるファジー交差演算はべき等ではありません。つまり、ファジー集合とそれ自身の交差を反復的に取ることは簡単ではありません。代わりに、ファジー集合のm乗を定義します。これは、次のように非整数指数に対して標準的に一般化できます。

• 任意のファジィ集合のν乗はメンバーシップ関数によって定義されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

指数 2 のケースは、名前を付けるほど特殊です。

• 任意のファジィ集合の濃度は次のように定義される。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

を取ると、そして${\displaystyle 0^{0}=1}$${\displaystyle A^{0}=U}$${\displaystyle A^{1}=A.}$

• ファジー集合 が与えられた場合、とも表記されるファジー集合差 は、メンバーシップ関数を介して直接定義できます。${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\setminus B}$${\displaystyle A-B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

つまり、例えば次のようになります。 ${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^[8]

差集合の別の提案としては、次のものが考えられます。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[8]

• 対称ファジィ集合差分の提案は、デュボアとプラード（1980）によってなされており、絶対値を取るか、

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

または、 max、min、および標準否定 の組み合わせを使用して、次のようにします。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^[8]

t-ノルム、t-コノルム、否定子の定義公理に類似した一般化対称差分の定義公理は、Vemur et al. (2014) によって提案されており、その先行例としてはAlsina et al. (2005) とBedregal et al. (2009) がある。^[8]

• クリスプ セットとは対照的に、ファジー セットに対しても平均化操作を定義できます。

交差と和の演算の一般的な曖昧さとは対照的に、互いに素なファジー集合については明確である。2つのファジー集合が互いに素で ある場合、その場合のみ、${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \nexists }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

また、以下と同等である

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

min / maxは at/s-norm のペアであり、他の値もここでは同様に機能すること を念頭に置いてください。

ファジー集合が互いに素であるのは、そのサポートがクリスプ集合の標準定義に従って 互いに素である場合に限ります。

互いに素なファジー集合の場合、いかなる共通集合も∅を与え、いかなる共通集合も同じ結果を与える。これは次のように表される。 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

メンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

両方の加数のうち 1 つだけが 0 より大きいことに注意してください。

分離したファジー集合の場合、次のことが当てはまります。 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

これは、次のようにファジィ集合の有限族に一般化できる。インデックス集合I（例えばI = {1,2,3,..., n }）を持つファジィ集合の族が与えられる。この族は、次の場合に限り、（ペアワイズ）互いに素である。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

ファジー集合の族が互いに素である場合、それは基礎となるサポートの族がクリスプ集合の族の標準的な意味で互いに素である場合に限ります。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$

t/s-ノルムペアとは独立して、ファジー集合の互いに素な族の交差は再び∅を与えますが、和集合には曖昧さはありません。

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

メンバーシップ関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

この場合も、加数のうち 1 つだけが 0 より大きくなります。

ファジー集合の互いに素な族については、次のことが当てはまります。 ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

有限サポートのファジィ集合（つまり「有限ファジィ集合」）の場合、その濃度（スカラー濃度またはシグマカウントとも呼ばれる）は次のように表される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$。

U自体が有限集合である場合、相対濃度は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$。

これは、除数が空でないファジー集合になるように一般化できます。G ≠ ∅のファジー集合の場合、相対濃度を次のように定義できます。 ${\displaystyle A,G}$

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$、

これは条件付き確率の式と非常によく似ています。注:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$ここ。
• 結果は、選択された特定の交差 (t ノルム) によって異なる場合があります。
• 結果は明確であり、以前の定義に似ています。${\displaystyle G=U}$

任意のファジィ集合のメンバーシップ関数は族とみなすことができます。後者はいくつかのメトリックが知られているメトリック空間です。メトリックはノルム（ベクトルノルム）から次のように 導出できます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \|\,\|}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$。

たとえば、が有限である場合、つまり の場合、そのようなメトリックは次のように定義されます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$ここで、およびは0 から 1 までの実数の列です。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

が無限大の場合、最大値は上限に置き換えることができます。ファジー集合はメンバーシップ関数によって明確に定義されるため、このメトリックを使用して、同じユニバース上のファジー集合間の距離を測定できます。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$、

上記のサンプルでは次のようになります。

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$。

再び、無限の場合、最大値は上限に置き換える必要があります。無限ファジー集合があまりにも異なる場合、例えば、およびの場合、他の距離（標準 2 ノルムなど）は発散する可能性があります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle U}$

類似度尺度（ここでは と表記）は、例えばKoczyの提案に従って、距離から導出することができる。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$が有限の場合、そうでない場合、${\displaystyle d(A,B)}$${\displaystyle 0}$

あるいはウィリアムズとスティールに倣って:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$が有限の場合、そうでない場合${\displaystyle d(A,B)}$${\displaystyle 0}$

ここで は勾配パラメータであり である。^[6]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

区間値（むしろ「あいまいな」）類似度測定の別の定義は、BegとAshrafによっても提供されています。^[6]${\displaystyle \zeta }$

時には、ファジー集合の概念のより一般的な変形が使用され、メンバーシップ関数は特定の種類の（固定または可変の）代数または構造 の値を取ります。通常、少なくともposetまたはlattice である必要があります。これらは通常、単位区間で値を取るものと区別するためにLファジー集合と呼ばれます。値が [0, 1] である通常のメンバーシップ関数は、[0, 1] 値メンバーシップ関数と呼ばれます。これらの種類の一般化は、1967 年にZadeh の学生であったJoseph Goguenによって初めて検討されました。 ^[9]古典的な帰結は、真理値とメンバーシップ値を {0, 1} ではなく {f, t} で示すことです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

ファジー集合の拡張はAtanassovによって提供されています。直観主義ファジー集合(IFS)は、次の 2 つの機能によって特徴付けられます。 ${\displaystyle A}$

1. – xのメンバーシップの度合い${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. – xの非メンバーシップ度${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

関数付き。 ${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

これは、投票 によって示されるある人物のような状況に似ています${\displaystyle x}$

• 提案: ( )、${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$
• 反対：（）、${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$
• または投票を棄権する：（）。${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$

結局のところ、承認率、拒否率、棄権率があるのです。

この状況では、特別な「直感的なファジー」否定子、t ノルム、および s ノルムを定義できます。 と の両方の関数を組み合わせると、この状況は特別な種類のLファジー セットに似ています。 ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$

さらに、これは、ピクチャ ファジー セット(PFS) を次のように定義することによって拡張されています。PFS A は、U を[0, 1] にマッピングする 3 つの関数、それぞれ「正のメンバーシップの度合い」、「中立のメンバーシップの度合い」、および「負のメンバーシップの度合い」と追加条件によって特徴付けられます。 これにより、上記の投票サンプルが「投票拒否」という追加の可能性によって拡張されます。 ${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

特別な「ピクチャーファジー」否定子、t-ノルム、s-ノルムにより、これはL-ファジー集合の別のタイプに似ています。^{[10] [11]}${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$

IFSの概念は2つの主要なモデルに拡張されています。IFSの2つの拡張は、ニュートロソフィックファジー集合とピタゴラスファジー集合です。^[12]

ニュートロソフィック・ファジー集合は、1998年にスマランダッシュによって導入されました。^[13] IFSと同様に、ニュートロソフィック・ファジー集合には、メンバーシップ用と非メンバーシップ用の2つの機能があります。大きな違いは、ニュートロソフィック・ファジー集合には、不確定用というもう1つの機能があることです。この値は、エンティティxが集合に属するかどうかの不確定度を示します。不確定値を持つというこの概念は、アイテムxのメンバーシップ値または非メンバーシップ値にあまり自信がない場合に特に役立ちます。^[14]まとめると、ニュートロソフィック・ファジー集合は次の機能に関連付けられています。 ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$${\displaystyle \nu _{A}(x)}$${\displaystyle i_{A}(x)}$${\displaystyle i_{A}(x)}$

1. —xのメンバーシップ度${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. —xの非メンバーシップ度${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

3. xの不確定値の度合い${\displaystyle i_{A}(x)}$

IFS のもう 1 つの拡張は、ピタゴラス ファジー集合と呼ばれるものです。ピタゴラス ファジー集合は IFS よりも柔軟性があります。IFS は制約 に基づいていますが、場合によっては制限が厳しすぎると見なされることがあります。これが、Yager がピタゴラス ファジー集合の概念を提案した理由です。このような集合は制約 を満たし、ピタゴラスの定理を彷彿とさせます。^{[15] [16] [17]}ピタゴラス ファジー集合は、前述の条件が有効でない実際のアプリケーションに適用できます。ただし、より制限の少ない 条件の方が、より多くのドメインに適している可能性があります。^{[12] [14]}${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$

多値論理の場合の拡張として、命題変数（）のメンバーシップ度（）のセットへの評価（）は、述語をファジーセット（またはより正式には、ファジー関係と呼ばれるファジーペアの順序付きセット）にマッピングするメンバーシップ関数と考えることができます。これらの評価により、多値論理は、段階的な結論を導き出すことができるファジー前提を可能にするように拡張できます。 ^[18]${\displaystyle \mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}}$${\displaystyle {\mathit {V}}_{o}}$${\displaystyle {\mathit {W}}}$

この拡張は、自動制御や知識工学の工学分野に端を発し、ファジー集合や「近似推論」を含む多くのトピックを網羅する「広義のファジー論理」とは対照的に、「狭義のファジー論理」と呼ばれることもあります。^[19]

「広義のファジー論理」の文脈におけるファジー集合の産業応用については、ファジー論理を参照してください。

ファジィ数^[20]とは、以下の条件を全て満たすファジィ集合である。

• A は正規化されます。
• A は凸集合である。
• メンバーシップ関数は少なくとも 1 回は値 1 を達成します。${\displaystyle \mu _{A}(x)}$
• メンバーシップ関数は少なくともセグメント的に連続しています。${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

これらの条件が満たされない場合、 A はファジー数ではありません。このファジー数のコアはシングルトンであり、その位置は次のとおりです。

${\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

ファジー数は、遊園地の「体重を当てよう」というゲームに例えることができます。このゲームでは、誰かが出場者の体重を推測し、推測が近ければ近いほど正確になり、推測者が出場者の体重に十分近いものを推測すると「勝ち」、実際の体重は完全に正確です (メンバーシップ関数によって 1 にマッピングされます)。

ファジー区間のカーネルは、メンバーシップ値が無限に一定である「アウトバウンド」部分を除いた「内部」部分として定義されます。言い換えると、その外側で一定である最小のサブセットがカーネルとして定義されます。 ${\displaystyle K(A)=\operatorname {Kern} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

ただし、凸性を重視しない著者もいるため、ファジー数と間隔には他の概念もあります。

集合の帰属をカテゴリー理論の重要な要素として使用することは、ファジィ集合にも一般化できます。このアプローチは、ファジィ集合理論の導入直後の1968年に始まり、^[21] 21世紀にはゴーゲンカテゴリーの開発につながりました。 ^{[22] [23]これらのカテゴリーでは、2つの値を持つ集合の帰属を使用するのではなく、より一般的な間隔が使用され、} L-ファジィ集合のように格子になることもあります。^{[23] [24]}

ファジー関係方程式は、A · R = Bという形式の方程式であり、AとBはファジー集合、​​Rはファジー関係、A · RはAと Rの合成を表します^{[引用が必要]}。

宇宙のファジー集合のファジー度の尺度dは、すべてに対して次の条件を満たす必要があります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U}$

1. ${\displaystyle d(A)=0}$がクリスプセットの場合:${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}}$
2. ${\displaystyle d(A)}$唯一の最大値を持つのは${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5}$
3. ${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\iff }$

${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5}$

${\displaystyle \mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5}$

つまり、B はAよりも「鮮明」であるということです。

1. ${\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

この場合はファジー集合Aのエントロピーと呼ばれます。 ${\displaystyle d(A)}$

有限 の場合、ファジィ集合のエントロピーは次のように与えられる。 ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(A)=H(A)+H(\neg {A})}$、

${\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})}$

あるいは単に

${\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))}$

シャノン関数（自然エントロピー関数） はどこにありますか？${\displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$

${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]}$

は、測定単位と使用される対数の底（ここでは自然底e を使用）に依存する定数です。 kの物理的な解釈は、ボルツマン定数k ^Bです。 ${\displaystyle k}$

連続的なメンバーシップ関数（ファジー変数） を持つファジー集合とする。すると${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt}$

そしてそのエントロピーは

${\displaystyle d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$^{[25] [26]}

ファジー集合に類似した、あるいはより一般的な数学的構成は数多く存在する。1965年にファジー集合が導入されて以来、不正確さ、不正確さ、曖昧さ、不確実性を扱う多くの新しい数学的構成や理論が開発されてきた。これらの構成や理論の中にはファジー集合論の拡張であるものもあれば、不正確さや不確実性を別の方法で数学的にモデル化しようとするものもある。^[27]