ブラリ・フォルティのパラドックス

数学の一分野である集合論において、ブラリ＝フォルティのパラドックスは、「すべての順序数の集合」を構成すると矛盾が生じることを示し、したがって、その構成を可能にするシステムの二律背反を示している。このパラドックスは、1897年に、ゲオルク・カントールによって以前に証明された結果と矛盾する定理を証明する論文を発表したチェーザレ・ブラリ＝フォルティにちなんで名付けられた。その後、バートランド・ラッセルがこの矛盾に気づき、1903年の著書『数学原理』でこれを発表した際に、ブラリ＝フォルティの論文によって示唆されたと述べたため、ブラリ＝フォルティの名前で知られるようになった。

これを反証によって証明します。

1. Ω をすべての順序数からなる集合とします。
2. Ω は推移的です。なぜなら、Ωのすべての要素x (順序数であり、任意の順序数にすることができます) とxのすべての要素y (つまり、フォン・ノイマン順序数の定義では、すべての順序数y < xに対して) に対して、この順序数構成の定義により、任意の順序数には順序数のみが含まれるため、y はΩの要素となるからです。
3. Ω は、そのすべての要素もこの関係によって整列されているため、メンバーシップ関係によって整列されています。
4. したがって、ステップ 2 と 3 により、 Ωは順序クラスであることがわかります。また、ステップ 1 により、順序数であることがわかります。これは、集合であるすべての順序クラスは順序数でもあるためです。
5. これは、ΩがΩの要素であることを意味します。
6. フォン・ノイマン順序数の定義によれば、Ω < ΩはΩがΩの要素であることと同じです。この後者の記述はステップ 5 で証明されます。
7. しかし、ステップ4（ Ωは順序クラス）により、 Ωを含め、どの順序クラスもそれ自身より小さくはありません。つまり、Ω≮Ωです。

我々は、 Ωの集合性から2 つの矛盾する命題 ( Ω < ΩおよびΩ ≮ Ω )を演繹し、したがってΩが集合であることを反証しました。

上記のパラドックスのバージョンは時代錯誤です。なぜなら、それはジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を前提としているからです。この定義によれば、各順序数はすべての先行する順序数の集合となりますが、この定義は、Burali-Forti がパラドックスを提起した時点では知られていませんでした。以下は、より少ない前提による説明です。各整列化に、 その順序型と呼ばれるオブジェクトを不特定の方法で関連付けるとします (順序型は順序数です)。順序型 (順序数) 自体は自然な方法で整列化されており、この整列化には順序型が必要です。単純集合論では、固定値より小さいすべての順序数の順序型はそれ自身であることが簡単に示されます (これはZFCでは当てはまりますが、New Foundationsでは当てはまりません)。したがって、 より小さいすべての順序数の順序型はそれ 自身です。しかし、これは、順序数の適切な初期セグメントの順序型である が、すべての順序数の順序型よりも厳密に小さいことを意味しますが、後者は定義によりそれ自体です。これは矛盾です。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$

各順序数が先行するすべての順序数の集合として識別されるフォン・ノイマン定義を使用する場合、パラドックスは避けられません。つまり、固定された 未満のすべての順序数の順序型は であるという問題の命題自体が真でなければなりません。フォン・ノイマン順序数の集合は、ラッセルのパラドックスの集合と同様に、古典論理を含む集合論では集合になることはできません。しかし、New Foundations の順序型の集合 (類似性の下での整列の同値類として定義) は実際には集合であり、 未満の順序数の順序型は ではないことが判明するため、パラドックスは回避されます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$

ZF や ZFC などの形式集合論の現代の公理では、素朴集合論やゴットロープ・フレーゲの公理 (具体的には『算術基礎』の第 5 法則)で可能なような、「 という性質を持つすべての集合」などの用語${\displaystyle P}$を使用した集合の構成を許可しないことで、この矛盾を回避しています。 クワインの体系New Foundations (NF)は、別の解決策を使用しています。 Rosser (1942) は、New Foundations の拡張であるクワインの体系「数理論理学」(ML) の元のバージョンでは、ブラーリ・フォルティのパラドックスを導くことができることを示して、この体系が矛盾していることを示しました。 Rosser の発見後のクワインの ML の改訂版にはこの欠陥がなく、実際にその後Hao Wangによって NF と等価であることが証明されました。

• 絶対無限

• スタンフォード哲学百科事典：「パラドックスと現代論理」—アンドレア・カンティーニ著。