冪集合の公理

数学において、冪集合の公理^{[ 1 ]}は、公理的集合論のツェルメロ・フレンケル公理​​の一つである。これは、すべての集合に対して以下のことを保証する。${\displaystyle x}$集合の存在$\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$のべき集合${\displaystyle x}$正確には、以下の部分集合から構成される。${\displaystyle x}$外延性の公理により、集合は$\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ユニークです。

冪集合の公理は、集合論のほとんどの公理化に現れる。一般的に異論はないと考えられているが、構成的集合論では、述語性に関する懸念を解消するために、より弱いバージョンの公理が好まれる。

部分集合関係${\displaystyle \subseteq }$は形式集合論における原始概念ではなく、ツェルメロ・フレンケル公理​​の形式言語では使用されていません。むしろ、部分集合関係${\displaystyle \subseteq }$集合メンバーシップの観点から定義される、${\displaystyle \in }$以上のことから、ツェルメロ＝フレンケル公理​​の形式言語では、冪集合の公理は次のようになる。

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

ここで、 yはxの冪集合、zはyの任意の要素、wはzの任意の要素である。

英語では、これは次のように書かれています。

任意の集合xに対して、任意の集合zに対して、集合zがyの要素であるのは、 zのすべての要素がxの要素でもある場合のみであるような集合yが存在する。

冪集合公理により、2つの集合の直積を簡単に定義できる。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

注目してください

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

例えば、クラトフスキー順序対を用いたモデルを考えると、

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

したがって、デカルト積は集合である。

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

任意の有限集合のデカルト積は、次のように再帰的に定義できる。

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

デカルト積の存在は、クリプキ・プラテック集合論の場合のように、冪集合公理を用いなくても証明できる。

冪集合公理は、集合のどのような部分集合が存在するかを規定するものではなく、存在するすべての部分集合を含む集合が存在することを規定するにすぎない。^{[ 2 ]}考えられるすべての部分集合が存在することが保証されているわけではない。特に、無限集合の冪集合は、宇宙が構成可能な宇宙である場合、「構成可能な集合」のみを含むことになる。しかし、ZF の他のモデルでは、宇宙には構成不可能な集合が含まれる可能性がある。^{[ 3 ]}

• ポール・ハルモス著『素朴集合論』プリンストン、ニュージャージー州：D・ヴァン・ノストランド社、1960年。シュプリンガー・フェルラーク社（ニューヨーク）より1974年に復刻。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー・フェルラーク版）
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2。
• クネン、ケネス、1980年。『集合論：独立性証明入門』エルゼビア。ISBN  0-444-86839-9。

この記事は、 PlanetMathの Axiom of power set の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。