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公理的集合論およびそれを用いる数学や哲学の分野において、無限公理はツェルメロ＝フレンケル集合論の公理の一つである。それは少なくとも一つの無限集合、すなわち自然数を含む集合の存在を保証する。これは1908年にエルンスト・ツェルメロが自身の集合論の一部として初めて発表した。 [ 1 ]
一階述語論理の基本記号を用いると、公理は次のように表現できる。[ 2 ]
定義すると空集合であり、後継演算を認識する：
数学者の中には、このようにして構築された集合を帰納的集合と呼ぶ人もいる。
この公理を自然言語で表現すると次のようになります。「空集合がその要素であるような集合𝐈が存在し、すべての要素 𝐈 に対して、𝐈には要素が存在する𝐈の要素が構成するそれ自体と要素。
この公理は、集合論における自然数のフォン・ノイマン構成と密接に関連しており、そこではxの後継がx ∪ { x }と定義されます。xが集合である場合、集合論の他の公理から、この後継もまた一意に定義された集合であることが導かれます。後継は、自然数の通常の集合論的符号化を定義するために使用されます。この符号化では、ゼロは空集合です。
1は0の後継数です。
同様に、2は1の後継者である。
等々：
この定義の結果として、すべての自然数は、それ以前のすべての自然数の集合と等しくなります。最上位の各集合の要素数は、表される自然数と同じであり、最も深く入れ子になった空集合 {} の入れ子の深さ（それが属する数を表す集合内での入れ子も含む）も、その集合が表す自然数と等しくなります。
この構成により自然数が形成される。しかし、他の公理だけではすべての自然数の集合の存在を証明するには不十分である。したがって、その存在は公理、すなわち無限公理として扱われる。この公理は、0を含み、後継要素を取る操作に関して閉じている集合Iが存在すると主張する。つまり、 Iの各要素について、その要素の後継要素もIに含まれる。
したがって、この公理の本質は次のとおりである。
無限公理は、フォン・ノイマン＝ベルナイズ＝ゲーデルの公理の一つでもある。
無限集合Iは自然数の上位集合である。自然数自体が集合を構成することを示すには、仕様公理図式を適用して不要な要素を除去し、すべての自然数からなる集合Nを得る。この集合は外延公理により一意である。
自然数を抽出するには、どの集合が自然数であるかを定義する必要があります。自然数は、外延公理と帰納公理以外の公理を仮定しない方法で定義できます。つまり、自然数はゼロかその次の数であり、その各要素はゼロかその要素の次の数です。形式的な言葉で定義すると次のようになります。
あるいは、もっと正式に言うと：
別の方法として、次の方法があります。「xは帰納的である」という式である。非公式には、すべての帰納的集合の共通部分を取ることになります。より正式には、一意の集合の存在を証明したいのです。そのため
存在については、無限公理と仕様公理図式を組み合わせたものを使用する。無限公理によって保証される帰納的集合とする。次に、仕様の公理図式を用いて集合を定義する。– つまりは、すべての要素の集合です。これらは、他のすべての帰納的集合の要素でもある。これは明らかに(*)の仮説を満たす。なぜなら、、 それからすべての帰納的集合に含まれ、もしはすべての帰納的集合に含まれ、特になので、。
一意性を確保するため、まず (*) を満たす任意の集合はそれ自体が帰納的であることに注意してください。なぜなら、0 はすべての帰納的集合に含まれており、要素ががすべての帰納的集合に含まれるならば、帰納的性質により、その次の集合も含まれる。したがって、別の集合が存在するならば満足した(*)私たちはそれを手に入れるだろう以来帰納的であり、以来帰納的である。したがって。 させてこの固有の要素を示す。
この定義は、帰納法の原理がすぐに導かれるため便利です。帰納的であるならば、、 となることによって。
これらの方法はいずれも、冪集合の公理によって冪集合上で定量化できるため、2階算術の公理を満たすシステムを生成する。2階述語論理のように。したがって、両者は同型システムを完全に決定し、恒等写像の下で同型であるため、実際には等しいはずです。
古い文献の中には、明らかに弱いバージョンの無限公理を使用しているものがあり、それは次のとおりである。
これは、xが空集合ではなく、xの任意の要素yに対して、 y がzの部分集合であり、かつyがzと等しくないような、 xの別の要素zが存在することを示しています。これは、 x の構造について多くを語らずとも、 xが無限集合であることを意味します。しかし、ZF の他の公理の助けを借りて、これが ω の存在を意味することを示すことができます。まず、任意の無限集合xの冪集合を取ると、その冪集合には、 xの任意の有限濃度の部分集合( xの他の部分集合も含む) が含まれます。これらの有限部分集合の存在を証明するには、分離公理またはペアリングと和集合の公理のいずれかが必要になる場合があります。次に、置換公理を適用して、xのその冪集合の各要素を、同じ濃度の初期順序数(そのような順序数がない場合はゼロ)で置き換えることができます。結果は、無限の順序数の集合になります。そして、それに和集合の公理を適用することで、ω以上の順序数を得ることができます。
ZFCの他の公理が矛盾していない場合、無限公理はそれらの公理から証明することはできない。（その理由を理解するには、ZFCがZFC − 無限公理の矛盾を含意することに注目し、ゲーデルの第2不完全性定理を用いるとよい。）
ZFCの他の公理が矛盾していない場合、無限公理の否定は他の公理から導き出すことはできません。（これは、他の公理が矛盾していない場合、ZFCも矛盾しない、と言っているのと同じです。）したがって、ZFCは無限公理もその否定も含意せず、どちらとも両立します。
実際、フォン・ノイマン階層を用いることで、ZFC − 無限大 + (¬無限大) のモデルを構築することができる。は、継承関係を持つ、遺伝的に有限な集合のクラスです。空集合の公理をこのシステムの一部として採用しない場合（ZF – Empty から導出できるため）、空領域も ZFC − Infinity + ¬Infinity を満たします。これは、すべての公理が全称量化されているため、集合が存在しない場合には自明に満たされるからです。
自然数の集合の濃度、アレフヌル（は、大きな基数の多くの性質を備えています。そのため、無限公理は最初の大きな基数公理と見なされることがあり、逆に大きな基数公理はより強い無限公理と呼ばれることもあります。
![{\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5231f129aa89a6bc67ef95c01685c83ca91319)
![{\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a966f1902291df544083b459bbdc25c827214896)
![{\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024fb46b3562de6a06d2f853b69afedd1e418165)
