Loading article…
自然数の集合（その存在は無限公理によって仮定されている）は無限である。[ 1 ]これは、公理によって直接的に無限であることが要求される唯一の集合である。他の任意の無限集合の存在は、ツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）で証明できるが、それは自然数の存在から導かれることを示すことによってのみ証明できる。
集合が無限であるのは、任意の自然数に対して、その集合の濃度がその自然数である部分集合が存在する場合に限る。[ 2 ]
選択公理が成り立つならば、集合が無限集合であるのは、それが可算無限部分集合を含む場合かつその場合に限る。
集合の集合が無限であるか、無限の要素を含む場合、その和集合は無限である。無限集合の冪集合は無限である。 [ 3 ]無限集合の任意のスーパーセットは無限である。無限集合が有限個の部分集合に分割される場合、少なくとも1つの部分集合は無限でなければならない。無限集合に写像できる任意の集合は無限である。無限集合と空でない集合の直積は無限である。それぞれが少なくとも2つの要素を含む無限個の集合の直積は、空集合か無限集合のいずれかである。選択公理が成り立つ場合、それは無限である。
無限集合が整列集合であるならば、その集合には最大元を持たない、空でない非自明な部分集合が存在するはずである。
ZFでは、集合が無限であるのは、その冪集合の冪集合が、それ自身と同数の真部分集合を持つデデキント無限集合である場合に限る。[ 4 ]選択公理も真であれば、無限集合はまさにデデキント無限集合である。
無限集合が整列可能な集合である場合、その集合には同型でない整列が多数存在する。
デイビッド・バートンが著書『数学史入門』で論じた重要な概念には、集合の「要素」または部分を定義する方法、集合内の一意の要素を定義する方法、および無限を証明する方法が含まれます。[ 5 ]バートンはまた、可算集合と非可算集合を含む、さまざまな種類の無限の証明についても論じています。[ 5 ] 無限集合と有限集合を比較する際に使用されるトピックには、順序集合、濃度、同値性、座標平面、普遍集合、写像、部分集合、連続性、および超越性が含まれます。[ 5 ]カントールの集合の概念は、三角法と無理数の影響を受けています。バートン、ポーラ、ナルリ、ロジャーが言及した無限集合論のその他の重要な概念には、π、整数、オイラー数などの実数が含まれます。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
バートンとロジャースは、写像、帰納法、背理法などの証明概念を用いて、有限集合から無限集合の説明を始めています。[ 5 ] [ 7 ]数学ツリーも無限集合の理解に利用できます。[ 8 ]バートンは、和集合や部分集合などの概念を含む無限集合の証明についても論じています。[ 5 ]
『数学史入門』第12章で、バートンは、ツェルメロ、デデキント、ガリレオ、クロネッカー、カントール、ボルツァーノといった数学者たちが、いかに無限集合論を研究し、影響を与えたかを強調している。これらの数学者の多くは、無限について議論したり、あるいは無限集合の概念に何らかの形で貢献したりした。1800年代のプロイセンの歴史が、カントールの無限集合論を含む学術的な数学的知識の増加につながったといった、潜在的な歴史的影響も考えられる。[ 5 ]
無限集合理論の潜在的な応用例の一つは、遺伝学と生物学である。[ 9 ]
すべての整数の集合{..., − 1, 0, 1, 2, ...} は可算無限集合である。すべての偶数の集合も、整数の真部分集合であっても可算無限集合である。[ 3 ]
有理数の集合は、整数の集合への全単射が存在するため、可算無限集合である。[ 3 ]
すべての実数の集合は非可算無限集合である。すべての無理数の集合もまた非可算無限集合である。[ 3 ]
整数のすべての部分集合の集合は、非可算無限である。