ゼロのゼロ乗

$00$ で表されるゼロのゼロ乗は、コンテキストに応じて1 と定義されるか、未定義のままになる数式です。代数と組合せ論では、通常 $0$ $0$ $= 1$ と定義されます。数学的解析では、式が未定義のままになることがあります。コンピュータプログラミング言語とソフトウェアでも、この式を処理する方法が異なります。

離散指数

自然数の指数を含む広く使用されている式の多くは、 $0 0 を$ $1$ として定義する必要があります。たとえば、 $b 0の次の 3 つの解釈は、$ $b = 0$ の場合も正の整数 $b$ の場合と同様に意味を持ちます。

$b 0$ を空積として解釈すると、値 $1$ が割り当てられます。
$b$ $0$ の組み合わせ的解釈は、 $b$ 要素セットからの要素の0 組の数です。0 組は正確に 1 つ存在します。
$b$ $0$ の集合論的解釈は、空集合から $b$ 元集合への関数の数である。そのような関数は空関数1 つだけ存在する。^[1]

これら 3 つはすべて $00 = 1$ を与えるように特化しています。

多項式とべき級数

多項式を評価するときは、 $0 0 を$ $1$ と定義すると便利です。（実）多項式は、 $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n の$ 形式の式です。ここで、 $x は$ 不定値で、係数 $a i$ は実数です。多項式は項ごとに加算され、分配法則と指数の通常の規則を適用して乗算されます。これらの操作により、多項式は環 $R [x]$ を形成します。 $R$ $[$ $x$ $]$ の乗法単位元は多項式 $x$ $0$ です。つまり、 $x$ $0$ に任意の多項式 $p$ $($ $x$ $)$ を掛けると、 $p$ $($ $x$ $)$ になります。^{[2]また、多項式は} $x を$ 実数に特殊化することで評価できます。より正確には、任意の実数 $r$ に対して、唯一の単位 $R$ 代数準同型 $ev$ $r$ $:$ $R$ $[$ $x$ $] \to$ $R$ $が存在し、 ev$ $r$ $($ $x$ $) =$ $r が$ 成り立つ。 $ev$ $r は$ 単位なので、 $ev$ $r$ $($ $x$ $0$ $) = 1$ である。つまり、 0 を含むすべての実数 $rに対して$ $r$ $0$ $= 1である。$ $R を$ 任意の環に置き換えても同じ議論が当てはまる。^[3]

$00 = 1$ を定義することは、多くの多項式の恒等式で必要である。例えば、二項定理は、 $0$ $0$ $= 1$ の場合にのみ $x$ $= 0$ に対して成立する。^[4] $(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}$

同様に、冪級数の環は、 $xのすべての特殊化に対して$ $x 0$ が 1 として定義されることを要求する。例えば、やのような恒等式は、 $0$ $0$ $= 1$ の場合にのみ $x$ $= 0$ に対して成立する。^[5] ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

多項式 $x 0$ が連続関数 $R \to R を$ 定義するには、 $00 = 1$ を定義する必要があります。

微積分学では、 $0$ $0$ $= 1$ の場合にのみ、 $x$ $= 0$ で $n$ $= 1に対して$ べき乗則が有効です。 ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

連続指数

$z = x y$ のプロット。赤い曲線 ( $z$ $定数) は、 (x, y) が$ $(0, 0)$ に近づくにつれて異なる極限値を示します。緑の曲線 (有限の一定の傾き、 $y = ax$ $) はすべて1$ の極限値を示します。

代数演算を含む極限は、多くの場合、部分式をその極限で置き換えることによって評価できます。結果の式が元の極限を決定しない場合、その式は不定形式と呼ばれます。^[6]式 $00$ は不定形式です。実数値関数 $f (t)$ と $g (t) が$ $0 に$ 近づき( $t が$ 実数または $\pm\infty$ に近づくにつれて)、 $f (t) > 0の場合、$ $f (t) g (t)$ の極限は、 $f$ と $g$ に応じて、任意の負でない実数または $+\infty$ になるか、発散する可能性があります。たとえば、以下の各極限には、 $t$ $\to 0$ $+$ として $f$ $($ $t$ $)、$ $g$ $($ $t$ $) \to 0 と$ なる関数 $f$ $($ $t$ $)$ $g$ $($ $t$ $)$ が含まれます(片側極限) が、値は異なります。 $\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.$

したがって、2変数関数 $x y は$ 集合 ${(x, y) : x > 0}$ 上で連続であるが、 $0$ $0 を$ どのように定義しても、 ${($ $x$ $,$ $y$ $) :$ $x$ $> 0} \cup {(0, 0)}$ 上の連続関数に拡張することはできない。^[7]

一方、 $f$ と $gが$ 数 $cの開近傍上の$ 解析関数である場合、 $tが$ $f$ が正である任意の側から $cに$ 近づくと、 $f$ $($ $t$ $)$ $g$ $($ $t$ $)$ $\to1と$ なる。 ^[8] この結果とより一般的な結果は、関数の極限挙動を研究することによって得ることができる。^[9]^[10] $\log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)$

複素指数

複素領域では、関数 $z w は$ $、 log$ $z$ の枝を選び、 $z$ $w を$ $e$ $w$ $log$ $z$ と定義することで、非ゼロ $z$ $に対して定義できます。これは0$ $w$ を定義しません。なぜなら、 $z$ $= 0$ では $log$ $z$ の枝が定義されておらず、 $0$ の近傍では定義されていないからです。^[11]^[12]^[13]

歴史

価値として

1752年、オイラーはIntroductio in analysin infinitorumで $a 0 = 1$ ^[14]と書き、 $00 = 1$ と明示的に言及しました。^[15] 1787年版のオイラーの著書Institutiones calculi differentis^[17 ]にマスケローニが書いたとされる注釈[ ^16]では、この「正当化」と、より複雑な正当化が提示されました。 1830年代に、Libri ^[18]^[16]は $0$ $0$ $= 1$ という主張を正当化しようとするさらなる議論をいくつか発表しましたが、当時の厳密さの基準から見ても、これらは説得力に欠けていました。^[19] $0^{0}=(aa)^{nn}={\frac {(aa)^{n}}{(aa)^{n}}}=1$

限定的な形式として

$オイラーは、 0 0 = 1$ と設定したとき、関数 $0 x$ $の値は、 x$ $< 0$ の場合は $\infty$ 、 $x$ $= 0$ の場合は $1$ 、 $x$ $> 0$ の場合は $0$ と、「大きなジャンプ」を起こすと述べました。^[14] 1814年、パフはスクイーズ定理の議論を使用して、 $x$ $\to 0$ $+$ として $x$ $x$ $\to 1$ であることを証明しました。^[8]

一方、1821年にコーシー^[20]は、正の数 $x$ と $yが$ 何らかの固定された関係によって制約されながら $0$ に近づくときの $x y$ の極限が、関係を適切に選択することで $0$ と $\infty$ の間の任意の値をとることができる理由を説明しました。彼は、特定の制約のない完全な2変数関数 $x$ $y$ の極限は「不定」であると推論しました。この正当化により、彼は $0$ $0を$ $次$ のような式とともに挙げました。 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}0/0⁠$ 不定形の表にあります。

明らかにコーシーの研究を知らなかったメビウス^[8]は、1834年にパフの議論を基にして、 $x が$ 数 $c$ に近づくにつれて $f (x)$ $、g ( x ) \to 0 となるときはいつでも f ( x )$ $g$ $($ $x$ $)$ → $1 である$ $と$ $誤っ$ $て$ $主張$ $し$ た（おそらく $fは$ $c$ から離れるにつれて正であると想定されている）。メビウスは $c$ $= 0 の$ 場合に簡約したが、その後、 $f$ と $gのそれぞれが、$ $0$ で消えない何らかの連続関数 $P$ と何らかの非負整数 $nに対して$ $Px$ $n の$ 形式で表せると仮定するという誤りを犯した。これは解析関数には当てはまるが、一般には当てはまらない。匿名のコメンテーターがこの不当なステップを指摘した。^[21]その後、単に「S」と署名した別のコメンテーターが、 x $\to$ $0$ $+$ として $($ $e$ $-1/$ $x$ $)$ $x$ $\to e$ $-1$ と $($ $e$ $-1/$ $x$ $)$ $2$ $x$ $\to$ $e$ $-2の明示的な反例を$ $示し$ $、「 0$ $0は$ 多くの異なる値を取ることができる」と書いて状況を表現した。^[21]

現在の状況

$0 0 を$ $1$ と定義する著者もいる。これは多くの定理の記述を簡略化するからである。ベンソン (1999) によると、「 $00$ を定義するかどうかの選択は、正確さではなく利便性に基づく。0 0 を定義せずに済ませると $、特定$ の主張が不必要に扱いにくくなる。… $00 = 1という定義を使用するのがコンセンサスであるが、$ $0 0 を$ 定義せずに済ませている教科書もある。」^[22]クヌース(1992) は、 $00$ 「は $1$ でなければならない」とより強く主張している。彼は、 $1$ に等しいはずの値 $0$ $0$ と、不定形式である極限形式 $0$ $0 （$ $f$ $($ $t$ $)$ $g$ $($ $t$ $)$ の極限の略語で、 $f$ $($ $t$ $)、$ $g$ $($ $t$ $) \to 0$ ）を区別している。「コーシーとリブリはどちらも正しかったが、リブリとその擁護者たちは、なぜ真実が自分たちの側にあるのかを理解していなかった。」^[19]
他の著者は $0 0 を$ 未定義のままにしている。なぜなら $00$ は不定形式だからである。つまり、 $f (t), g (t) \to 0 は$ $f (t) g (t) \to 1を$ 意味しないからである。^[23]^[24]

$00$ に1以外の特定の値を割り当てている著者はいないようです。^[22]

コンピュータでの治療

IEEE 浮動小数点標準

IEEE 754-2008浮動小数点標準は、ほとんどの浮動小数点ライブラリの設計に使用されています。この標準では、べき乗を計算するためのいくつかの操作が推奨されています。^[25]

pown(指数が整数の場合) $0 0 を$ $1$ として扱います。§ 離散指数を参照してください。
pow(その意図は、指数が整数の場合にNaN以外の結果を返すことです。) は、 $0$ $0$ $を1$ としてpown扱います。
powr不定形式のため、 $0 0 を$ NaN (Not-a-Number) として扱います。§ 連続指数を参照してください。

このバリアントは、主に互換性のためにC99の関数powに触発されています。 ^[26]これは主に単一のべき乗関数を持つ言語で役立ちます。およびバリアントは、べき乗関数の使用法の競合と異なる観点（前述のとおり）のために導入されました。^[27]powpownpowr

プログラミング言語

$C および C++ 標準では、 0 0$ の結果は規定されていません(ドメインエラーが発生する可能性があります)。ただし、C については、C99の時点で、規範的な付属書 F がサポートされている場合、実数浮動小数点型の結果は $1である必要があります。これは、この値の方が$ NaN ^[28]よりも有用な重要なアプリケーションがあるためです(たとえば、離散指数の場合)。参考となる付属書 G がサポートされている場合でも、複素数型の結果は規定されていません。Java 標準[ ^{29] 、.}NET Frameworkメソッド^[30]、Julia、およびPython ^[31]^[32]も $0$ $0$ $を1$ として扱います。一部の言語では、累乗演算が C 数学ライブラリの関数に対応することが文書化されています。これは、 Luaの演算子^[33]とPerlの演算子^[34]の場合です(これらの演算子では、の結果はプラットフォームに依存することが明示的に示されています)。 System.Math.Pow pow^**0**0

数学および科学ソフトウェア

R、^[35]、 SageMath、^[36]、PARI/GP ^[37]は、 $x 0$ $から1$ までを評価します。Mathematica ^[38]は、 $x$ に制約が課されていない場合でも、 $x$ $0$ から $1$ までを簡略化します。ただし、 $0$ $0$ が直接入力された場合は、エラーまたは不確定として扱われます。Mathematica ^[38]とPARI/GP ^[37]^[39]はさらに、整数値と浮動小数点値を区別します。指数が整数型のゼロの場合、基数の型の $1$ を返します。値ゼロの浮動小数点指数による累乗は、未定義、不確定、またはエラーとして扱われます。

参照

0/0

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外部リンク

sci.math FAQ: 00 とは何ですか?
00 (ゼロのゼロ乗) は何に等しいですか? AskAMathematician.com

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