測定可能な基数

数学において、測定可能な基数とは、ある種の大きな基数である。この概念を定義するために、基数κ 、またはより一般的には任意の集合に2値の測度を導入する。基数κについては、そのすべての部分集合を大きな集合と小さな集合に細分化したものとして記述することができ、κ自体は大きく、 ∅ およびすべての単集合{ α } ( α  ∈  κ ) は小さく、小さな集合の補集合は大きく、その逆もまた同様である。κ個未満の大きな集合の交差もまた大きい。 ^[1]

2値の測度を備えた非可算基数は、 ZFCから存在が証明できない大きな基数であることが判明しました。^[2]

測定可能な基数の概念は1930年にスタニスワフ・ウラムによって導入されました。 ^[3]

正式には、測定可能な基数とは、 κの 冪集合上にκ加法で非自明な 0-1 値の測度μが存在するような非可算基数 κのことです。

ここで、κ加法とは、λ  <  κであり、λサイズの集合{ A _β } _{β < λ}である 、 A _β  ⊆  κの互いに素な部分集合に対して、

μ (⋃ _{β < λ}  A _β ) = Σ _{β < λ}  μ ( A _β )。

同様に、κ が可測基数となるのは、 κ がκ完全で非主な超フィルタを持つ非可算基数である場合のみです。これは、超フィルタ内のκ個未満の任意の 集合の交差も超フィルタ内にあることを意味します。

同様に、κが可測であるということは、それが宇宙Vの推移クラスMへの非自明な基本埋め込みの臨界点であることを意味します。この同値性はJerome KeislerとDana Scottによるもので、モデル理論の超冪構成を使用しています。Vは適切なクラスであるため、超冪を考慮するときには通常存在しない技術的な問題に対処する必要があり、これは現在Scott のトリックと呼ばれています。

κ が非自明なκ加法測度を許容する場合、κ は正則でなければならないことに注意するのは自明です。(非自明性とκ加法性により、 κ未満の濃度の部分集合は測度 0 を持つ必要があり、またκ加法性により、集合全体がκ 未満の濃度のκ個未満の集合の和集合であってはならないことを意味します。 ) 最後に、λ  <  κ の場合、κ  ≤ 2 ^λとなることはありません。これが当てはまる場合、κ を長さ λ の 0-1 シーケンスのコレクションと同一視できます。シーケンス内の各位置について、その位置に 1 があるシーケンスのサブセットまたはその位置に 0 があるサブセットのいずれかが測度 1 を持つ必要があります。したがって、これらのλ個の測度 1 サブセットの共通部分も測度 1 を持つ必要がありますが、これにはシーケンスが 1 つだけ含まれることになり、測度の非自明性と矛盾します。したがって、選択公理を仮定すると、κ は強い極限基数であると推論でき、これによりその到達不可能性の証明が完了します。

ZFCから、すべての測定可能な基数は到達不可能（そして、非言語的、ラムゼイなど）であることが分かりますが、測定可能な基数は後続基数になり得ることはZFと矛盾しません。ZF + ADから 、ω _1は測定可能であり、^{[4] ω} ₁のすべての部分集合は、閉じた無限の部分集合を含むか、またはその部分集合と素であることが分かります。

ウラムは、非自明な可算加法的な二価測度を許容する最小の基数κ は、実際にはκ加法測度を許容しなければならないことを示しました。( κより少ない測度 0の部分集合の集合があり、その集合の和がκ である場合、この集合上の誘導測度は κ の極小性に対する反例になります。 ) そこから、(選択公理を使用して) そのような最小の基数はアクセス不可能でなければならないことを証明できます。

κが可測で、p  ∈  V _κであり、M ( Vの超冪) がψ ( κ, p ) を満たす場合、 V がψ ( α, p ) を満たすようなα  <  κの集合はκ (実際には測度 1 の集合)において定常です。特に、ψ がΠ _{1 の}式であり、Vがψ ( κ, p )を満たす場合、M はそれを満たし、したがってα  <  κの定常集合に対してV はψ ( α, p )を満たします。この特性を使用して、 κ が、可測よりも弱いほとんどの種類の大きな基数の極限であることを示すことができます。 κが可測であることを証明する超フィルターまたは測度はMには存在できないことに注意してください。これは、そのような最小の可測基数は、それより下に別のそのような基数を持つ必要があるためですが、これは不可能です。

臨界点κを持つM ₁へのVの基本埋め込みj _{1から始めると}、κ上の超フィルターU を{  S  ⊆  κ  | κ  ∈  j ₁ ( S ) } として定義できます。次に、U上のVの超冪を取ると、 M ₂へのVの別の基本埋め込みj _{2 を得ることができます。ただし、} j ₂  ≠  j ₁であることを覚えておくことが重要です。したがって、強い基数などの他の種類の大きな基数も測定可能である可能性がありますが、同じ埋め込みを使用していません。強い基数κ は測定可能であり、その下にκ個の測定可能な基数があることが示されます。

κ はいずれも0巨大基数です。なぜなら^κ M  ⊆  M、つまりκからMへのすべての関数はMに含まれるからです。したがって、V _{κ +1}  ⊆  Mです。

測定可能な基数が存在する場合、すべてのΣ¹
₂（解析階層に関して）実数の集合はルベーグ測度を持つ。^[4]特に、実数の非測度集合はΣであってはならない。¹
₂。

κ基数は、 κの冪集合上にκ加法確率測度があり、それが単体では消えるとき、実数値で可測と呼ばれます。実数値で可測な基数は、ステファン・バナッハ (1930) によって導入されました。バナッハとクラトフスキー (1929) は、連続体仮説から𝔠 は実数値で可測ではないことが示されました。スタニスワフ・ウラム(1930) は、実数値で可測な基数は弱アクセス不可能 (実際には弱 Mahlo ) であることを示しました (ウラムの証明の一部は下記を参照) 。すべての可測基数は実数値で可測であり、実数値で可測な基数κが可測なのは、κが 𝔠 より大きい場合のみです。したがって、基数が可測なのは、実数値で可測かつ強アクセス不可能である場合のみです。 𝔠 以下の実数値の測定可能な基数が存在するのは、ルベーグ測度のすべての実数集合への可算加法拡張が存在する場合と、ある空でない集合の冪集合上に原子のない確率測度が存在する場合とに限ります。

Solovay (1971) は、ZFC の測定可能な基数、ZFC の実数値測定可能な基数、および ZF の測定可能な基数の存在が等しく矛盾しないことを示しました。

基数αがウラム数であるとは、^{[5] [注1]}

いつでも

それから

| X | ≤ αならばμ ( X ) = 0 となる。

同様に、基数αがウラム数であるのは、

いつでも

1. νは集合Y上の外測度であり、FはYの互いに素な部分集合の集合である。
2. ν (⋃ F ) < ∞,
3. ν ( A ) = 0 （A ∈ F の場合）
4. ⋃ G は任意のG  ⊂  Fに対してν測定可能である、

それから

場合 |ふ| ≤ αの場合、ν (⋃ F ) = 0。

最小の無限基数ℵ ₀はウラム数である。ウラム数のクラスは基数後続演算の下で閉じている。^[6]無限基数β がウラム数である直前の基数αを持つ場合、 X  =  β でμ が特性 ( 1 )–( 4 )を満たすと仮定する。順序数と基数のフォン・ノイマン・モデルにおいて、各x  ∈  βに対して、入射関数を選択する。

fx : x → α_​

セットを定義する

U ( b, a ) = {  x  ∈  β  | f _x ( b ) =  a  }

f _{x は}1対1なので、集合

{  U ( b, a ) | b  ∈  β  } （a  ∈  αは固定）

{  U ( b, a ) | a  ∈  α  }（b  ∈  βは固定）

は互いに素である。μの性質（２）により、集合

{  b  ∈  β  | μ ( U ( b, a )) > 0 }

は可算なので、

|{ ( b, a ) ∈  β  ×  α  | μ ( U ( b, a )) > 0 }| ≤ ℵ ₀ ⋅ α。

したがって、 b _0が存在し、

μ ( U ( b ₀ , a )) = 0 任意のa  ∈  αに対して

αはウラム数であり、2番目の定義（ ν  =  μで条件（1）～（4）が満たされている）を使用すると、

μ (⋃ _{a ∈ α}  U ( b ₀ , a )) = 0。

b ₀  <  x  <  βかつf _x ( b ₀ ) = a x_ならばx∈U ( b 0 _, a x ₎ と なる。したがって

β = b ₀  ∪ {b ₀ } ∪ ⋃ _{a ∈ α}  U ( b ₀ , a )

性質( 2 )より、μ ({ b0 _} )=0であり、| b0 |  _≤αなので、( 4 )、( 2 )、( 3 )より、μ ( b0 ) =0となる。従って、μ ( β )=0となる_。結論として、βはウラム数である。

同様の証明として、 | S |がウラム数であるウラム数の集合Sの最大値は、やはりウラム数であるという証明^[7]がある。前の結果と合わせると、これはウラム数ではない基数が弱到達不可能であることを意味する。

• 通常の測定
• ミッチェル命令
• 大きな基数特性のリスト

• Banach、Stefan (1930)、「Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen」、Fundamenta Mathematicae、15 : 97–101、doi : 10.4064/fm-15-1-97-101、ISSN  0016-2736。
• ステファン・バナッハ; Kuratowski、Kazimierz (1929)、「Sur une généralisation du questione de la mesure」、Fundamenta Mathematicae、14 : 127–131、doi : 10.4064/fm-14-1-127-131、ISSN  0016-2736。
• ドレイク、FR（1974）、集合論：大規模基数入門（論理学と数学の基礎研究、V. 76）、エルゼビアサイエンス社、ISBN 978-0-7204-2279-5。
• フェデラー、H. (1996) [1969]、幾何学的測度論、数学の古典（第1版再版）、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、ISBN 978-3540606567。
• ジェック、トーマス（2002）、集合論、第三千年紀版（改訂・拡張）、シュプリンガー、ISBN 3-540-44085-2。
• 金森 章宏(2003)、『The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings』 (第 2 版)、Springer、ISBN 3-540-00384-3。
• マディ、ペネロペ（1988）、「公理を信じる。II」、シンボリックロジックジャーナル、53（3）：736–764、doi：10.2307 / 2274569、JSTOR  2274569、S2CID  16544090この記事のパート I とパート II の訂正版は、著者の Web ページで入手できます。
• Solovay, Robert M. (1971)、「実数値の測定可能な基数」、公理的集合論 (Proc. Sympos. Pure Math.、Vol. XIII、Part I、Univ. California、ロサンゼルス、カリフォルニア州、1967)、プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc.、pp. 397–428、MR  0290961。
• ウラム、スタニスワフ(1930)、「Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre」、Fundamenta Mathematicae、16 : 140–150、doi : 10.4064/fm-16-1-140-150、ISSN  0016-2736。