注文タイプ

数学、特に集合論において、2 つの順序付き集合 XとY は、順序同型である場合、つまり、fとその逆関数が両方とも単調である(要素の順序が保存される)ような全単射(各要素が他の集合の要素と正確に 1 つずつ対になる)が存在する場合、同じ順序型を持つと言われます。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Xが全順序付けされている特別なケースでは、fの単調性はすでにその逆の単調性を意味します。

同じ集合に異なる順序が備わっている場合があります。順序同値は同値関係であるため、すべての順序付き集合のクラスを同値クラスに分割します。

集合の順序型が と表記される場合、の双対である逆順序の順序型はと表記されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma^{*}}$

順序集合Xの順序型はord( X )と表現されることもある。^[1]

整数と有理数の順序型は、通常、それぞれ、およびと表記されます。整数の集合と偶数の集合は、マッピングが順序を保存する全単射であるため、同じ順序型を持ちます。しかし、整数の集合と有理数の集合（標準的な順序付けの場合）は同じ順序型を持ちません。これは、集合が同じサイズ（両方とも可算無限）であるにもかかわらず、それらの間に順序を保存する全単射マッピングがないためです。有理数の開区間(0, 1)は、有理数と順序同型です。たとえば、 は前者から後者への厳密な増加全単射であるためです。この種の関連する定理については、以下で詳しく説明します。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle n\mapsto 2n}$${\displaystyle f(x)={\tfrac {2x-1}{1-\vert {2x-1}\vert }}}$

さらに多くの例を挙げることができます: 正の整数の集合 (最小の要素を持つ)、および負の整数の集合 (最大の要素を持つ)。自然数は、以下で説明するように、ω で示される順序型を持ちます。

半閉区間 [0,1) と (0,1]、および閉区間 [0,1] に含まれる有理数は、3 つの追加の順序タイプの例です。

定義により、すべての整列集合は、ちょうど 1 つの順序数と順序が等価です。順序数はそのクラスの標準的な代表として扱われるため、整列集合の順序型は通常、対応する順序数で識別されます。したがって、順序型は、多くの場合、順序数の算術式の形をとります。

まず、自然数の集合の順序型はωです。ペアノ算術の他のモデル、つまり非標準モデルは、 ω と同型の線分から始まりますが、その後に追加の数が追加されます。たとえば、そのようなモデルの順序型はω + (ω* + ω) ⋅ ηです。

次に、 ω⋅2 +7未満の偶数順序数の集合Vを考える。

${\displaystyle V=\{0,2,4,\ldots ;\omega ,\omega +2,\omega +4,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}.}$

これは2つの別々のカウントシーケンスとそれに続く4つの要素で構成されているため、順序タイプは

${\displaystyle \operatorname {ord} (V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},}$

数としての標準的な順序に関して言えば、有理数の集合は整然とした順序ではありません。実際のところ、実数の 完全な集合も同様です。

任意の可算な全順序集合は、順序を保存しながら有理数に単射的に写像できます。さらに、順序が稠密で最高元も最低元も存在しない場合、そのような写像は単射的に存在します。

• 秩序ある

• Weisstein、Eric W.「注文タイプ」。MathWorld。