カンターセット

数学において、カントール集合は、多くの直感に反する性質を持つ単一の線分上にある点の集合である。1874年にヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスによって発見され^{[1] [2] [3] [4]}、1883年にドイツの数学者ゲオルク・カントールによって言及された。 ^{[5] [6]}

この集合の考察を通じて、カントールらは現代の点集合位相の基礎を築くのに貢献した。最も一般的な構成はカントールの三元集合であり、線分の中央の3分の1を削除し、残りの短い線分で同じ処理を繰り返すことによって構築される。カントールは、どこにも稠密でない完全集合の例として、この三元構成についてほんの少しだけ触れた（^[5] Anmerkungen zu §10、/p. 590）。

より一般的には、位相幾何学において、カントール 空間はカントール三元集合（その部分空間位相を備える）に同相な位相空間である。LEJブラウワーの定理によれば、これは完全、非空、コンパクト、距離化可能、ゼロ次元であることと同値である。^[7]

カントール三元集合は、線分の集合から開いた中央の 3 分の 1 を繰り返し削除することによって作成されます。まず、区間から開いた中央の 3 分の 1 を削除して、2 つの線分を残します: 。次に、これらの残りの線分のそれぞれの開いた中央の 3 分の 1 を削除して、4 つの線分を残します: 。カントール三元集合には、この無限のプロセスのどのステップでも削除されない区間内のすべての点が含まれます。同じ事実は、次のように再帰的に記述できます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left[0,1\right]}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

そして

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}}$

、 したがって${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle {\color {Blue}\lim _{n\to \infty }C_{n}}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$   いずれの場合も   。${\displaystyle m\geq 0}$

このプロセスの最初の 6 つのステップを以下に示します。

自己相似変換の考え方とカントール集合の明示的な閉式を用いると^[8]${\displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$${\displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,1]\,\setminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,}$

中間の3分の1は、それを囲む閉区間から開区間として削除される。または ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,}$

ここで、前述の閉区間の中央の3分の1は、${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

中央の 3 分の 1 を削除するこのプロセスは、有限分割規則の単純な例です。カントールの 3 元集合の補集合は、フラクタル文字列の例です。

算術的に言えば、カントール集合は、3 進法(基数 3) の分数として表すために数字 1 を必要としない単位区間のすべての実数で構成されます。上の図が示すように、カントール集合の各点は、無限に深い二分木を通るパスによって一意に配置されます。このパスは、削除されたセグメントのどちら側に点があるかに応じて、各レベルで左または右に曲がります。各左折を 0 で、各右折を 2 で表すと、点の 3 進法分数が得られます。 ${\displaystyle [0,1]}$

数学者ブノワ・マンデルブロは著書『自然のフラクタル幾何学』 の中で、数学に詳しくない読者が の構造を想像するのに役立つ風変わりな思考実験を提示しています。マンデルブロの語りは、おそらく軽量金属製の棒を想像することから始まります。棒の物質は、先端に向かって繰り返し移動することで「凝固」します。棒の断片が小さくなると、薄くて密度の高い塊になり、最終的には小さくなりすぎて見えなくなります。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

凝結: カンター バーの構造は、私が凝結と呼ぶプロセスの結果です。これは丸いバーから始まります。密度が非常に低いと考えるのが最善です。次に、このバーの中央の 3 分の 1 から端の 3 分の 1 に物質が「凝結」し、端の 3 分の 1 の位置は変わりません。次に、端の 3 分の 1 の中央の 3 分の 1 から端の 3 分の 1 に物質が凝結し、これが無限に繰り返され、無限に薄い、無限に高密度のスラグが無限に残ります。これらのスラグは、生成プロセスによって誘発される非常に特殊な方法で線に沿って配置されます。この図では、(最終的にはハンマーで叩く必要がありますが) 凝結は、印刷機と私たちの目の両方が追うことをやめたときに停止します。最後の線は、最後の 2 番目の線と区別がつきません。その最終的な部分は、2 つの平行な黒いスラグではなく、灰色のスラグとして表示されます。^[9]

カントール集合は除外されていない点の集合として定義されているため、残っている単位区間の割合（つまり、測度）は、除去された合計の長さによって求められます。この合計は等比数列です。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

残る割合は 1 − 1 = 0 になります。

この計算は、カントール集合には長さがゼロでない区間は含まれないことを示しています。何かが残っているというのは意外に思えるかもしれません。結局のところ、削除された区間の長さの合計は元の区間の長さに等しいからです。しかし、プロセスを詳しく見ると、各区間の「中央の 3 分の 1」を削除すると、開集合(端点を含まない集合) が削除されるため、何かが残っているに違いないことがわかります。したがって、線分 ( ⁠1/3⁠、⁠2/3⁠）を元の区間[0, 1]から削除すると、点⁠1/3⁠と⁠2/3⁠。削除される区間は常に残りの区間の内部にあるため、後続のステップではこれらの（または他の）端点は削除されません。したがって、カントール集合は空ではなく、実際には無限個の点が含まれます（無限二分木のパスに関する上記の説明からわかるように）。

構築セグメントの終点だけが残っているように見えるかもしれませんが、そうではありません。番号⁠1/4例えば、は、0.020202... = 0.02という唯一の三進法形式を持ちます。これは、下から3分の1にあり、その3分の1の上から3分の1にあり、その上から3分の1の下から3分の1にあり、というように続きます。これは中間のセグメントの1つには決して含まれないため、削除されることはありません。しかし、これは1/3のどの累乗の倍数でもないため、どの中間セグメントの終点にもなりません。^[10] セグメントのすべての終点は、終端の3進分数であり、集合に含まれます。

${\displaystyle \left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}}$

これは可算無限集合です。濃度に関しては、カントール集合のほぼすべての要素は区間の端点ではなく、 1/4 のような有理点でもありません。カントール集合全体は実際には可算ではありません。

この過程で残される点は、最初にあった点と同数であること、したがってカントール集合は無数であることが示せます。これを確かめるために、カントール集合から閉区間 [0,1] への関数 fが存在し、これが全射的であることを示します(つまり、f はから [0,1] に写像されます)。そのため、 の濃度は[0,1] の濃度以上になります。は [0,1] のサブセットであるため、その濃度もそれより大きくはなく、したがってカントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理により、2 つの濃度は実際には等しくなければなりません。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

この関数を構築するには、[0, 1] 区間の点を 3 進法 (または3 進法)表記で考えます。 3 進法の分数、より正確には の要素は、この表記法で複数の表現が可能です。たとえば⁠${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \setminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$1/3⁠ 、これは 0.1 ₃ = 0.1 0 ₃と書くこともできますが、 0.0222... ₃ = 0.0 2 ₃とも書くことができ、⁠2/3⁠ 、これは0.2 ₃ = 0.2 0 ₃と書くこともできるが、0.1222... ₃ = 0.1 2 ₃とも書くことができる。^{[11]真ん中の3分の1を取り除くと、これには0.1xxxxx...} ₃ という形式の3進法の数が含まれる。ここでxxxxx... _{3は厳密に00000... 3}と22222... ₃の間である。したがって、最初のステップの後に残る数字は次のようになる。

• _{0.0xxxxx... 3 の}形式の数値(0.022222... ₃ = 1/3 を含む)
• _{0.2xxxxx... 3 の}形式の数値(0.222222... ₃ = 1 を含む)

これを要約すると、小数点後の最初の桁が 1 ではない 3 進表現を持つ数値が、最初のステップの後に残っている数値であると言えます。

_{2 番目のステップでは、0.01xxxx... 3}および 0.21xxxx... ₃という形式の数字が削除され、(端点を適切に考慮すると) 残りの数字は最初の2桁のどちらも 1 ではない 3 進数であるという結論が導き出されます。

このように続けると、ステップnで除外されない数には、 n番目の桁が 1 ではない 3 進表現が必要です。数がカントール集合に含まれるためには、どのステップでも除外されず、0 と 2 のみで構成される数値表現が許可される必要があります。

1、 ⁠のような数字は強調する価値がある。1/3⁠ = 0.1 ₃および⁠7/9⁠ = 0.21 ₃はカントール集合に属し、0 と 2 のみで構成される 3 進数です。1 = 0.222... ₃ = 0. 2 ₃、⁠1/3⁠ = 0.0222... ₃ = 0.0 2 ₃および⁠7/9⁠ = 0.20222... ₃ = 0.20 2 ₃。後者の数字はすべて「端点」であり、これらの例はの右極限点です。 の左極限点についても同じことが言えます。例: ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$2/3⁠ = 0.1222... ₃ = 0.1 2 ₃ = 0.2 0 ₃および⁠8/9⁠ = 0.21222... ₃ = 0.21 2 ₃ = 0.22 0 ₃。これらすべての端点は、⁠ の形式の真三元分数（の元）です。${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$p/q⁠、ここで分母q は分数が既約形式の場合3 の累乗です。^[10]これらの分数の 3 進表現は終了する (つまり有限である) か、または (前述のように、適切な 3 進分数にはそれぞれ 2 つの表現があることを思い出してください) 無限であり、無限に繰り返される 0 または無限に繰り返される 2 で「終了」します。このような分数は、その 3 進表現に 1 が含まれず、無限に繰り返される 0 で「終了」する場合、の左極限点です。同様に、適切な 3 進分数は、その 3 進展開に 1 が含まれず、無限に繰り返される 2 で「終了」する場合、の右極限点です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

この端点の集合はに稠密であり(ただし [0, 1] には稠密ではない)、可算無限集合を構成します。 に端点がない数も、3 進数表現では 0 と 2 のみを持ちますが、数字 0 や数字 2 の無限繰り返しで終わることはできません。そうすると端点になってしまうからです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

から[0,1]への関数は、0と2のみで構成される3進数の数値の2を1に置き換え、そのシーケンスを実数の 2進表現として解釈することによって定義されます。式では、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$   どこ   ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

[0,1] 内の任意の数yについて、その 2 進表現は、すべての 1 を 2 に置き換えることで、内の数xの 3 進表現に変換できます。これにより、 f ( x ) = yとなり、y はfの範囲内になります。たとえば、y = ⁠の場合${\displaystyle {\mathcal {C}}}$3/5⁠ = 0.100110011001... ₂ = 0. 1001 、 x = 0. 2002 = 0.200220022002... ₃ = ⁠ と書きます。7/10⁠。したがって、fは射影的である。しかし、fは単射ではない。つまり、 f ( x ) が一致する値は、中央の 3 分の 1 のうちの 1 つを除いた両端の値である。たとえば、

⁠1/3⁠ = 0.0 2 ₃（これは中央の3分の1の右端点と左端点である[ ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3⁠、⁠2/3⁠ ]) と

⁠2/3⁠ = 0.2 0 ₃（これは中央の3分の1の左端点と右端点である[ ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3⁠、⁠2/3⁠ ])

それで

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

したがって、カントール集合には、区間 [0, 1] (これは非可算な濃度) と同じ数の点があります。ただし、削除された区間の端点の集合は可算であるため、カントール集合には区間の端点ではない数が非可算に多く存在する必要があります。前述のように、そのような数の 1 つの例は⁠です。${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$1/4⁠ 、これは三進法で 0.020202... ₃ = 0. 02と書くことができます。実際、任意の が与えられたとき、となるものが存在します。これは1917 年にSteinhausによって初めて実証されました。彼は、任意の に対して となる同等の主張を、幾何学的議論によって証明しました。^[12]この構成により からへの注入が得られるため、直ちに系が成り立ちます。任意の無限集合に対してとなると仮定すると (この命題はTarski によって選択公理と同等であることが示されています)、これは となる別の証明となります。 ${\displaystyle a\in [-1,1]}$${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle a=y-x}$${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$${\displaystyle a\in [-1,1]}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$${\displaystyle |A\times A|=|A|}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$

カントール集合には、それが取られる区間と同じ数の点が含まれますが、それ自体には長さがゼロでない区間は含まれません。無理数にも同じ特性がありますが、カントール集合には閉じているという追加の特性があるため、無理数がすべての区間で密であるのとは異なり、どの区間で も密ではありません。

すべての代数的無理数は正規数であると推測されている。カントール集合のメンバーは正規数ではないので、カントール集合のすべてのメンバーは有理数か超越数のいずれかであることを意味する。

カントール集合はフラクタルの原型です。カントール集合は自己相似です。なぜなら、各コピーを 3 倍に縮小して平行移動した場合、それ自体の 2 つのコピーに等しいからです。より正確には、カントール集合は、それ自体の左および右の自己相似変換と の 2 つの関数の和集合に等しく、これにより、カントール集合は同相写像まで不変になります。${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

と の反復は、無限二分木として視覚化できます。つまり、木の各ノードで、左または右のサブツリーを検討できます。セットを関数合成と組み合わせると、モノイド、つまり二項モノイドが形成されます。 ${\displaystyle T_{L}}$${\displaystyle T_{R}}$${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$

二分木の自己同型はその双曲回転であり、モジュラー群によって与えられます。したがって、カントール集合 は、カントール集合 内の任意の 2 点と に対して、との同相写像が存在するという意味で同次空間です。 の明示的な構成は、カントール集合を​​離散空間 の可算な数の複製の積空間と見なすと、より簡単に記述できます。この場合、によって定義される写像は、 と を交換する 反転同相写像です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h(x)=y}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

スケーリングと自己相似性の背後には、何らかの形の保存則が常に存在していることがわかっています。カントール集合の場合、構築プロセスのどの段階でも生き残ったすべての区間の番目のモーメント（ここではフラクタル次元）は定数に等しく、カントール集合の場合は 1 になります。^{[13] [14]}システムの構築の 番目のステップで、サイズ の区間 が存在することがわかっています。次に、生き残った区間を とラベル付けすると、以来、番目のモーメントは になります。 ${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}$${\displaystyle N=2^{n}}$${\displaystyle 1/3^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}$${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$

カントール集合のハウスドルフ次元はln(2)/ln(3) ≈ 0.631に 等しい。

「その」カントール集合は、通常、上で説明した元の中間の 3 分の 1 のカントール集合を​​指しますが、位相学者は、それに同相(位相的に同等) な任意の位相空間を意味する「ある」カントール集合について話すことがよくあります。

上記の総和の議論が示すように、カントール集合は無数ですが、ルベーグ測度は0 です。カントール集合は開集合の和集合の補集合であるため、それ自体は実数の閉じた部分集合であり、したがって完全な計量空間です。また、完全に有界であるため、ハイン・ボレルの定理によれば、コンパクトでなければなりません。

カントール集合内の任意の点とその点の任意の小さい近傍には、0 と 2 のみの 3 進数を持つ他の数と、3 進数に 1 を含む数があります。したがって、カントール集合内のすべての点はカントール集合の集積点(クラスター点または極限点とも呼ばれる) ですが、内点となる点はありません。すべての点が集積点である閉集合は、位相幾何学では完全集合とも呼ばれ、一方、内点を持たない区間の閉部分集合は、区間内のどこにも稠密ではありません。

カントール集合のあらゆる点は、カントール集合の補集合の集積点でもある。

カントール集合の任意の 2 つの点には、異なる 3 進数の数字が存在します。つまり、一方は 0 でもう一方は 2 です。この数字の値に応じてカントール集合を​​「半分」に分割すると、カントール集合が、元の 2 つの点を分離する 2 つの閉集合に分割されます。カントール集合の相対位相では、点は閉開集合によって分離されています。その結果、カントール集合は完全に分離されています。コンパクトな完全に分離したハウスドルフ空間であるカントール集合は、ストーン空間の例です。

位相空間として、カントール集合は、各コピーが離散位相を持つ空間の可算個数のコピーの積に自然に同相である。これは、2桁の数字の すべてのシーケンスの空間である。${\displaystyle \{0,1\}}$

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

これは、 2進整数の集合と同一視することもできます。積位相の開集合の基底は円筒集合です。同相写像は、これらを、カントール集合が実数直線上の自然位相から継承する部分空間位相に写します。カントール空間をコンパクト空間の積として特徴付けることにより、ティコノフの定理を介して、カントール空間がコンパクトであることの2番目の証明が得られます。

上記の特徴から、カントール集合はp進整数に同相であり、そこから 1 点を削除するとp進数に同相です。

カントール集合は実数の部分集合であり、実数は通常の距離計量に関する計量空間です。したがって、同じ計量を使用することで、カントール集合自体も計量空間になります。あるいは、 に対して p 進計量を使用することもできます。2つのシーケンス が与えられた場合、それらの間の距離は です。ここで、 はとなる最小のインデックスです。そのようなインデックスが存在しない場合は、2 つのシーケンスは同じであり、距離は 0 と定義されます。これら 2 つの計量は、カントール集合上に同じトポロジを生成します。 ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$

上で、カントール集合は完全に分離した完全コンパクト距離空間であることを説明しました。確かに、ある意味では、カントール集合は唯一の距離空間です。つまり、空でない完全に分離した完全コンパクト距離空間はすべて、カントール集合に同相です。カントール集合に同相な空間の詳細については、カントール空間を参照してください。

カントール集合は、コンパクト距離空間のカテゴリでは「普遍的」であると見なされることがある。これは、任意のコンパクト距離空間がカントール集合の連続像であるためである。しかし、この構成は一意ではないため、カントール集合は厳密なカテゴリの意味で普遍的ではない。「普遍的」な性質は関数解析において重要な応用があり、コンパクト距離空間の表現定理として知られることもある。^[15]

任意の整数 q ≥ 2に対して、群G = Z _q ^ω (可算直和)上の位相は離散的です。ポントリャギン双対Γ もZ _q ^{ωですが、Γ の位相はコンパクトです。Γ は完全に分離されており、完全であることがわかります。したがって、カントール集合に同相です}。q = 2の場合に同相を明示的に記述するのが最も簡単です。(Rudin 1962 p 40 を参照)

カントール集合は、 2 値列のコンパクトな群と見なすことができ、そのため、自然なハール測度が備わっている。集合の測度が 1 になるように正規化すると、コイン投げの無限列のモデルになる。さらに、区間 上の通常のルベーグ測度はカントール集合上のハール測度の像であり、3 値集合への自然な注入は特異測度の標準的な例であることが示される。ハール測度は任意の確率の像であることも示され、カントール集合はいくつかの点で普遍的な確率空間になる。

ルベーグ測度論では、カントール集合は、非可算かつ測度がゼロである集合の例である。^[16]対照的に、この集合はlog 2 / log 3の次元でハウスドルフ測度が1である。 ^[17]

カントール数をカントール集合の要素として定義すると、^[18]

1. [0, 2] 内のあらゆる実数は 2 つのカントール数の和です。
2. 任意の 2 つのカントール数の間には、カントール数ではない数が存在します。

カントール集合は、[0,1] のサブセットとして (ただし、それ自体のサブセットとしてではなく、ベール空間である)貧弱集合(または第 1 カテゴリの集合) です。したがって、カントール集合は、濃度、測度、(ベール) カテゴリの観点から見た「サイズ」の概念が一致する必要がないことを示しています。集合 と同様に、カントール集合は、ヌル集合 (測度がゼロの集合) であり、[0,1] の貧弱なサブセットであるという意味で「小さい」ものです。ただし、可算で「小さい」濃度を持つ とは異なり、の濃度は連続体 である [0,1] の濃度と同じであり、濃度の意味で「大きい」ものです。実際、[0,1] の希薄だが正の測度を持つ部分集合と、希薄ではないが測度が 0 の部分集合を構成することもできます。^[19] 「太い」カントール測度集合 の可算和集合 (構成については下記のスミス–ヴォルテラ–カントール集合を​​参照) をとると、正の測度 (1 に等しい) を持つが [0,1] では希薄である集合が得られます。これは、各集合がどこにも稠密ではないためです。次に、集合 について考えます。は希薄ではあり得ないためですが、 は測度が 0 であるため、必ず測度が 0 になります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$

カントール集合のように各ピースの中央の3分の1を繰り返し削除する代わりに、中央から他の固定パーセンテージ（0%と100%以外）を削除し続けることもできます。中央が⁠8/10⁠区間の⁠が除去されると、驚くほどアクセスしやすいケースが得られます。つまり、セットは 0 と 9 のみからなる小数として表すことができる [0,1] のすべての数で構成されます。各段階で固定パーセンテージが除去されると、 となる任意の について剰余の長さが となるため、極限セットの測度は 0 になります。 ${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<f\leq 1}$

一方、各反復でセグメントの中央から小さな部分を削除することで、正の測度の「太ったカントール集合」を生成できます。したがって、カントール集合に同相で、どこにも稠密ではないものの正のルベーグ測度を持つ集合を構築できます。長さ( )の区間がn回目の反復で各セグメントの中央から削除された場合、削除される合計の長さは になり、極限集合のルベーグ測度は になります。したがって、ある意味では、中央 3 分の 1 のカントール集合は の極限ケースです。 の場合、残りの部分は で正の測度を持ちます。このケースはスミス・ヴォルテラ・カントール集合として知られ、ルベーグ測度は です。 ${\displaystyle r^{n}}$${\displaystyle r\leq 1/3}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$${\displaystyle r=1/3}$${\displaystyle 0<r<1/3}$${\displaystyle 0<\lambda <1}$${\displaystyle r=1/4}$${\displaystyle 1/2}$

カントール集合の構成は、均等に分割するのではなくランダムに分割することで変更できます。また、時間を組み込むために、すべての利用可能な間隔を分割するのではなく、各ステップで利用可能な間隔の1つだけを分割することもできます。確率的三項カントール集合の場合、結果として得られるプロセスは次の速度方程式で説明できます^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2\int _{x}^{\infty }(y-x)c(y,t)\,dy,}$

確率的二項カントール集合^[21]

${\displaystyle {{\partial c(x,t)} \over {\partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)\int _{x}^{\infty }c(y,t)\,dy,}$

ここで、 は、 と の間の大きさの区間の数です。3 項カントール集合の場合、フラクタル次元は で、これは決定論的に対応する よりも小さくなります。確率的 2 項カントール集合の場合、フラクタル次元は で、これも決定論的に対応する よりも小さくなります。確率的 2 項カントール集合の場合、 の解は動的スケーリングを示し、長時間極限での解は になります。ここで、確率的 2項カントール集合のフラクタル次元はです。いずれの場合でも、3 項カントール集合と同様に、確率的 3 項および 2 項カントール集合の 番目のモーメント ( ) も保存量です。${\displaystyle c(x,t)dx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$${\displaystyle 0.5616}$${\displaystyle 0.6309}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ln(1+p)/\ln 2}$${\displaystyle c(x,t)}$${\displaystyle t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}}$${\displaystyle d_{f}=p}$${\displaystyle d_{f}}$${\textstyle \int x^{d_{f}}c(x,t)\,dx={\text{constant}}}$

カントールダストはカントール集合の多次元版である。カントール集合とそれ自身との有限直積をとることで形成され、カントール空間となる。カントール集合と同様に、カントールダストは測度がゼロである。^[22]

カントール集合の2次元類似物としては、正方形を9つの小さな正方形に分割し、中央の正方形を削除するシェルピンスキーカーペットがあります。残りの正方形もさらに9つに分割され、中央の正方形が削除され、これを無限に繰り返します。 ^[23]これの3次元類似物として、メンガースポンジがあります。

カントールは、今日カントール三元集合と呼ばれるものを「どんなに小さな区間でもどこでも稠密ではない完全な点集合」の例として導入した。 ^{[24] [25]} カントールは三元展開の観点からこれを「次の式で与えられるすべての実数の集合：係数は任意に0と2の2つの値を取り、その級数は有限数または無限数の要素から構成され得る」と説明した。^[24]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots }$${\displaystyle c_{\nu }}$

位相空間が完全であるとは、そのすべての点が極限点であるか、あるいはそれと同値として、位相空間がその導来集合と一致することである。のような実数直線の部分集合は、誘導部分空間位相の下で位相空間として見ることができる。^[7]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

カントルは三角級数の一意性に関する結果によって導来集合の研究に導かれた。^{[25]この結果は}、カントルが抽象的で一般化された無限集合の理論を展開する道筋を決めるのに大いに役立った。

ブノワ・マンデルブロは、カントールダストと自然フラクタルおよび統計物理学との関係について多くの著作を残した。^[9]彼はさらに、数学者や物理学者にとって、このような構造が不可解で動揺させる性質を持っていることについて考察した。『自然のフラクタル幾何学』の中で、彼は「私が1962年にこのテーマに取り組み始めたとき、誰もがカントールダストは少なくともコッホ曲線やペアノ曲線と同じくらい怪物的であると同意していた」と述べ、「自尊心のある物理学者なら誰でも、カントールの話題が出ると自動的に嫌悪感を抱き、科学に興味があると主張する人からはすぐに逃げ出そうとした」と付け加えた。^[9]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• カントール集合の指示関数
• スミス・ヴォルテラ・カンター集合
• カントール関数
• カンターキューブ
• アントワーヌのネックレス
• コッホスノーフレーク
• クナスター・クラトフスキーファン
• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト
• モーザー・デ・ブリュイン数列

  

• 「カントール集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• カンターセットとカンターセットと関数（cut-the-knot）
• プラトンの領域におけるカンターセット