フォン・ノイマン宇宙

集合論および関連する数学の分野において、フォン・ノイマン宇宙、あるいはフォン・ノイマン集合階層は、Vと表記され、遺伝的整集合のクラスである。ツェルメロ・フランケル集合論(ZFC)によって形式化されたこの集合は、 ZFC の公理の解釈や動機付けを提供するためによく使用される。この概念はジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられたが、1930年にエルンスト・ツェルメロによって初めて発表された。

整集合の階数は、集合のすべての要素の階数よりも大きい最小の順序数として帰納的に定義されます。[ 1 ]^特に、空集合の階数は0であり、すべての順序数はそれ自身と等しい階数を持ちます。 V内の集合は、その階数に基づいて累積階層と呼ばれる超限階層V _α に分割されます。

累積階層は、順序数 のクラスによってインデックス付けされた集合V _αのコレクションです。特に、V _{α は、α 未満のランクを持つすべての集合の集合です。したがって、各順序数 α に対して 1 つの集合}V _αが存在します。V _{α は}、次のように 超限再帰によって定義できます。

• V _{0 を}空集合とする。

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• 任意の順序数βに対して、Vβ ₊₁を Vβの冪集合とする_。

  ${\displaystyle V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

• 任意の極限順序数λに対して、 Vλ_をこれまでの すべてのV段階の和集合とします。

  ${\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.}$

この定義に関する重要な事実は、 ZFC の言語には「集合xはV _α内にある」と述べる単一の式 φ(α, x )が存在することです。

集合 V _{α は}ステージまたはランクと呼ばれます。

クラスVは、すべてのVステージの和集合として定義されます。

${\displaystyle V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }.}$

集合Sの階数は、最小の α です。言い換えると、階数が ≤α である集合の集合です。ステージV _{α は}、α が 0、後続順序数、または極限順序数のいずれであっても、階数が α より小さい集合の集合として特徴付けることもできます。 ${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$

${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

これにより、超限再帰によるV _αの同等の定義が得られます。

上記のV _αの定義を集合のランクの定義に代入すると、自己完結的な再帰定義が得られます。

集合の階数は、その集合のすべてのメンバーの階数よりも確実に大きい最小の順序数です。

言い換えると、

${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}}$。

最初の 5 つのフォン ノイマン段階V ₀からV ₄は、次のように視覚化できます。(空のボックスは空の集合を表します。空のボックスのみを含むボックスは、空の集合のみを含む集合を表します。)

このシーケンスは、テトラレーション成長を示します。セットV ₅には 2 ¹⁶ = 65536 個の要素が含まれます。セットV ₆には 2 ⁶⁵⁵³⁶個の要素が含まれますが、これは既知の宇宙の原子の数を大幅に超えています。また、任意の自然数nに対して、セットV _{n +1には、}クヌースの上矢印表記法を使用して2 ⇈ n個の要素が含まれます。したがって、累積階層の有限段階は、段階 5 以降は明示的に記述できません。セットV _{ω は、} ω と同じ濃度を持ちます。セットV _ω+1は、実数のセットと同じ濃度を持ちます。

ω が自然数の集合である場合、V _{ω は}遺伝的に有限な集合の集合であり、これは無限公理のない集合論のモデルである。^{[2] [3]}

V _{ω+ωは「通常の数学」の}宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである（ただし、 ZFのモデルではない）。^[4] V _ω+ω の適切性を支持する単純な議論は、V _ω+1は整数に適切であり、V _{ω+2 は実数に適切であり、他のほとんどの通常の数学は、} V _{ω+ω の}外側に置換公理を必要とせずに、これらの集合からさまざまな種類の関係として構築できるという観察である。

κ が到達不可能な基数である場合、V _{κ は}ツェルメロ-フランケル集合論(ZFC)のモデル自体であり、V _κ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。^{[5] [6]}（すべての ZFC モデルは ZF モデルでもあり、すべての ZF モデルは Z モデルでもあることに注意。）

V は、2 つの理由から「すべての (素朴な) 集合の集合」ではありません。まず、集合ではないため、各段階V _αは集合ですが、それらの和集合Vは適切なクラスです。次に、 Vに含まれる集合は、整集合のみです。基礎(または正則性) 公理は、すべての集合が整集合であり、したがってVに含まれることを要求します。したがって、ZFC ではすべての集合がVに含まれることになります。ただし、他の公理システムでは、基礎公理を省略したり、強い否定で置き換えたりする場合があります (例として、Aczel の反基礎公理があります)。これらの非整集合論は一般的には使用されませんが、研究することは可能です。

「すべての集合の集合」という解釈に対する3番目の反論は、すべての集合が必ずしも「純粋集合」であるわけではないということである。純粋集合は、羃集合と和集合を使って空集合から構成される。ツェルメロは1908年に純粋要素を含めることを提案し、1930年に超限再帰階層を構築した。 ^{[7]このような純粋要素は}モデル理論、特にフランケル・モストフスキー・モデルで広く使用されている。^[8]

フォン・ノイマン宇宙は次の 2 つの特性を満たします。

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$すべてのセット について。${\displaystyle x\in V}$
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$すべてのサブセット に対して。${\displaystyle x\subseteq V}$

確かに、の場合には、何らかの順序数 に対してが成り立ちます。任意のステージは推移集合であるため、任意の はすでに であり、したがって の任意の部分集合はのサブセットです。したがって、および です。部分集合の和集合について、 の場合には、任意の に対して、となる最小の順序数を とします。仮定により は集合であるため、極限 を形成することができます。ステージは累積的であるため、ここでも任意のです。すると任意の も であり、したがっておよび です。 ${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle x\in V_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle y\in V_{\alpha}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V_{\alpha}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$${\displaystyle x\subseteq V}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle \beta_{y}}$${\displaystyle y\in V_{\beta _{y}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$${\displaystyle y\in x}$${\displaystyle y\in V_{\alpha}}$${\displaystyle z\in y}$${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha}}$${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$

ヒルベルトのパラドックスは、上記の性質を持つ集合は存在しないということを意味している。^[9]が集合であると 仮定する。すると はそれ自身の部分集合となり、に属し、 も属する。しかしより一般的には、であれば となる。したがって となり、これは 自体のような ZFC のモデルでは不可能である。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U=\cup V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$${\displaystyle A\in B}$${\displaystyle A\subseteq \cup B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$${\displaystyle V}$

興味深いことに、は のサブセットである場合、かつが の要素である場合に限ります。したがって、和集合条件を に置き換えた場合に何が起こるかを検討することができます。この場合、既知の矛盾はなく、任意のGrothendieck 宇宙は新しいプロパティのペアを満たします。ただし、Grothendieck 宇宙が存在するかどうかは、ZFC を超えた問題です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x\in V\implies \cup x\in V}$

式V = ⋃ _α V _αは定義ではなく定理であるとみなされることが多い。^{[10] [11]}ロイトマンは（参考文献なしで）正則性公理が ZF 集合の宇宙と累積階層の等式と同等であるという認識はフォン・ノイマンによるものだと述べている。^[12]

クラスV は数学の大部分の舞台であると考えられるため、ある意味でそれが「存在する」ことを証明することは重要である。存在は難しい概念であるため、通常、存在の問題は一貫性の問題、つまり概念に矛盾がないかどうかの問題に置き換えられる。大きな障害はゲーデルの不完全性定理によってもたらされ、これは、ZF 集合論が実際に一貫しているとしても、ZF 集合論自体で ZF 集合論の一貫性を証明することは事実上不可能であることを示唆している。^[13]

フォン・ノイマン宇宙の完全性は、構成において階数パラメータとして働く順序数の完全性と、順序数とフォン・ノイマン宇宙の両方を構成する超限帰納法の完全性に根本的に依存する。順序数構成の完全性はフォン・ノイマンの1923年と1928年の論文に基づいていると言える。^{[14]超限帰納法による}Vの構成の完全性は、ツェルメロの1930年の論文で確立されたと言える。^[7]

累積型階層はフォン・ノイマン宇宙としても知られ、グレゴリー・H・ムーア（1982）はフォン・ノイマンに誤って帰属していると主張している。^[15]フォン・ノイマン宇宙の最初の出版は1930年にエルンスト・ツェルメロによって行われた。 ^[7]

集合の一般的な超限再帰的定義の存在と一意性は、1928年にフォン・ノイマンによってツェルメロ-フランケル集合論^[16]とフォン・ノイマン自身の集合論（後にNBG集合論に発展した）^[17]の両方で実証された。どちらの論文でも、彼はすべての集合の宇宙を構築するために超限再帰的方法を適用しなかった。ベルナイス^[10]とメンデルソン^[11]によるフォン・ノイマン宇宙の発表はどちらも、超限帰納法の構築法についてはフォン・ノイマンに功績があるとしているが、通常の集合の宇宙の構築への適用についてはそうではない。

V という表記はフォン・ノイマンにちなんで付けられたものではない。1889 年にペアノが集合の宇宙を表すために使用したもので、文字V は「Verum」を意味し、ペアノはこれを論理記号としても、すべての個体のクラスを表すためにも使用した。^[18]ペアノのVという表記は、 1910 年にホワイトヘッドとラッセルもすべての集合のクラスを表すために採用した。^[19]フォン・ノイマンは、1920 年代の順序数と超限帰納法に関する論文では V 表記 (すべての集合のクラスを表す) を使用しなかった。ポール・コーエン[ ^20]は、文字 V (すべての集合のクラスを表す) の使用をゲーデルの 1940 年の論文に明示的に帰しているが[21]、ゲーデル^はホワイトヘッドやラッセルなどの以前の情報源からこの表記法を得た可能性が高い。^[19]

フォン ノイマン宇宙 V と ZFC の関係を理解するには 2 つのアプローチがあります (各アプローチには多くのバリエーションがあり、アプローチ間の差異もあります)。大まかに言えば、形式主義者は V を ZFC 公理から派生したものと見なす傾向があります (たとえば、ZFC はすべての集合が V に含まれることを証明します)。一方、現実主義者はフォン ノイマン階層を直観に直接アクセスできるものと見なし、ZFC の公理を、V におけるその真偽について自然言語で直接直観的な議論をすることができる命題と見なす傾向があります。中間の立場として考えられるのは、フォン ノイマン階層の心象が ZFC 公理に動機を与える (したがって、公理は恣意的ではない) が、必ずしも実在するオブジェクトを記述するわけではないというものです。

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