基数

集合Xから集合*Yへの*全単射関数f : X → Yは、これらの集合が同じ濃度（この場合は濃度 4）を持つことを示している。

数学において、基数（または略して基数）とは、集合の濃度、つまり集合に含まれる要素の数を測る数の一種です。集合に関連付けられた基数は、 $A$ は一般的にで表されます $\vert A\vert$ ⁠、両側に縦棒が付いているが、 ^{[ 1 ]}また、次のように表記されることもある。 $A$ 、 $\operatorname {カード} (A)$ または $\#A.$ ^{[ 8 ]}

濃度は全単射関数によって定義されます。2つの集合の濃度が同じであるのは、 2つの集合の要素間に 1対1の対応（全単射）が存在する場合に限ります。有限集合の濃度は自然数で表すことができ、これは要素を数えるだけで簡単に求められます。例えば、集合⁠ $\{1,2,3\}$ そして $\{4,5,6\}$ 両関数は、全単射によって証明されるように、同じ濃度3を持つ。 $\{1\マップ 4,2\マップ 5,3\マップ 6\}$ ⁠ .

無限集合の濃度の挙動はより複雑です。例えば、すべての自然数の集合と無限集合の間には全単射が存在します。 $\mathbb {N}$ そして、すべての有理数の集合 $\mathbb {Q}$ ⁠、したがって⁠ $\vert \mathbb {N} \vert =\vert \mathbb {Q} \vert$ たとえ $\mathbb {N}$ はの真部分集合である $\mathbb {Q}$ ⁠ —これは有限集合の真部分集合では起こり得ないことです。しかし、ゲオルク・カントールによる基本定理によれば、2つの無限集合が異なる濃度を持つことが可能であり、特に実数集合の濃度は異なります。 $\mathbb {R}$ はの濃度よりも大きい $\mathbb {N}$ ⁠ .

の濃度 $\mathbb {N}$ ⁠は通常⁠で表されます $\displaystyle \aleph _{0}}$ （アレフヌル）は最小のアレフ数であるため、アレフ数です。他のアレフ数や一般に無限基数の性質は、選択公理や連続体仮説など、ツェルメロ・フレンケル集合論とは無関係な命題に依存します。たとえば、すべての無限基数がアレフ数であるのは、選択公理が真である場合のみです。

基数は集合論の一部としてそれ自体が研究される概念である。また、モデル理論、組み合わせ論、抽象代数学、数学解析など、数学の様々な分野で用いられるツールでもある。圏論においては、基数は集合の圏の骨格を形成する。

モチベーション

自然数は、集合の大きさを表す場合と、数列における要素の位置を表す場合の2つの目的で使用できます。これらの概念は、無限集合や無限数列に一般化すると分岐し、位置を表す場合は順序数、大きさを表す場合は基数となります。

集合のサイズを検討する際には、個々の要素の同一性は抽象化されるべきである。個々の要素が互いに区別される限り、これらの要素を変更しても集合のサイズには影響しないはずである。^{[ 9 ]}例えば、集合⁠ $\{1,2,3\}$ ⁠には 3 つの要素があるので、マッピングに従ってそのメンバーを置き換えると、 $\{1\マップ 4,2\マップ 5,3\マップ 6\}$ 結果として得られる集合 $\{4,5,6\}$ ⁠には 3 つの要素があります。さらに 2 つの集合⁠を仮定することは妥当です $X$ そして $Y$ 同じサイズであるのは、そのような写像（全単射）がから存在する場合に限る。 $X$ ⁠から⁠ $Y$ これはまさに、基数という形式的な概念が定義される方法である。

濃度の同一性は同値関係です。これは、等価性、等量性、等数性とも呼ばれます。したがって、濃度が同じ2つの集合は、それぞれ等価、等量性、等数性であると言われます。等数性に基づく集合の同値類は、それぞれ基数に対応します。

有限集合の場合、このように定義された基数は、要素の数（自然数として）という直感的な概念と一致しますが、無限集合はより複雑な振る舞いを示します。古典的な例として、ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスがあり、これは次のマッピングを使用します。

1 ↦ 2

2 ↦ 3

3 ↦ 4

...

n ↦ n + 1

...

これは集合間の全単射である。 $\{1,2,3,...\}$ そして $\{2,3,4,...\}$ したがって、それらは同じ濃度を持つ。 $\displaystyle \aleph _{0}}$ ⁠、2 番目は最初の真部分集合であるにもかかわらず。したがって、の真部分集合のサイズは⁠ $X$ は常にのサイズより厳密に小さい $X$ ⁠は通常、^有限^集合に対してのみ有効です。逆に、これは ⁠ も示してい^ます。 $\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}}$ （濃度） $\{2,3,4,...\}$ ⁠さらに、の濃度 $\{1\}$ ⁠は⁠の濃度に等しい $\{1,2,3,...\}$ そのため、「プラス 1」演算は、自然数の場合のように常に新しい基数を生成するとは限りません。

しかし、カントールの対角線論法によれば、冪集合演算は常に厳密により大きな濃度をもたらし、任意の無限基数からより大きな基数を構成できることが示されています。例えば、実数集合の濃度はに等しいことが示されます。 $2^{\aleph _{0}}$ したがって、実数は自然数よりも厳密に多い。

基数関数

基数関数は、集合を入力として受け取る基数関数です。 $A$ そしてその基数を返します。 $A\mapsto \vert A\vert$ しかしながら、「基数」を形式的に定義することは、特に無限集合の場合、やや困難である。そのため、基数は通常、形式的な定義ではなく、算術的／代数的な性質という観点から非物質的に考えられている。^{[ 10 ]}基数関数の唯一の基本的な要件は、 $A\mapsto |A|$ は：^{[ 11 ]} $A\sim B\iff |A|=|B|.$ この要件を満たす何らかの関数が存在するという仮定は、基数公理^{[ 12 ]}またはヒュームの原理^{[ 13 ]}と呼ばれることがある。このような関数は、公理的に定義する必要なく構築できることが後ほど示される。

別の方法として、基数に対する等式関係を定義する方法がある。 $=_{c}$ ⁠これは集合の等式関係とは異なる場合があり、 ⁠ $=_{c}$ 基数理論を発展させる。具体的には、モスコヴァキスは（弱い）基数割り当てを操作として定義する。 $A\mapsto \vert A\vert$ ⁠満たす⁠ $A\sim \vert A\vert$ （動機としては、 $A$ 抽象的なオブジェクトで表現されるべきである $\vert A\vert$ ⁠それは等数です $A$ ⁠ ).^{[ b ]}関係⁠ $=_{c}$ ⁠は等数関係と同じである $\sim$ ⁠集合間。基数割り当てが⁠も満たす $A\sim B\iff \vert A\vert =\vert B\vert$ ⁠、そうであれば、それは強力な基数割り当てである。^{[ 14 ]}

構成的定義

フォン・ノイマン枢機卿の任務

最も一般的に使用される（強い）基数割り当ては、選択公理に基づくフォン・ノイマン基数割り当てであり、これは集合の濃度を表す。 $X$ 最小順序数（フォン・ノイマン表現） $\alpha$ ⁠との間に全単射が存在する $X$ そして $\alpha$ ⁠ . この序数⁠ $\alpha$ は基数の最初の序数としても知られています。 $\vert X\vert$ ⁠ .

いつ $X$ は有限集合であり、のすべての可能な整列はです。 $X$ 有限順序数はすべて同じ順序タイプを持ちます。逆に、すべての有限順序数は異なる濃度を持ち、したがってすべての有限順序数は初期順序数です。それぞれのフォン・ノイマン表現の下では、有限順序数と有限基数はどちらもフォン・ノイマン自然数と同一視され、基数演算と順序数演算（加算、乗算、べき乗、適切な減算）は有限数に対して同じ答えを与えます。

一方、多くの異なる無限順序数は同じ濃度を持つことができる。例えば、最初の無限順序数⁠ $\omega$ ⁠ は⁠と同じカーディナリティを持つ $\omega +1$ ⁠、 ⁠ $\displaystyle \omega ^{2}}$ ⁠、 ⁠ $\omega ^{\omega }$ ⁠、 $\displaystyle \epsilon _{0}}$ …、これらはすべて可算順序数である。これらのうち、 $\omega$ それ自体が序数です。

の $\alpha$ - 番目の無限序数は次のように書かれます $\omega _{\alpha }$ その濃度は次のように表記されます。 $\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ （ $\alpha$ -番目のアレフ番号）。例：⁠ $\omega$ ⁠は次のようにも表記されます。 $\displaystyle \omega _{0}}$ ⁠、そしてその濃度（任意の可算集合の濃度）は⁠ $\displaystyle \aleph _{0}}$ フォン・ノイマン基数割り当ては、 $\omega _{\alpha }$ と $\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ しかし表記法 $\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ は基数を書くのに使用され、 $\omega _{\alpha }$ 序数を記述する場合。これは、基数に対する算術と序数に対する算術が異なるため重要です。たとえば、 $2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}$ 順序算術では $\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}$ 基数算術では、フォン・ノイマン基数割り当ての下では $\displaystyle \aleph _{0}}$ そして $\omega$ これらは同じ集合で表されます。

また、 $\displaystyle \omega _{1}}$ は最小の非可算順序数です（それが存在することを確認するには、自然数の整列順序の同値類の集合を考えます。そのような整列順序はそれぞれ可算順序数を定義します。 $\displaystyle \omega _{1}}$ （これはそのセットの順序タイプです） $\displaystyle \omega _{2}}$ は、濃度がより大きい最小の順序数です。 $\displaystyle \aleph _{1}}$ などなど、 $\omega _{\omega }$ 限界は $\displaystyle \omega _{n}}$ 自然数の場合 $n$ （基数の任意の極限は基数なので、この極限は確かにすべての後の最初の基数です） $\displaystyle \omega _{n}}$ )

無限初期順序数は極限順序数です。順序数演算を使用すると、 $\alpha <\omega _{\beta }$ 暗示する $\alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }$ 、1 ≤ α < ω _βはα ·ω _β = ω _βを意味し、2 ≤ α < ω _βはα ^{ω _β} = ω _βを意味します。ヴェブレン階層を使用すると、β ≠ 0 およびα < ω _βが意味します。 $\varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,$ そしてΓ _{ω _β} = ω _β。実際、これを超えることも可能です。したがって、順序数として、無限初期順序数は非常に強力な極限の一種です。

スコット・カーディナルズ

選択公理を仮定しない場合は、別のアプローチが必要です。集合Xの濃度の最も古い明示的な定義(フレーゲとプリンキピア・マテマティカ) は、 Xと同数のすべての集合のクラス [ X ] です。これはZFCやその他の関連する公理的集合論のシステムでは機能しません。なぜなら、 Xが空でない場合、この集合は集合としては大きすぎるからです。実際、X ≠ ∅ の場合、集合mを { m } × Xに写像することによって、宇宙から [ X ]への挿入が存在するため、サイズの制限公理により、[ X ] は適切なクラスになります。ただし、この定義は型理論やNew Foundationsおよび関連するシステムでは機能します。しかし、このクラスをXと同数でランクが最小のものに制限すると、機能します (これはDana Scottによるトリックです。^[¹⁵^]任意のランクを持つオブジェクトの集合が集合であるため機能します)。

一部の資料では、フォン・ノイマン基数とスコット基数の定義を混在させている。例えば、レヴィ^{[ 16 ]}は次のように定義している。 $\vert X\vert$ フォン・ノイマン枢機卿として、 $X$ は整列可能であり、それ以外の場合はスコット基数と同様である。^{[ c ]}この慣例は、整列基数を研究するためのフォン・ノイマン表現によって提供される利便性を保持しており、選択公理が仮定されていない場合でも、基数研究の重要な部分を占めている。

基数比較

形式的には、基数間の順序は次のように定義されます。| X | ≤ | Y | は、 XからYへの単射関数が存在することを意味します。カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理は、| X | ≤ | Y | かつ| Y | ≤ | X | ならば | X | = | Y | であると述べています。選択公理は、2 つの集合XとYが与えられたとき、| X | ≤ | Y | または | Y | ≤ | X | のいずれかであるという記述と同等です。^[¹⁷^]^[¹⁸^]

集合X は、 | X | = | Y |を満たすXの真部分集合Yが存在する場合、デデキント無限と呼ばれ、そのような部分集合が存在しない場合はデデキント有限と呼ばれます。有限基数は、定義により、集合Xが有限であるのは、| X | = | n | = nとなる場合のみであるという意味で、自然数です。それ以外の集合は無限です。任意のデデキント無限集合は無限であることが、選択公理を用いずに証明できます。選択公理を仮定すると、デデキントの概念が標準的な概念に対応することが証明できます。

アレフの数字

アレフ数は、整列可能な無限集合の濃度を表す。ヘブライ文字で表される。 $\aleph$ （アレフ）は、アレフ数の中での順位を示す添え字でマークされます。アレフ数はその最初の順序数で識別できるため、超限数列を形成します。 $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |,\;\aleph _{1},\;\aleph _{2},\;\ldots ,\;\aleph _{\alpha },\;\ldots .$ すべての序数に対して $\alpha$ ⁠、アレフ数が存在する $\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ 選択公理が真であれば、すべての集合は整列可能であり（整列定理により）、したがってすべての無限基数はアレフ数である。つまり、この超限数列は実際にはすべての無限基数のリストである。

選択公理が真でない場合（選択公理§ 独立性を参照）、整列できない集合が存在し、したがってアレフ数ではない無限基数が存在する。ハルトッグスの定理により、そのような基数は何らかのアレフ数と比較不可能でなければならないため、この場合、すべての基数を全順序列で記述することは不可能である。

基数算術

基数に対する算術演算を定義することで、自然数に対する通常の演算を一般化することができる。有限基数の場合、これらの演算は自然数に対する通常の演算と一致することが示される。さらに、これらの演算は通常の算術演算と多くの性質を共有している。

後継枢機卿

選択公理が成り立つ場合、すべての基数κには後継基数κ ⁺が存在し、κ ⁺ > κであり、 κと後継基数の間には基数は存在しない。（選択公理がない場合、ハルトッグスの定理を用いると、任意の基数κに対して、最小基数κ ⁺が存在し、 $\kappa ^{+}\nleq \kappa .$ ) 有限基数の場合、後継数は単純にκ + 1 です。無限基数の場合、後継基数は後継順序数とは異なります。

カーディナル追加

XとYが互いに素な場合、加算はXとYの和集合によって表されます。2つの集合が既に互いに素でない場合は、同じ濃度の互いに素な集合に置き換えることができます（例えば、XをX ×{0}に、 YをY ×{1}に置き換えます）。

|X|+|Y|=|X\cup Y|.

^{[ 19 ]}

ゼロは加法単位κ + 0 = 0 + κ = κです。

加算は結合( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ) です。

加算は可換ですκ + μ = μ + κ。

加算は両方の引数に関して非減少である。

(\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ および }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu ).

選択公理を仮定すると、無限基数の加算は容易である。κまたはμのいずれかが無限である場合、

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

引き算

選択公理を仮定し、無限基数σと基数μが与えられたとき、 μ ≤ σの場合に限りμ + κ = σとなる基数κが存在する。μ < σの場合に限り、 κは一意であり ( σと等しい) なる。

基数乗算

基数の積は、デカルト積から得られる。

|X|\cdot |Y|=|X\times Y|

^{[ 19 ]}

ゼロは乗法吸収要素です: κ ·0 = 0 · κ = 0。

自明でないゼロ除数はありません: κ · μ = 0 → ( κ = 0 またはμ = 0)。

1 つは乗法恒等式です: κ ·1 = 1 · κ = κ。

乗算は結合的です: ( κ · μ ) · ν = κ ·( μ · ν )。

乗算は可換です: κ · μ = μ · κ。

乗算は両方の引数で非減少です: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · νおよびν · κ ≤ ν · μ )。

乗算は加算に分配されます: κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · νおよび ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ。

選択公理を仮定すると、無限基数の乗算も容易です。κ またはμのいずれかが無限であり、両方がゼロでない場合、

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.

したがって、2つの無限基数の積は、それらの和に等しい。

分割

選択公理を仮定し、無限基数πと非ゼロ基数μが与えられたとき、 μ ≤ πの場合に限りμ · κ = πとなる基数κが存在する。μ < πの場合に限り、 κ は一意に定まり（ πと等しい）。

基数指数

指数は次のように表されます。

|X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,

ここで、X ^YはYからXへのすべての関数の集合である。^[¹⁹^]右辺はのみに依存することが簡単に確認できる。 ${|X|}$ そして ${|Y|}$ 。

κ ⁰ = 1 (特に 0 ⁰ = 1)、空の関数を参照。

μ ≥ 1の場合、0 ^μ = 0 となります。

1μ = 1 ^。

κ ¹ = κ。

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν。

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν。

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν。

指数関数は、どちらの引数に関しても減少しない。

(1 ≤ νおよびκ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) および

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν )。

2 ^{| X |}は集合Xの冪集合の濃度であり、カントールの対角線論法によれば、任意の集合Xに対して 2 ^|^X^| > | X | が成り立つ。これは、最大の濃度が存在しないことを証明する（任意の濃度κに対して、常にそれよりも大きい濃度 2 ^κを見つけることができるため）。実際、濃度のクラスは真のクラスである。（この証明は、特に新基礎論などの一部の集合論では成り立たない。）

この節の残りの命題はすべて、選択公理を前提としている。

κとμ が両方とも有限で 1 より大きく、νが無限である場合、 κ ^ν = μ ^νとなります。

κが無限で、μが有限で非ゼロの場合、 κ ^μ = κとなります。

2 ≤ κかつ 1 ≤ μであり、少なくとも一方が無限大である場合、次のことが成り立つ。

最大 ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ 最大 (2 ^κ , 2 ^μ )。

ケーニッヒの定理を使用すると、任意の無限基数κに対してκ < κ ^{cf( κ )}およびκ < cf(2 ^κ )を証明できます。ここで、 cf( κ ) はκの共終点です。

ルーツ

選択公理を仮定し、無限基数κと0より大きい有限基数μが与えられたとき、基数νは $\nu ^{\mu }=\kappa$ になるだろう $\kappa$ 。

対数

選択公理を仮定し、無限基数κと1より大きい有限基数μが与えられた場合、を満たす基数λが存在する場合もあれば存在しない場合もある。 $\mu ^{\lambda }=\kappa$ しかし、そのような基数が存在する場合、それは無限でありκより小さく、1より大きい任意の有限基数νもそれを満たす。 $\nu ^{\lambda }=\kappa$ 。

無限基数κの対数は、 κ ≤ 2μ^となる最小の基数μとして定義されます。無限基数の対数は、例えば位相空間の基数不変量の研究など、数学のいくつかの分野で有用ですが、正の実数の対数が持つ性質の一部は欠けています。^[²⁰^]^[²¹^]^[²²^]

連続体仮説

連続体仮説（CH）は、厳密には間に基数は存在しないと述べている。 $\displaystyle \aleph _{0}}$ そして $2^{\aleph _{0}}.$ 後者の基数は、しばしば次のように表される。 ${\mathfrak {c}}$ ;これは連続体（実数の集合）の濃度です。この場合 $\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

同様に、一般化連続体仮説（GCH）は、すべての無限基数に対して $\kappa$ 厳密には基数は存在しない $\kappa$ そして $2κ$ 連続体仮説と一般化連続体仮説は、集合論の通常の公理、ツェルメロ・フレンケル公理と選択公理（ZFC）とは独立していることが証明されている。

実際、イーストンの定理は、正則基数に対して $\kappa$ ZFC がカーディナリティに課す唯一の制限は、 $2κ$ それは $\kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })$ そして、指数関数は単調増加ではない。

歴史

現在理解されている濃度の概念は、集合論の創始者であるゲオルク・カントールによって1874年から1884年にかけて定式化されました。カントールは、2つの有限集合の間に全単射が存在するのは、それらの要素の数が同じ場合のみであることに着目し、この全単射の概念を無限集合に適用しました^[²³^]（例えば、自然数の集合N = {0, 1, 2, 3, ...}）。このようにして、彼はN個の可算（可算無限）集合と全単射を持つすべての集合を、すべて同じ濃度を共有する集合と呼びました。彼は無限集合の濃度を超限濃度と呼びました。

カントールは、一見直感に反するように見えるかもしれないが、自然数の任意の非有界部分集合は自然数と同じ濃度を持つことを証明した。また、自然数の順序対の集合は可算集合であることを証明した。これは、すべての有理数は整数のペアで表せるため、すべての有理数の集合も可算集合であることを意味する。さらに彼は、すべての実代数的数の集合も可算集合であることを証明した。各実代数的数z は、それが解となる多項式方程式の係数である整数の有限列として符号化できます。つまり、順序付きnタプル ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n )、a _i ∈ Zと、 zが係数( a ₀ , a ₁ , ..., a _n )を持つ多項式の唯一の根 (存在する場合)であり、その根が区間 ( b 0 , b 1 ) に含まれるような有理数の_ペア( b ₀, _b 1 )_です。

カントールは1874年の論文「すべての実代数的数の集合の性質について」の中で、実数の集合の濃度が自然数Nよりも大きいことを示すことで、より高次の基数が存在することを証明した。彼の証明は入れ子になった区間を用いた議論であったが、1891年の論文では、独創的でより単純な対角線論法を用いて同じ結果を証明した。実数の集合の新しい基数は連続体の濃度と呼ばれ、カントールは記号を用いた。 ${\mathfrak {c}}$ それに対して。

カントールはまた、基数の一般理論の大部分を発展させた。彼は（選択公理を仮定すると）最小の超限基数（ $\displaystyle \aleph _{0}}$ 、アレフヌル）、そしてすべての基数には、それより大きい次の基数が存在する。

(\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).

カントールは1878年に連続体仮説を定式化した。1940年、クルト・ゲーデルは連続体仮説がZFCから反証できないことを示し、1963年にはポール・コーエンがZFCからも証明できないことを示し、その独立性を確立した。

脚注

↑より正確には、この記述はデデキント有限集合に対してのみ有効である。 $X$ ⁠ .
↑モスコバキスの元の定義では、各集合の集合について、 ${\mathcal {E}}$ ⁠、 ⁠ $\{\vert X\vert \mid X\in {\mathcal {E}}\}$ は集合ですが、置換の公理図式を仮定すると、これは自動的に満たされます。
↑明らかに、各基数はこれら 2 つの表現のうちの 1 つだけを使用します。なぜなら、2 つの同数の集合は両方とも整列可能であるか、両方とも整列不可能であるかのどちらかだからです。また、スコット基数⁠なので、混同の可能性もありません。 $\kappa$ は常に空でない集合であり、すべての要素の濃度はです。 $\kappa$ ⁠、そしてすべての非ゼロの序数には⁠が含まれます $\emptyset$ 要素として、スコットの基数で序数でもあるのは 1 つだけです。 $\{\emptyset \}$ これは、0をスコット基数、1を順序数として表すが、空集合は整列可能であるため、レヴィの慣例に従って0はフォン・ノイマン表現を用いるべきである。 $\emptyset$ とにかく。

参考文献

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外部リンク

「基数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

[10] より正確には、この記述はデデキント有限集合に対してのみ有効である。 $X$ ⁠ .

[15] モスコバキスの元の定義では、各集合の集合について、 ${\mathcal {E}}$ ⁠、 ⁠ $\{\vert X\vert \mid X\in {\mathcal {E}}\}$ は集合ですが、置換の公理図式を仮定すると、これは自動的に満たされます。

[19] 明らかに、各基数はこれら 2 つの表現のうちの 1 つだけを使用します。なぜなら、2 つの同数の集合は両方とも整列可能であるか、両方とも整列不可能であるかのどちらかだからです。また、スコット基数⁠なので、混同の可能性もありません。 $\kappa$ は常に空でない集合であり、すべての要素の濃度はです。 $\kappa$ ⁠、そしてすべての非ゼロの序数には⁠が含まれます $\emptyset$ 要素として、スコットの基数で序数でもあるのは 1 つだけです。 $\{\emptyset \}$ これは、0をスコット基数、1を順序数として表すが、空集合は整列可能であるため、レヴィの慣例に従って0はフォン・ノイマン表現を用いるべきである。 $\emptyset$ とにかく。

[1] フルバーチェク&ジェヒ 2017 、p. 65

[FOOTNOTEKuratowski1968174-2] クラトフスキ 1968、p. 174。

[FOOTNOTESuppes1972109-3] サップス 1972、p. 109。

[FOOTNOTEBourbaki1968158-4] ブルバキ 1968、p. 158。

[FOOTNOTEEnderton1977136-5] エンダートン 1977、p.136 。

[FOOTNOTEHalmos199853-6] ハルモス 1998、p. 53。

[FOOTNOTETao202260-7] Tao 2022、p. 60。

[8] $A$ ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} $\operatorname {card} (A)$ ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $\#A$ ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

[9] Weisstein, Eric W. "基数" . mathworld.wolfram.com . 2020年9月6日取得.

[11] クリーネ1952 、p.9

[12] エンダートン 1977 、p.136

[13] ピンター 2014 、第8章2ページ

[14] ポッター、マイケル（2004年1月15日）。集合論とその哲学：批判的入門。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-155643-2。

[FOOTNOTEMoschovakis200642-16] Moschovakis 2006、p. 42。

[17] Deiser, Oliver (2010 年 5 月)「基数概念の発展について」『論理の歴史と哲学』31 (2): 123–143 . doi : 10.1080/01445340903545904 . S2CID 171037224 .

[18] レヴィ、アズリエル(1979).基本集合論. 数理論理学の展望. ベルリン:シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 3-540-08417-7。LCCN 78-1917。

[Enderton-20] エンダートン、ハーバート。「集合論の基礎」、アカデミック・プレス社、1977年。ISBN 0-12-238440-7

[21] フリードリヒ・M・ハートグス(1915)、フェリックス・クライン;ヴァルター・フォン・ダイク;デヴィッド・ヒルベルト;オットー・ブルーメンタール（編）、「世界の問題の解決」、数学。アン。、Ｂｄ． 76 (4)、ライプツィヒ: B. G. Teubner: 438– 443、doi : 10.1007/bf01458215、ISSN 0025-5831、S2CID 121598654、オリジナルから 2016-04-16 にアーカイブされ、2014-02-02 に取得

[:0-22] 1 2 3シンドラー 2014、34ページ

[23] Robert A. McCoy および Ibula Ntantu、「連続関数の空間の位相的性質」、Lecture Notes in Mathematics 1315、 Springer-Verlag。

[24] Eduard Čech、Topological Spaces、Zdenek Frolík と Miroslav Katetov により改訂、John Wiley & Sons、1966 年。

[25] DA Vladimirov、『解析学、数学とその応用におけるブール代数』、Kluwer Academic Publishers。

[26] ドーベン 1990、54ページ

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