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この記事では、集合論のパラドックス について考察します。ほとんどの数学的パラドックスと同様に、それらは現代の公理的集合論における実際の論理的矛盾というよりも、驚くべき、直感に反する数学的結果を明らかにするものです。
ゲオルク・カントールが提唱した集合論は、無限集合の存在を前提としている。この前提は第一原理から証明できないため、自然数の集合Nの存在を主張する無限公理によって公理的集合論に導入された。自然数で列挙できるすべての無限集合はNと同じ大きさ（濃度）を持ち、可算集合と呼ばれる。可算無限集合の例としては、自然数、偶数、素数、そしてすべての有理数、すなわち分数などが挙げられる。これらの集合は共通して濃度| N | =を持つ。（アレフ＝ゼロ）すべての自然数よりも大きい数。
基数は次のように定義できます。2つの集合が同じ大きさであるとは、2つの集合の間に全単射（要素間の1対1対応）が存在することを意味します。すると、基数は定義により、同じ大きさのすべての集合からなるクラスとなります。同じ大きさであることは同値関係であり、基数は同値類です。
集合の大きさを表す濃度に加えて、順序付き集合も集合論の対象となります。選択公理は、すべての集合が整列可能であることを保証します。これは、すべての空でない部分集合がその順序に関して最初の要素を持つような全順序を要素に課すことができることを意味します。整列された集合の順序は、順序数によって表されます。例えば、通常の順序 0 < 1 < 2 を持つ集合 {0, 1, 2} の順序数は 3 です。また、通常の順序で並べられたすべての自然数の集合の順序数は ω です。順序を無視すると、濃度 | N | = |ω| =が残ります。 。
順序数は、基数と同じ方法で定義できます。2つの整列集合が同じ順序型を持つようにするには、 2つの集合の間に順序に関する全単射が存在し、小さい要素が小さい要素に写像されるようにします。すると、定義上、順序数は同じ順序型を持つすべての整列集合からなるクラスになります。同じ順序型を持つことは、整列集合のクラス上の同値関係であり、順序数は同値クラスです。
同じ順序タイプの2つの集合は、同じ濃度を持つ。しかし、無限集合の場合、一般にその逆は成り立たない。自然数の集合に異なる整列順序を課すことが可能であり、それによって異なる順序数が生じる。
順序数には自然な順序関係が存在し、それは整列順序でもあります。任意の順序数 α に対して、α より小さいすべての順序数の集合を考えることができます。この集合は、順序数 α を持ちます。この観察結果を利用して、順序数をそれより小さいすべての順序数の集合と等価とする、順序数の別の導入方法が提案されています。このように、この形式の順序数は、先に述べた同値類の形式を典型的に表したものです。
集合Sのすべての部分集合(その要素のすべての可能な選択) は、冪集合P ( S ) を形成します。ゲオルク・カントールは、冪集合は常に集合よりも大きい、つまり | P ( S )| > | S | であることを証明しました。カントールの定理の特殊なケースとして、すべての実数の集合Rは自然数で列挙できない、つまりRは非可算集合である、つまり | R | > | N | があります。
集合論は、「拡大できないもの」や「際限なく増加するもの」といった曖昧な表現に頼るのではなく、無限集合という用語に定義を与え、「すべての自然数の集合は無限である」といった表現に明確な意味を持たせています。有限集合の場合と同様に、無限集合についても、一方の集合が他方の集合より「大きい」、「小さい」、「同じ大きさ」であるかを一貫して比較できるような定義がさらに用意されています。しかし、有限集合の大きさに関するすべての直感が無限集合の大きさに当てはまるわけではないため、列挙、大きさ、尺度、順序に関して、一見矛盾するような様々な結果が生じます。
集合論が導入される以前は、集合の大きさという概念は問題視されていました。ガリレオ・ガリレイやベルナルド・ボルツァーノなどがこの問題について議論していました。列挙法で測った場合、自然数の数と自然数の平方数は等しいのでしょうか？
この問題は、集合の大きさを濃度で定義することで解決できる。2つの集合の間には全単射が存在するため、定義上、両者の濃度は同じである。
ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスは、列挙のパラドックスをさらに多く示している。
「私はそれを見ていますが、信じられません」とカントールは、正方形の点の集合が、正方形の辺上の点の集合と同じ濃度、つまり連続体の濃度を持つことを証明した後、リヒャルト・デデキントに書き送った。
これは、濃度のみで定義される集合の「大きさ」が、集合を比較する唯一の有用な方法ではないことを示している。測度論は、長さと面積が大きさの尺度として相容れないという私たちの直感に合致する、より繊細な大きさの理論を提供する。
証拠は、カントールが結果自体にかなり自信を持っていたこと、そしてデデキントへの彼のコメントは、むしろその証明の妥当性に関する当時の彼の懸念を指していることを強く示唆している。[ 1 ]それにもかかわらず、カントールの発言は、彼以降の多くの数学者が、これほど直感に反する結果に初めて遭遇したときに経験した驚きを表現するのにも適している。
1904年、エルンスト・ツェルメロは選択公理（この目的のために導入された）を用いて、すべての集合は整列可能であることを証明した。1963年、ポール・J・コーエンは、ツェルメロ＝フレンケル集合論において、選択公理を用いなければ、実数の整列の存在を証明することは不可能であることを示した。
しかし、任意の集合を適切に順序付ける能力によって、逆説的とされる特定の構成が可能になります。その一例が、直感に反すると広く考えられている定理であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスです。この定理は、一定の半径の球を有限個の断片に分解し、それらの断片を通常の平行移動と回転（スケーリングなし）によって移動および再構成することで、元の1つのコピーから2つのコピーを得ることができると述べています。これらの断片の構成には選択公理が必要です。断片は球の単純な領域ではなく、複雑な部分集合です。
集合論では、無限集合は「要素を1つ追加する」といった数学的プロセスを「無限回繰り返す」ことによって生成されるとは考えられていません。むしろ、特定の無限集合（例えば、すべての自然数の集合）は、仮定または公理として「当然に存在する」とされています。この無限集合が与えられれば、他の無限集合も論理的な帰結として存在することが証明されます。しかし、無限個の離散的なステップを経て実際に完了する物理的な動作を考察することは、依然として自然な哲学的問いであり、集合論を用いてこの問いを解釈すると、超タスクのパラドックスが生じます。
ローレンス・スターンの小説の主人公、 トリストラム・シャンディは、自伝を非常に几帳面に書き綴るため、一日の出来事を書き出すのに一年を費やす。もし彼が死すべき存在であるならば、その執筆を終えることはできない。しかし、もし彼が永遠に生きるならば、日記には未完成の部分が一切残らないだろう。なぜなら、彼の人生の一日一日が、その日の出来事を描写するために費やされる一年となるからだ。
この種のパラドックスの拡張版では、無限に遠い終了が有限の時間に移されます。1から10までの番号が付けられたボールで巨大な貯蔵庫を満たし、番号1のボールを取り出します。次に、番号11から20までのボールを追加し、番号2を取り出します。番号10n - 9から10nまでのボールを追加し続け、すべての自然数n = 3、4、5、...について番号nのボールを取り出します。最初のトランザクションが30分、2番目のトランザクションが15分、といったように、すべてのトランザクションが1時間後に完了するようにします。明らかに、貯蔵庫内のボールの集合は無限に増加します。しかし、各ボールの取り出す時間がわかっているので、1時間後には貯蔵庫は空になります。
このパラドックスは、除去順序の重要性によってさらに複雑化する。もしボールが1、2、3、…の順序ではなく、1、11、21、…の順序で除去された場合、1時間後には、以前と同じ量の物質が移動されたにもかかわらず、無限の数のボールが貯蔵庫に溜まることになる。
無限集合に関する問題を解決する上で非常に有用であるにもかかわらず、素朴集合論には致命的な欠陥がいくつか存在する。特に、ラッセルのパラドックスに代表されるような論理的パラドックスに陥りやすい。これらのパラドックスの発見は、素朴集合論の言語で記述できるすべての集合が、矛盾を生じさせることなく実際に存在すると言えるわけではないことを明らかにした。20世紀には、ZFCやNBGなど、今日広く用いられている集合論の様々な公理化が発展し、これらのパラドックスは解決された。しかし、これらの理論の非常に形式化された記号的な言語と、私たちが普段用いる非形式的な数学言語との間には大きな隔たりがあり、様々なパラドックスが生じるだけでなく、こうした形式体系が一体何を論じようとしているのかという哲学的疑問も生じる。
1897年、イタリアの数学者チェーザレ・ブラリ＝フォルティは、現在ブラリ＝フォルティのパラドックスとして知られるものを発見した。それは、すべての順序数の集合は存在しないというものである。もし存在すれば、それは整列しており、したがってそれ自体が順序数Ωを決定し、Ω < Ωという矛盾が生じることになる。
19世紀末までに、カントールはすべての基数からなる集合とすべての順序数からなる集合が存在しないことを認識していた。彼はダフィット・ヒルベルトとリヒャルト・デデキントへの手紙の中で、要素がすべて一緒に存在すると考えることができない矛盾集合について述べ、この結果を用いて、すべての矛盾のない集合には基数が存在することを証明した。
バートランド・ラッセルは、 1902年の手紙の中で、現在ラッセルのパラドックスとして知られるものを説明した。それは、自身を含まないすべての集合の集合、{ x | xはxの要素ではない} は存在し得ないというものである。もし存在すれば、それが自身を含むという仮定と、それが自身を含まないという仮定の両方が矛盾を招くことになる。ラッセル自身はこの抽象的な考えを、非常に具体的な図を用いて説明した。その一例は、理髪師のパラドックスとして知られており、次のように述べている。「髭を剃らない男性だけを剃る男性理髪師は、自分が髭を剃らない場合に限り、自分の髭を剃らなければならない。」
集合論におけるラッセルのパラドックスと、自然言語におけるパラドックスを示すグレリング＝ネルソンのパラドックスには、密接な類似点がある。
1905年、ハンガリーの数学者ユリウス・ケーニヒは、有限の定義は可算個しかないという事実に基づくパラドックスを発表した。実数を整列集合と考えると、有限に定義できる実数は部分集合を形成する。したがって、この整列集合には、有限に定義できない最初の実数が存在するはずである。これはパラドックスである。なぜなら、この実数はまさに前の文によって有限に定義されているからである。これは素朴な集合論における矛盾につながる。
このパラドックスは公理的集合論では回避される。集合に関する命題をゲーデル数と呼ばれる符号体系によって集合として表現することは可能であるが、公式は存在しない。集合論の言葉で言えば、それはまさには集合に関する有限命題のコードであり、は集合であり、保持するこの結果はタルスキの不確定性定理として知られており、集合論の一般的に研究されているすべての公理化を含む、幅広い種類の形式体系に適用されます。
同年、フランスの数学者ジュール・リシャールは、カントールの対角線法の変形を用いて、素朴集合論における別の矛盾を導き出した。すべての有限個の単語の集合をAとする。実数のすべての有限個の定義の集合EはAの部分集合である。Aは可算集合であるため、 Eも可算集合である。集合Eによって定義されるn番目の実数のn番目の小数をpとする。整数部が0で、pが8または9でない場合はn番目の小数部がp +1 、 pが8または9の場合は1となる数Nを構成する。この数Nは、有限個の実数、すなわちn番目の数とはn番目の桁だけ異なるため、集合Eによって定義されない。しかし、 Nはこの段落で有限個の単語によって定義されている。したがって、Nは集合Eに含まれるはずである。これは矛盾である。
ケーニッヒのパラドックスと同様に、このパラドックスは公理的集合論では形式化できない。なぜなら、記述が特定の集合に適用されるかどうか（あるいは、同等に、ある式が実際に単一の集合の定義であるかどうか）を判断する能力が必要となるからである。
ドイツの数学者レオポルド・レーヴェンハイムの研究（1915年） に基づき、ノルウェーの論理学者トーラルフ・スコレムは1922年に、集合論のような一階述語論理のあらゆる無矛盾な理論は、せいぜい可算モデルを持つことを示した。しかし、カントールの定理は、非可算集合が存在することを証明している。この一見矛盾する問題の根源は、集合の可算性または非可算性が常に絶対的なものではなく、濃度を測定するモデルに依存する可能性があることである。集合論のあるモデルでは非可算集合であっても、より大きなモデルでは可算集合となる可能性がある（可算性を確立する全単射がより大きなモデルには存在するが、より小さなモデルには存在しないため）。
