関連する関係

数学では、集合上の関係は、集合のすべての異なる要素のペアを一方向または逆方向に関連付ける（または「比較する」）場合、連結、完全、または全結合と呼ばれます。一方、すべての要素のペアを関連付ける場合は、強連結と呼ばれます。以下の用語のセクションで説明するように、これらの性質の用語は統一されていません。この「全結合」という概念は、すべての に対して が成り立つという意味での全結合の概念と混同してはなりません。${\displaystyle x\in X}$があります${\displaystyle y\in X}$となることによって${\displaystyle x\mathrel {R} y}$（直列関係を参照）。

連結性は全順序の定義において重要な要素です。全順序（または線形順序）とは、任意の2つの要素が比較可能な部分順序のことです。つまり、順序関係は連結しています。同様に、連結した厳密な部分順序は厳密な全順序です。関係が全順序であるのは、それが部分順序であり、かつ強連結である場合に限ります。関係が厳密な全順序であるのは、それが厳密な部分順序であり、かつ連結である場合に限ります。厳密な全順序は、（空の領域を除いて）強連結になることはありません。

しかしながら、一部の著者は「連結」という用語をより広い意味で使用しており、それは比較グラフが連結グラフである順序にのみ適用される。例えば、フェンスがこれに該当するが、フェンスの非自明な例には全順序は含まれない。

関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle X}$と呼ばれるすべての場合に接続${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle {\text{if }}x\neq y{\text{ then }}x\mathrel {R} y\quad {\text{or}}\quad y\mathrel {R} x,}$$ または同等に、すべての${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{または}}\quad y\mathrel {R} x\quad {\text{または}}\quad x=y.}$$

すべての${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle x\mathrel {R} y\quad {\text{または}}\quad y\mathrel {R} x}$$ と呼ばれる強く結びついている。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

させて${\displaystyle R}$同次関係である。以下は同値である。^{[ 14 ]}

• ${\displaystyle R}$強く関連している。
• ${\displaystyle U\subseteq R\cup R^{\top }}$;
• $\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$非対称です、

どこ${\displaystyle U}$普遍的な関係であり、$\displaystyle R^{\top }}$は、​${\displaystyle R.}$

以下は同等です: ^{[ 14 ]}

• ${\displaystyle R}$接続されています。
• ${\displaystyle {\overline {I}}\subseteq R\cup R^{\top }}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R^{\top }\cup I}$;
• ${\displaystyle {\overline {R}}}$反対称である、

どこ${\displaystyle {\overline {R}}}$は補完関係である${\displaystyle R}$、${\displaystyle I}$は同一関係であり、${\displaystyle R^{\top }}$は、​${\displaystyle R}$。

ラッセルは進行を導入する際に、連結の公理を持ち出した。

系列が推移的非対称関係によって最初に与えられる場合、系列の任意の 2 つの項が生成関係を持つという条件によって関連性を表現できます。

• エッジ関係[^{注1 ]}${\displaystyle E}$トーナメントグラフ​${\displaystyle G}$は常に集合上の連結関係である${\displaystyle G}$の頂点。
• 強く連結された関係が対称である場合、それは普遍的な関係である。
• 関係が強く連結しているというのは、それが連結かつ反射的である場合に限る。^{[証明1 ]}
• 集合上の連結関係${\displaystyle X}$反推移的であってはならない。${\displaystyle X}$少なくとも4つの要素を持つ。^{[ 16 ]} 3つの要素からなる集合の場合${\displaystyle \{a,b,c\},}$例えば、関係${\displaystyle \{(a,b),(b,c),(c,a)\}}$両方の性質を備えている。
• もし${\displaystyle R}$は、${\displaystyle X,}$すると、すべての要素、または1つを除くすべての要素${\displaystyle X}$の範囲内にある${\displaystyle R.}$^{[証明2 ]}同様に、すべての要素、または1つを除くすべての要素${\displaystyle X}$領域内${\displaystyle R.}$

証明