高次の無限

『高次の無限：集合論における大規模基数の始まり』は、金森明宏による集合論のモノグラフであり、大規模基数の歴史と理論に関するものである。大規模基数とは、ツェルメロ・フランケル集合論（ZFC）では存在が証明できないほど強い性質を持つ無限集合である^{。 [1]この本は、1994年に}Springer-VerlagのPerspectives in Mathematical Logicシリーズから出版され、2003年にはSpringer Monographs in Mathematicsシリーズから第2版が出版され、 ^[2] 2009年には第2版のペーパーバック版が出版された（ ISBN 978-3-540-88866-6）。 ^[3] 

序文と付録を除いて、『高次の無限』には6つの章があり、主題の発展の歴史によって大まかに年代順に並べられています。著者は、この順序を選んだのは「数学の最も首尾一貫した説明を提供し、あらゆる認識論的問題の鍵を握っているから」だと書いています。^{[1] [4]}

最初の章「始まり」^[4]では、到達不可能基数、マーロ基数、測定可能基数、コンパクト基数、記述不可能基数などの内容が取り上げられている。この章では、構成可能宇宙と内部モデル、基本的な埋め込みと超冪、そして測定可能基数は構成可能性の公理と矛盾するというダナ・スコットの結果について取り上げている。^{[5] [6]}

第2章「分割特性」^[4]には、ポール・エルデシュとリチャード・ラドの分割計算、木とアロンザイン木、大きな基数のモデル理論的研究、識別不能なものに関する真の公式の集合0 ^#の存在が含まれています。また、ジョンソン基数とローボトム基数も含まれています。^{[5] [6]}

次は「強制と実数の集合」と「測定可能性の側面」の2章です。^[4]最初の章の主なトピックは強制です。これは、集合論における一貫性と矛盾の結果を証明するためにポール・コーエンによって導入された手法です。また、記述的集合論の資料も含まれています。 2番目の章では、測定可能な基数の一貫性を証明するためにロバート・M・ソロベイが強制を適用した方法と、より強い強制の概念を使用した関連する結果を取り上げます。^[5]

第5章は「強い仮説」である。^[4]超コンパクト基数とその反射特性、巨大基数、ヴォペンカの原理[ ^{5] 、}拡張可能な基数、強い基数、およびウッディン基数^[6]に関する内容が含まれている。 この本は「決定性」の章^{[4]で終わり、}決定性公理と無限ゲーム理論が含まれている。 ^[5]評論家のフランク・R・ドレイクは、この章と、その中でドナルド・A・マーティンがボレルの決定性定理の証明を行ったことを、金森にとって中心的で「彼が提示した理論の勝利」とみなしている。^[7]

この分野の研究者の哲学的立場を表明する引用は本書全体にわたっているが、^[1]数学の基礎に関する数学の哲学の問題のより詳細な説明は付録に譲られている。^[8]

評論家のピエール・マテは、この本は「間違いなく今後何年も大規模基数の主な参考文献として役立つだろう」と記している。 ^[4]また、評論家のジョエル・デイビッド・ハムキンス、アズリエル・レヴィ、フィリップ・ウェルチも同様の感想を述べている。^{[1] [6] [8]}ハムキンスは、この本は「歴史的な洞察、明快な文章、興味深い定理、そしてエレガントな証明に満ちている」と記している。^[1]このトピックでは集合論の重要なツールを広く使用するため、レヴィは「集合論の研究を始めたい人全員」にこの本を推奨している。^[6]また、ウェルチはすべての大学図書館にこの本を推奨している。^[8]

• インターネット アーカイブのThe Higher Infinite (登録が必要) (第 1 版)