大きさの制限の公理

集合論において、サイズ制限公理は、 1925 年にジョン・フォン・ノイマンが集合とクラスの公理系で提唱した。^{[1]これは、}サイズ制限原理を形式化したもので、一部のクラスは集合としては大きすぎることを認識することで、以前の集合論の定式化で遭遇したパラドックスを回避するものである。フォン・ノイマンは、これらの大きなクラスをクラスのメンバーにすることができることによってパラドックスが発生することを認識した。 ^[2]クラスのメンバーであるクラスは集合であり、集合ではないクラスは適切なクラスである。すべてのクラスは、すべての集合のクラスであるVのサブクラスである。 ^[a]サイズ制限公理によれば、クラスが集合であるための必要条件は、クラスがVより小さいこと、つまり、クラスをVにマッピングする関数が存在しないことである。通常、この公理は同等の形式で表現される。クラスが適切なクラスであるための必要条件は、クラスをVにマッピングする関数が存在することである。

フォン・ノイマンの公理は、置換、分離、和、および大域選択の公理を暗示する。これは、フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論(NBG) およびモース・ケリー集合論における置換、和、および大域選択の組み合わせに相当する。ポール・バーネイス、クルト・ゲーデル、ジョン・L・ケリーなどのクラス理論の後継では、フォン・ノイマンの公理ではなく、置換、和、および大域選択に相当する選択公理が使用されている。^[3] 1930年に、エルンスト・ツェルメロは、サイズ制限の公理を満たす集合論のモデルを定義した。^[4]

アブラハム・フランケルとアズリエル・レヴィは、サイズ制限の公理は冪集合公理を暗示しないため、「サイズ制限の教義」のすべてを網羅しているわけではないと述べている。^[5] マイケル・ハレットは、サイズ制限の教義は冪集合公理を正当化するものではなく、「フォン・ノイマンの明示的な仮定[冪集合の小ささ]は、ツェルメロ、フランケル、レヴィのあいまいに隠された冪集合の小ささの暗黙の仮定よりも好ましいと思われる」と主張している。 ^[6]

サイズの制限公理の通常のバージョン（クラスが適切なクラスであるためには、それをVにマッピングする関数が存在する必要がある）は、集合論の形式言語 で次のように表現されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

ゲーデルは、大文字の変数はすべてのクラスにまたがり、小文字の変数はすべての集合にまたがるという規則を導入しました。^[7]この規則により、次のように書くことができます。

ゲーデルの慣例によれば、大きさの制限の公理は次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$

フォン・ノイマンは、サイズ制限公理が置換公理を意味することを証明しました。これは次のように表現できます。 F が関数で A が集合である場合、 F ( A ) は集合です。これは背理法によって証明されます。 Fを関数、 Aを集合とします。 F ( A ) が適切なクラスであると仮定します。すると、F ( A ) をVに写す関数Gが存在します。合成関数G  ∘  F はA をVに写すので、サイズ制限公理はAが適切なクラスであることを意味しますが、これはAが集合であることと矛盾します。したがって、F ( A ) は集合です。置換公理は分離公理を意味するので、サイズ制限公理は分離公理を意味します。^[b]

フォン・ノイマンはまた、彼の公理がV が整列可能であることを意味することを証明した。証明は、すべての順序数のクラスであるOrdが適切なクラスであることを背理法によって証明することから始まる。Ordは集合であると仮定する。これは∈ によって厳密に整列されている推移的な集合なので、順序数である。したがって、Ord  ∈  Ordであり、これはOrd が∈ によって厳密に整列されていることと矛盾する。したがって、Ord は適切なクラスである。したがって、フォン・ノイマンの公理は、 Ord をVにマップする関数Fが存在することを意味する。Vの整列を定義するために、G を、 (β, x ) ∈  Fとなる最小の β である順序付きペア (α,  x ) で構成されるFのサブクラスとします。つまり、G  = {(α,  x ) ∈  F : ∀β((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)} です。関数Gは、 OrdのサブセットとV間の1 対 1 対応です。したがって、G ⁻¹ (x) <  G ⁻¹ (y)の場合、 x  <  y はVの整列を定義します。この整列は、グローバル選択関数を定義します。Inf ( x ) を空でない集合xの最小の要素とします。Inf ( x ) ∈  xなので、この関数は、空でない集合xごとにxの要素を選択します。したがって、Inf ( x ) はグローバル選択関数であるため、フォン・ノイマンの公理はグローバル選択公理を意味します。     

1968年、アズリエル・レヴィはフォン・ノイマンの公理が和集合の公理を意味することを証明した。まず、和集合の公理を使わずに、順序数の集合には上限があることを証明した。次に、OrdをVに写像する関数を使って、Aが集合ならば∪Aも集合であることを証明した。 [  8 ^]

置換公理、大域選択公理、和公理は（NBGの他の公理とともに）サイズ制限公理を暗示する。^{[c]したがって、この公理はNBGまたは}モース・ケリー集合論における置換公理、大域選択公理、和公理の組み合わせと同等である。これらの集合論では、フォン・ノイマンの公理系に和公理が含まれているため、サイズ制限公理の代わりに置換公理と選択公理の一種が使われているだけである。この公理が冗長であるというレヴィの証明は何年も後のことであった。^[9]

NBG の公理のうち、大域選択公理を通常の選択公理に置き換えたものは、サイズ制限公理を意味しない。1964 年、ウィリアム B. イーストンは強制法を使用して、大域選択公理を選択公理に置き換えた NBG のモデルを構築した。 ^[10]イーストンのモデルでは、V は線形順序付けできないため、整列化できない。したがって、このモデルではサイズ制限公理は成立しない。Ordは、Vにマッピングできない適切なクラスの例である。なぜなら、(上で証明したように) Ord をVにマッピングする関数がある場合、V は整列化できるからである。

NBG の公理のうち、置換公理をより弱い分離公理に置き換えたものは、サイズ制限公理を意味しません。 を- 番目の無限初期順序数（これは基数でもあります）として定義します。番号付けは から始まるため、 1939 年にゲーデルは、構成可能宇宙のサブセットである L _{ω ω}が、置換を分離に置き換えたZFCのモデルであると指摘しました。^[11]これを、置換を分離に置き換えた NBG モデルに拡張するには、そのクラスを L _{ω ω+1の集合（L ω ω}の構成可能サブセット）とします。このモデルは、NBG のクラス存在公理を満たします。なぜなら、これらの公理の集合変数を L _{ω ω}に制限すると、分離公理のインスタンスが生成され、これが L で成立するからです。 ^{[d] L} _{ω ω+1}に属する関数があり、これが ω _{ω を}L _{ω ω}にマッピングするため、L _{ω ω は}整列していることになります。^{[e]適切なクラス {ω} _n  :  n  ∈ ω} は濃度 を持つため、サイズ制限公理は成立しません。そのため、濃度 を持つL _{ω ω}にマッピングすることはできません。^[f]${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

1923年にツェルメロに宛てた手紙の中で、フォン・ノイマンは彼の公理の最初のバージョンを述べている。クラスが真クラスであるためには、クラスとVの間に一対一の対応関係がある必要がある。^{[2]サイズ制限の公理はフォン・ノイマンの1923年の公理を意味する。したがって、すべての真クラスは}Vと数が同じであることも意味する。

1930年にツェルメロは集合論のモデルに関する論文を発表し、その中で彼のモデルのいくつかがサイズ制限公理を満たすことを証明した。^{[4]これらのモデルは、}超限再帰によって定義される累積階層Vα_を使用してZFCで構築されます。

1. V ₀  =  ∅ . ^[h]
2. V _α+1  =  V _α  ∪  P ( V _α )。つまり、V _αと​​そのべき集合の和集合である。^[i]
3. 極限βの場合：V _β  = ∪ _{α < β}  V _α。つまり、V _βは前のV _αの和集合です。

ツェルメロは、 κ が基数であるV _{κ の}形式のモデルを研究した。モデルのクラスはV _κのサブセットであり、モデルの∈関係は標準の∈関係である。モデルの集合は、 X ∈ V _κとなるクラスXである。^{[j]ツェルメロは、} V _{κ が}次を満たす基数 κ を特定した。^[12]

定理 1. クラスXが集合となるのは、| X | < κ の場合のみです。

定理2. | V _κ | = κ.

すべてのクラスはV _κのサブセットなので、定理 2 はすべてのクラスX の濃度が κ 以下であることを意味します。これを定理 1 と組み合わせると、すべての適切なクラスの濃度は κ であることが証明されます。したがって、すべての適切なクラスはV _κ と 1 対 1 で対応できます。この対応はV _κのサブセットなので、モデルのクラスです。したがって、サイズ制限の公理はモデルV _κに当てはまります。

V _{κ が}整列しているという定理は直接証明できる。κ は濃度 κ の順序数であり、| V _κ | = κ なので、 κ とV _{κの間には}1 対 1 の対応がある。この対応により、 V _κの整列が生成される。フォン・ノイマンの証明は間接的である。これは、ブラリ＝フォルティのパラドックスを使用して、すべての順序数のクラスが適切なクラスであることを背理によって証明する。したがって、サイズ制限の公理は、すべての順序数のクラスをすべての集合のクラスにマップする関数が存在することを意味する。この関数により、 V _κの整列が生成される。^[13]

定理 1 と 2 が何らかのV _κに対して成り立つことを証明するために、まず、集合がV _αに属する場合、それはすべての後続のV _βにも属する、または同等に、 α ≤ β に対してV _α  ⊆  V _{βであることを証明します。これは、 β 上の}超限帰納法によって証明されます。

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀。
2. β+1 の場合: 帰納的仮説により、V _α  ⊆  V _βとなります。したがって、V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _β+1となります。
3. 極限 β の場合: α < β の場合、V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _βとなります。 α = β の場合、V _α  ⊆  V _βとなります。

_{集合はステップ}β+1で累乗集合P ( Vβ )を介して累積階層に入ります。以下の定義が必要になります。

xが集合である場合、 rank ( x )はx∈Vβ + ₁ と なる最小の順序数βである。^[14]

順序数の集合 A の上限は sup A と表記され、すべての α ∈ A に対して α ≤ β となる最小の順序数 βです。

ツェルメロの最小モデルはV _ωである。数学的帰納法により、すべてのn  < ω に対してV _{n が}有限であることが証明される。

1. | V ₀ | = 0 です。
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |}であり、帰納的仮定によりV _{n は有限なので、これは有限です。}

定理 1 の証明: 集合X は、あるn  < ωに対してP ( V _n )を介してV _ωに入るため、 X  ⊆  V _nです。V _{n は}有限なので、X は有限です。逆に: クラスXが有限の場合、N  = sup {rank( x ):  x  ∈  X } とします。すべてのx  ∈  Xに対してrank( x ) ≤  N であるため、X  ⊆  V _{N +1}となり、X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ωとなります。したがって、X  ∈  V _{ω です}。

定理 2 の証明: V _{ω は、サイズが増加する}可算無限個の有限集合の和集合です。したがって、その基数は であり、フォン・ノイマン基数割り当てにより ω に等しくなります。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Vωの集合と類は_無限公理を除くNBGの公理をすべて満たす。^[k]

有限性の2つの性質は、 V _ωの定理1と定理2を証明するために使用されました。

1. λ が有限基数であれば、2 ^λは有限です。
2. A が順序数の集合で、| A | が有限であり、すべての α ∈  Aに対して α が有限である場合、sup  Aは有限です。

無限公理を満たすモデルを見つけるには、「有限」を「< κ」に置き換えて、強くアクセス不可能な基数を定義するプロパティを生成します。 κ > ω かつ次の場合、基数 κ は強くアクセス不可能です。

1. λ が λ < κ となるような基数の場合、2 ^λ  < κ になります。
2. A が順序数の集合で、| A | < κ、かつすべての α ∈  Aに対して α < κ である場合、sup  A  < κ です。

これらの性質は、κ は下からは到達できないことを主張している。最初の性質は、κ は冪集合では到達できないこと、2 番目の性質は、κ は置換公理では到達できないことを述べている。^[l] ω を得るために無限公理が必要であるのと同様に、強く到達不可能な基数を得るためには公理が必要である。ツェルメロは、強く到達不可能な基数の無限列の存在を仮定した。^[m]

κ が強くアクセスできない基数である場合、超限帰納法は次のことを証明します。Vα _|​すべての α < κ に対して < κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. α+1 の場合: | V _α+1 | = | V _α  ∪  P ( V _α )| ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  < κ。最後の不等式は帰納的仮説と強く到達不可能な κ を使用します。
3. 限界αの場合: | Vα _| ​= |∪ _{ξ < α}  V _ξ | ≤ sup {| Vξ |_​ : ξ < α} < κ。最後の不等式は帰納的仮説を使用しており、κ は非常にアクセス不可能です。

定理 1 の証明: 集合X は、何らかの α < κ に対してP ( V _α )を通ってV _κに入るので、 X  ⊆  V _αです。| V _α | < κ なので、 | X | < κ となります。逆に: クラスXが | X | < κ である場合、 β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } とします。 κ は強くアクセス不可能なので、すべてのx  ∈  Xに対して | X | < κ かつ rank( x ) < κ であることから、 β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } < κ となります。すべてのx  ∈  Xに対して rank( x ) ≤ β であるため、 X  ⊆  V _β+1となり、X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κとなります。したがって、X  ∈  V _κです。

定理 2 の証明: | Vκ |_​ = |∪ _{α < κ}  V _α | ≤ sup {| Vα _| ​: α < κ}。 βをこの上限とする。最高値の各序数は κ 未満であるため、β ≤ κ となります。 β < κ と仮定します。次に、β < λ < κ となる基数 λ があります。たとえば、λ = 2 ^|β|とします。 。 λ ⊆ V _λおよび | V _λ |が最高値にある場合、 λ ≤ | になります。V _λ | ≤ β。これは β < λ と矛盾します。したがって、 | Vκ |_​ = β = κ。

Vκの集合と類はNBGの公理をすべて満たす。_[ ^n]

サイズの制限の原則は、集合論の公理を正当化するために使用されるヒューリスティックな原則です。これは、完全な（矛盾した）理解公理スキームを制限することで、集合論のパラドックスを回避します。

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$

「使用する集合よりも「あまり大きな」集合を与えない」インスタンスに。^[15]

「より大きい」が「基数が大きい」という意味であれば、ほとんどの公理は正当化される。分離公理は、xより大きくないxのサブセットを生成する。置換公理は、 xより大きくないイメージセットf ( x )を生成する。和集合公理は、和集合の最大セットのサイズに和集合の数を掛けた値より大きくないサイズを持つ和集合を生成する。^[16]選択公理は、空でないセットの与えられたセットのサイズより大きくないサイズを持つ選択セットを生成する。

サイズの制限の原則は、無限の公理を正当化するものではありません。

${\displaystyle \exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],}$

これは空集合と、順序後続演算を反復して空集合から得られる集合を使用する。これらの集合は有限であるため、この公理を満たす任意の集合（たとえばω）はこれらの集合よりもはるかに大きい。フランケルとレヴィは、無限公理と分離公理によって存在が暗示される空集合と自然数の無限集合を、生成集合の出発点とみなしている。^[17]

フォン・ノイマンのサイズ制限へのアプローチは、サイズ制限の公理を使用する。§ 公理の含意で述べたように、フォン・ノイマンの公理は、分離、置換、結合、選択の公理を暗示する。フォン・ノイマンは、フランケルやレヴィと同様に、他の公理からは証明できないため、無限公理を体系に追加する必要がありました。^[o]フォン・ノイマンのサイズ制限へのアプローチとフランケルやレヴィのアプローチの違いは次のとおりです。

• フォン・ノイマンの公理は、公理系にサイズの制限を組み込み、ほとんどの集合存在公理の証明を可能にします。サイズの制限の教義は、証明よりも意見の相違が生じやすい非公式の議論を使用して公理を正当化します。
• フォン・ノイマンは、他の公理からは証明できないため、冪集合公理を仮定した。^[p]フランケルとレヴィは、サイズ制限の教義が冪集合公理を正当化すると主張している。^[18]

サイズの制限の教義が冪集合公理を正当化するかどうかについては意見の相違がある。マイケル・ハレットはフランケルとレヴィの議論を分析した。彼らの議論の中には、基数サイズ以外の基準でサイズを測定するものもある。例えば、フランケルは「包括性」と「拡張可能性」を導入している。ハレットは彼らの議論の欠陥と思われる点を指摘している。^[19]

次にハレットは、集合論の結果は、無限集合のサイズとそのべき集合のサイズとの間には関連がないことを示唆しているようだと主張する。これは、サイズの制限の教義は、xのべき集合がxより「大きすぎない」ことを要求するため、べき集合公理を正当化できないことを意味する。サイズが基数サイズで測定される場合、ハレットはポール・コーエンの研究に言及している。^[20] ZFC と のモデルから始めて、コーエンは、 の共終値がω でない場合はω のべき集合の基数が であり、それ以外の場合は であるモデルを構築した。^{[21] ω のべき集合の基数には上限がないため、 ω の基数サイズと}P (ω)の基数サイズとの間には関連がない。^[22]${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$

ハレットはまた、大きさが「包括性」によって測定される場合についても論じている。これは、集合が「無制限の包括性」または「無制限の範囲」を持つ場合、集合が「大きすぎる」とみなすというものである。^[23]彼は、無限集合の場合、宇宙の無限の範囲を通らなければ、その部分集合をすべて持っているとは確信できないと指摘している。また、ジョン・L・ベルとモシェ・マコーバーの次の言葉を引用している。「...与えられた [無限] 集合uのべき集合P ( u ) は、 uの大きさだけでなく、宇宙全体の「豊かさ」にも比例する...」^[24]これらの観察を行った後、ハレットは次のように述べている。「無限aの大きさ (包括性)とP ( a )の大きさの間には、まったく関係がないのではないかと疑わざるを得ない。」^[20]

ハレットは、サイズ制限の教義は集合論の公理のほとんどを正当化するのに価値があると考えている。彼の議論は、それが無限公理と冪集合公理を正当化できないことを示しているだけである。^[25]彼は、「フォン・ノイマンの明示的な仮定[冪集合の小ささ]は、ツェルメロ、フランケル、レヴィのあいまいに隠された暗黙の冪集合の小ささの仮定よりも好ましいようだ」と結論付けている。^[6]

フォン・ノイマンは、集合を識別する新しい方法として、サイズ制限の公理を考案した。ZFCは、集合構築公理を介して集合を識別する。しかし、アブラハム・フランケルは次のように指摘している。「理論の基礎としてZ [ZFC]の公理で選択されたプロセスのかなり恣意的な性質は、論理的議論ではなく集合論の歴史的発展によって正当化される。」^[26]

ZFC 公理の歴史的発展は、1908 年にツェルメロがパラドックスを排除し、整列定理の証明をサポートするために公理を選択したときに始まりました。^[q] 1922 年に、アブラハム・フランケルとトラルフ・スコーレムは、ツェルメロの公理では集合 { Z ₀、  Z ₁、  Z ₂、 ...}の存在を証明できないと指摘しました。ここで、 Z _0は自然数の集合、Z _{n +1は}Z _nの冪集合です。^[27]彼らはまた、この集合の存在を保証する置換公理を導入しました。^[28]ただし、必要に応じて公理を追加しても、すべての合理的な集合の存在が保証されるわけではなく、安全に使用できる集合と矛盾につながるコレクションの違いが明確になるわけでもありません。

1923年にツェルメロに宛てた手紙の中で、フォン・ノイマンは「大きすぎる」集合を特定し、矛盾を引き起こす可能性のある集合論へのアプローチを概説した。^[r]フォン・ノイマンはこれらの集合を次の基準で特定した。「集合が『大きすぎる』のは、すべてのものの集合と等しい場合のみである」。次に、これらの集合の使用方法を制限した。「... 矛盾を避けるために、『大きすぎる』[集合]は要素として許容されないと宣言される」。^{[29]この制限を彼の基準と組み合わせることで、フォン・ノイマンはサイズ制限の公理の最初のバージョンを得た。これは、クラスの言語で次のように述べている。クラスが適切なクラスである場合、それは}Vと同数である場合のみである。^{[2] 1925年までにフォン・ノイマンは「それは}Vと同数である」という部分を「それはV に写像できる」と変更し、サイズ制限の公理を生み出した。この変更により、フォン・ノイマンは置換公理の簡単な証明を与えることができた。^{[1]フォン・ノイマンの公理は、集合を}Vに写像できないクラスとして識別する。フォン・ノイマンは、この公理をもってしても、集合論は集合を完全に特徴づけるものではないことに気付いた。^[s] 

ゲーデルはフォン・ノイマンの公理が「非常に興味深い」と感じた。

「特に、集合を定義するために特性が満たさなければならない彼（フォン・ノイマン）の必要十分条件は、公理的集合論とパラドックスの関係を明確にするため、非常に興味深いと私は信じています。この条件が物事の本質を本当に捉えていることは、選択公理を暗示しているという事実からわかります。選択公理は、以前は他の存在原理とはまったく別物でした。物事をこのように見ることによって可能になる、パラドックスに近い推論は、私には非常にエレガントであるだけでなく、論理的観点からも非常に興味深いように思われます。さらに^{、この方向、つまり}構成主義とは反対の方向に進むことによってのみ、抽象集合論の基本問題が解決されると私は信じています。」^[30]