決定性の公理

ωゲームGにおけるすべての先手戦略の集合S1_は、連続体と同じ濃度を持つ。すべての後手戦略の集合S2についても同様である。SGをGにおけるすべての可能なシーケンスの集合とし、Aを先手プレイヤーが勝利するSGのシーケンスの部分集合とする。選択公理により、連続体を整列させることができ、適切な初期部分の濃度が連続体よりも低くなるように整列させることができる。得られた整列集合Jを使用してS1と_S2の両方にインデックスを付け、反例となるようにAを_{構成する。}

まず、空集合AとBから始めます。α ∈ J をS ₁とS ₂の戦略のインデックスとします。すべての戦略に対して、他のプレイヤーがそれに勝つ戦略が存在することを確認するために、最初のプレイヤーのすべての戦略S ₁ = {s ₁ ( α )} _{α ∈ J}と、2 番目のプレイヤーのすべての戦略S ₂ = {s ₂ ( α )} _{α ∈ J}を考慮する必要があります。考慮されるプレイヤーのすべての戦略に対して、他のプレイヤーに勝利を与えるシーケンスを生成します。t を、軸の長さが ℵ ₀であり、各ゲームシーケンス中に使用される時間とします。αに対する超限再帰によって反例Aを作成します。      

1. 最初のプレイヤーの戦略 s ₁ ( α ) を考えてみましょう。
2. この戦略をωゲームに適用すると、（他のプレイヤーの戦略とともに）s ₁ ( α )) によって、 Aに属さないシーケンス ⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ ,  ...,a _t , b _{t +1} ,  ...⟩ が生成されます。これは、⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ , ...⟩ の選択肢の数が連続体と同じ濃度を持ち、 Jの適切な初期部分 { β ∈ J | β < α }の濃度よりも大きいため可能です。        
3. このシーケンスをBに追加して、s ₁ ( α ) が (⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ , ...⟩ で) 負けることを示します 。
4. 2番目のプレイヤーの戦略s ₂ ( α )を考えてみましょう。
5. この戦略をωゲームに適用すると、（他のプレイヤーの戦略とともに）s ₂ ( α )) によって、 Bに属さないシーケンス⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ ,  ..., a _t , b _{t +1} ,  ...⟩が生成されます。これは、⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ , ...⟩の選択肢の数が連続体と同じ濃度を持ち、 Jの適切な初期部分{ β ∈ J | β ≤ α }の濃度よりも大きいため可能です。        
6. このシーケンスをAに追加して、 s ₂ ( α )が（⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ , ...⟩で）負けることを示します 。
7. S ₁とS ₂の考えられるすべての戦略をαに関する超限帰納法で処理します。その後、AまたはBに含まれないすべてのシーケンスについて、 Aに属するかB に属するかを任意に決定し、BがAの補集合となるようにします。

_これが完了したら、ωゲームGの準備をします。最初のプレイヤーの戦略s1に対して、s1 = _s1 ( α )となるα∈Jが存在し、Aはs1(α)が（2番目のプレイヤーの特定の選択⟨b2, b4 , b6 , _... ⟩において）_失敗する_ように構築されています。したがって、s1_{は失敗します。同様に、どちら}のプレイヤーの他の戦略も失敗_します。     

この構成において、選択の公理の使用は、バートランド・ラッセルの引用にある靴下の選択に似ている。

ωゲームでは、2人のプレイヤーはωωの要素である数列⟨a1 , b2 ^, a3, b4, ...⟩を生成します。_ここで、 0_は自然_数ではないという慣例に従い、どちらのプレイヤーも₀を選択することはできません。関数f : ωω → {0, 1} ^{ωを定義します}。f ( r )は、 {0, 1}の値を持つ長さωの一意の数列であり^、最初の項は0で、連続数列（連続長符号化を参照）はrに等しくなります。（このようなfは単射であることが示せます。像は、0で始まり最終的に定数にならない数列の{0, 1} ^{ωの部分集合です。形式的には、} fはミンコフスキーの疑問符関数、{0, 1} ^ωはカントール空間、ωω^はベール空間です。）       

{0, 1} ^ω上の同値関係を考察します。2 つの数列が同値であるのは、有限個の項のみが異なる場合のみです。これにより、集合は同値類に分割されます。T を同値類の集合とします ( Tの濃度は連続体の濃度です)。数列をその同値類に写す関数 g : {0, 1} ω → T を定義します。 { 0 , ¹ } ω内の任意の数列sの補数として、各項が異なる数列 s ₁を定義します。 {0 , 1 } ^ω内の任意の数列sに対して、sの同値類に h を適用する^と、sの補数の同値類と等しくなるような関数h : T → Tを定義します ( sとs'が同値であれば、それらの補数も同値であるため、これは適切に定義されます)。hは不動点を持たない対合であることが示せるので、 Tをサイズ 2 の部分集合に分割し、各部分集合を { t , h ( t )} の形にすることができます。選択公理を用いると、各部分集合から 1 つの要素を選択できます。言い換えれば、T の要素の「半分」、つまり部分集合U (U ⊆ T)を選択し、 t ∈ Uであるのはh ( t ) ∉ Uの場合に限る、という条件を満たすものとします。                 

次に、 1 が勝つ部分集合 A ⊆ ω ω を定義します。Aは、g (  f  ( ^r ) ) ∈ Uとなるすべてのrの集合です。ここで、戦略盗用論証を使用して、どちらのプレイヤーにも勝ち戦略がないと主張します。現在のゲームの状態を有限個の自然数列で表します (この列の長さが偶数の場合は1が次にプレイし、そうでない場合は2が次にプレイします)。  

qを2 の（決定論的な）必勝戦略とします。プレイヤー1は、次のようにqに勝つ戦略pを構築できます。プレイヤー2の⟨1⟩ に対する応答（ qによる）がb ₁であるとします。すると、1 はpにおいてa ₁ = 1 + b ₁と指定します。（大まかに言うと、1 は2 の並行ゲームでプレイしていることになります。2 番目のゲームにおける1の必勝セットは、元のゲームにおける 2 の必勝セットと等しくなり、これは矛盾です。しかしながら、より形式的に議論を進めます。）    

2の⟨1 + b ₁ ⟩ に対する応答 (常に q に従う) が b 2 であり、2の⟨1 , _b 1 , b 2 ⟩ に対する応答がb ₃である_と仮定します_。1のp を構築する際には、qに勝つことだけを目標とするため、 1の最初の動きに対する応答b _{2だけを処理}すればよいことになります。したがって、1の⟨1 + b ₁ , b _{2 ⟩ に対する}応答をb ₃とします。一般に、偶数n に対して、2の⟨1 + b ₁ , ..., b _{n −1} ⟩ に対する応答を b n と表記し、2 の⟨1 , _b 1 , ... , b n _⟩に対する応答を_b n _+1と表記します。次に、pにおいて1の⟨1 + b ₁ , b ₂ , ..., b _n ⟩ に対する応答が b n +1 であることを_指定します。戦略qは勝利戦略であると想定され、 ω ^ωにおけるゲーム結果rは ⟨1, b ₁ , ...⟩で与えられ、qによって許容される可能なシーケンスの 1 つであるため、 r は2に対して勝利戦略である必要があり、 g ( f ( r )) はUに含まれていてはいけません。ゲーム結果r            ' は⟨1 + b ₁ , b ₂ , ...⟩ で与えられる ω ^{ωでもあり、} q (具体的には、q がpと対戦する場合)によって許容されるシーケンスでもあるので、 g ( f ( r )は   ')) はUに含まれていてはならない。ただし、f ( r ) とf ( r )は') は、最初の項を除いてすべて異なっている (ランレングス符号化の性質とオフセット 1 による)ので、f ( r ) とf ( r )は') は補数同値クラスに属するので、g ( f ( r ))、g ( f ( r )')) は両方ともU に含まれることはできず、q が必勝戦略であるという仮定に矛盾します。

同様に、p が1の必勝戦略であると仮定します。議論は同様ですが、ここでは同値類が任意の大きな有限個の項の差異を許容することによって定義されているという事実を利用します。a 1 を 1 の最初の手とします。_一般に、偶数nに対して、⟨ a 1 , 1⟩ ( _n = 2 の場合)または⟨ a ₁ , 1, a ₂ , ..., a _n−1 ⟩ に対する1の応答をa _nと、⟨ a ₁ , 1 + a ₂ , ... a _n ⟩ に対する1 の応答をa _{n +1とします。すると、⟨} a ₁ , 1, a ₂ , a ₃ , ...⟩で与えられるゲーム結果r はpによって許容されるため、g ( f ( r )) はUに含まれなければなりません。また、ゲーム結果r は       ' は ⟨ a ₁ , 1  + a ₂ , a ₃ , ...⟩ によって与えられ、 pによっても許可されるため、g ( f ( r )が  ')) はUになければなりません。ただし、f ( r ) とf ( r )は') は最初のa ₁  +  1 項以外はすべて異なるため、補同値クラスに属します。したがって、g ( f ( r )) とg ( f ( r ))は同​​値です。')) は両方ともU に含まれることはできず、pが必勝戦略であることに矛盾する。