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数理論理学において、独立性とは、ある特定の命題が、他の特定の命題の集合から証明不可能であることを意味する。この集合に含まれる命題は「公理」と呼ばれる。
文σは、与えられた一階述語論理Tから独立であるとは、 Tがσを証明することも反証することもできない場合をいう。つまり、Tからσを証明することは不可能であり、またTからσが偽であることを証明することも不可能である。場合によっては、σは（同義的に） Tから決定不可能であると言われる。（この概念は、決定問題における「決定可能性」という概念とは無関係である。）
理論Tは、 Tに含まれるどの公理もTに含まれる残りの公理から証明できない場合に独立である。独立した公理の集合が存在する理論は、独立に公理化可能である。
σはTとは独立であると述べる著者もいるが、それは単にTがσを証明できない場合に限る。そして、必ずしもTがσを反駁できないと主張しているわけではない。これらの著者は、Tがσを証明も反駁もできないことを示すために、 「σはTとは独立であり、Tと矛盾しない」と言うことがある。
集合論における多くの興味深い命題は、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）とは独立している。ZFが無矛盾であるという仮定の下で、集合論における以下の命題はZFとは独立であることが知られている。
以下の命題（いずれも偽であるとは証明されていない）は、ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論に選択公理を加えたもの）が無矛盾であるという追加の仮定の下で、ZFCから独立しているとZFCにおいて証明することはできない。
以下の命題は選択公理と矛盾し、したがってZFCとも矛盾する。しかし、上記と同様の意味で、ZFとは独立していると考えられる。すなわち、ZFでは証明できず、ZFで反証を見出せると期待する集合論研究者はほとんどいない。しかし、ZFは、ZFが無矛盾であるという仮定を加えたとしても、これらの命題がZFとは独立していることを証明できない。
一連の文が独立である、あるいは単に独立であるとは、その集合内のどの文も他の文から証明できない場合をいう。これは、集合内の各文について、その文が偽であるが他のすべての文が真となるような解釈が存在することと同義である。
独立性には、完全独立性、あるいは強い独立性と呼ばれる別の意味合いがあります。文の集合が完全に独立であるとは、その部分集合のどの部分集合に対しても、その部分集合のすべての要素が真であり、他のすべての要素が偽となるような解釈が存在することを意味します。これは、文が真であるか偽であるかのすべての組み合わせが矛盾しない、ということと同義です。
2000年以降、論理的独立性は物理学の基礎において極めて重要な意味を持つものとして理解されるようになった。[ 1 ] [ 2 ]